专题四等边三角形讲义2023-2024学年北师大版八年级数学下册

专题四等边三角形 【知识点】 1. 等边三角形三个内角均为60°. 2. 等边三角形三条边相等. 3. 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 4. 三个角都相等的三角形是等边三角形. 5. 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 题型1 与等边三角形有关的角度的计算 【例1】如图, △ABC是等边三角形,( ,求∠DAC和. 的度数. 【分析】求角度要选准三角形，并考察所选△ACD的形状及数量特征. 举一反三。 1. 已知等边 中, 点 D, E分别在边AB, BC上, 把 沿直线DE翻折，使点B落在点 处，DB', EB'分别交边AC于点F, G, 求. 的度数. 12 题型 2 等边三角形的性质与判定 【例2】如图1, 若 和 为等边三角形, M, N分别为EB, CD 的中点, 易证: 是等边三角形. (1) 当把 绕点 A 旋转到图2的位置时，CD=BE吗?若相等，请证明，若不等于，请说明理由： (2) 当把 绕点A 旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗? 若是，请证明，若不是，请说明理由(可用第一问结论). 【分析】(1) CD=BE. 利用“等边三角形的三条边相等、 三个内角都是 60°”的性质证得 然后根据全等三角形的对应边相等即可求得结论( (2) △AMN 是等边三角形. 首先利用全等三角形“△ABE≌△ACD”的对应角相等、 已知条件“M, N分别是BE，CD的中点”、△ABC是等边三角形的性质证得△ABM≌△CAN；然后利用全等三角形的对应边相等、对应角相等求得 AM=AN, ∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°, 所以有一个角是60°的等腰三角形的正三角形. 举一反三。 2. 如图， 已知 和 都是正三角形，点E是AC延长线上的一点，点M是AD的中点，点N是BE的中点，试证明 是等边三角形. 题型3 共顶点的等边三角形 【例3】如图1, 等边△ABC 中, D是AB边上的动点, 以CD为一边, 向上作等边△EDC, 连接AE. (1) △DBC和△EAC会全等吗? 请说说你的理由; (2)试说明AE∥BC的理由; (3)如图(2)，将(1)动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC?证明你的猜想. 【分析】(1) 首先证明∠BCD=∠ACE, 然后利用SAS证明△DBC≌△EAC即可; (2) 根据全等的性质可得∠EAC=∠B=60°, 进而可得∠EAC=∠ACB, 从而可得AE∥BC; (3) 利用等边三角形的性质可得BC=AC,DC=CE, ∠BCA=∠DCE=60°, 然后再证明△DBC≌△EAC, 再推出∠EAC=∠ACB, 进而可得AE∥BC. 举一反三。 3. 如图, 和 都是等边三角形, 点E 在 BC上, AE 的延长线交 BD 于点 F. (1) 求证: (2)求 的度数； (3) 求证: CF平分. (4) 直接写出EF, DF, CF之间的数量关系. 15 题型4 平面直角坐标系中的等边三角形 【例4】如图, 在平面直角坐标系中, 点A(-2, 0), B(2, 0), C(6, 0), D为y轴正半轴上一点,且∠ODB=30°, 延长DB至E, 使BE=BD. 点P为x轴正半轴上一动点(点 P在C点的右边), 点 M在EP上, 且∠EMA=60°, AM交BE于点N. (1) 求证: BE=BC; (2) 求证: ∠ANB=∠EPC; (3) 当点P运动时, 求BP-BN的值. 【分析】1) 根据点A, B的坐标求出AD=BD, 然后判断出△ABD是等边三角形, 可得BD=AB=4, 再求出 BC=4, 从而得到BC=BD, 即可得证: (2) 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAN+∠ANB=∠ABD=60°，∠BAN+∠EPC=∠EMA=60°, 即可得证; (3) 求出△BCE是等边三角形, 可得BC=CE, AB=CE, 再求出∠ABN=∠ECP=120°, 然后证明△ABN和△ECP全等, 得BN=CP, 再根据BP-CP=BC等量代换即可得解. 16 举一反三。 4. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限， BO与x轴正方向的夹角 (1) 判断 的形状： (2) 如图1, 若. 点 D为CO的中点, AC, BD交于点E, 求证: (3) 如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边 延长GA交x轴于点P, AP与AO之间有何数量关系? 试证明你的结论. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$