27.2.1.3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似　课件　2023—2024学年人教版数学九年级下册

第二十七章 相 似 27.2.1 相似三角形的判定 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 1/18 长岐中学 詹春燕 1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理.(重点) 2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算. (难点) 学习目标 2/18 长岐中学 詹春燕 1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？ 2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？ 导入新课 复习引入 3/18 长岐中学 詹春燕 讲授新课（第33页） 利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △A′B′C′，使 ∠A=∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长， 它们的比值等于 k 吗？再量一量这两个三角形另外的 两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关 系？ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 探究 两个三角形相似 改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？ 4/18 长岐中学 詹春燕 4 我们来证明一下前面得出的结论： 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上 取点D，使 A′D = AB． 过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′. 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' ∴ ∵ A′D=AB， ∴ ∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A. ∴ △A′DE ≌△ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC. 5/18 长岐中学 詹春燕 5 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ∠A=∠A′， B A C B' A' C' ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 归纳： 6/18 长岐中学 詹春燕 对于△ABC和 △A′B′C′，如果 . ∠B= ∠B′，这两个三角形一定相似吗？ 不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等. A B C 思考： A′ B′ B″ C′ 结论： 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 7/18 使A′B″=A′B′， 则 长岐中学 詹春燕 典例精析 例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： ∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm， ∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm． 解：∵ ∴ 又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′. 8/18 长岐中学 詹春燕 1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°， AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC. A C B F E D 证明： ∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm， DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm， 又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC. 练一练 ∴ 9/18 长岐中学 詹春燕 2. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE. 证明： ∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形， ∴ AD =AE，AB = AC， ∴ 又 ∵∠DAB = ∠CAE， ∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE， 即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE. A B C D E 10/18 长岐中学 詹春燕 解：∵ AE=1.5，AC=2， 例2 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点， AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长. A C B E D ∴ 又∵∠EAD=∠CAB， ∴ △ADE ∽△ABC， ∴ ∴ 提示：解题时要找准对应边. 11/18 长岐中学 詹春燕 11 证明： ∵ CD 是边 AB 上的高， ∴ ∠ADC =∠CDB =90°. ∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B， ∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°. 例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ∠ACB=90°． A B C D ∵ 方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等. 12/18 长岐中学 詹春燕 当堂练习 (1) 两个等边三角形相似 ( ) (2) 两个直角三角形相似 ( ) (3) 两个等腰直角三角形相似 ( ) (4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似 （ ） × √ √ × 1. 判断 13/18 长岐中学 詹春燕 2. 如图 △AEB 和 △FEC (填 “相似” 或 “不相似”) . 54 30 36 45 E A F C B 1 2 相似 14/18 长岐中学 詹春燕 3. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的长． A B C D 解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= ， ∴ 又∵∠B=∠ACD， ∴ △ABC ∽ △DCA， ∴ ， ∴ 15/18 长岐中学 詹春燕 4. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC， 求证 ：△ABC ∽△AED. A B C D E 证明：∵ AB · AD = AE·AC， ∴ 又∵ ∠DAB =∠CAE， ∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ， 即∠DAE =∠BAC， ∴ △ABC ∽△AED. 16/18 长岐中学 詹春燕 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 利用两边及夹角判定三角形相似 课堂小结 相似三角形的判定定理的运用 17/18 长岐中学 詹春燕 课后作业 18/18 长岐中学 詹春燕 解析：当 △ADP ∽△ACB 时， AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ， 解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时， AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ， 解得 AP = 4. ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时， △ADP 和 △ABC 相似． 能力提升 1、如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似. A B C D 4 或 9 P P 长岐中学 詹春燕 2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使 △ABC ∽ △DBA的条件是 ( ) A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC D A B C D 长岐中学 詹春燕 20 $$