27.2.1.1 平行线分线段成比例课件2024-2025学年人教版数学九年级下册

第二十七章 相 似 27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例 1/25 长岐中学 詹春燕 1. 理解相似三角形的概念. 2. 理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明. (重难点) 3. 掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算. (重难点) 学习目标 2/25 长岐中学 詹春燕 导入新课 复习引入 1. 相似多边形的对应角 ，对应边 ，对 应边的比叫做 . 2. 如图，△ABC 和 △A′B′C′ 相似需要满足什么条件？ 相等 成比例 相似比 A B C A′ B′ C′ 3/25 长岐中学 詹春燕 3 A B C A′ B′ C′ 2、相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △ABC与△A′B′C′ 相似记作“△ABC∽△A′B′C′”. 讲授新课（第29~31页） 相似三角形的有关概念 一 1、如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，我们就说这两个三角形相似． 几何符号表达： ∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′， ∴△ABC∽△A′B′C′ △ABC与△A′B′C′ 的相似比为k， △A′B′C′ 与△ABC的相似比为 4/25 长岐中学 詹春燕 4 1．如图所示，△ABC∽△AED，其中∠B＝∠AED，AD＝5cm，BD＝6cm，AC＝11cm，则AE＝　cm，△ABC与△AED的相似比为　　　． 练一练 5 2.如图，已知△ADE∽△ACB. 若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（　　） A．4 B.5 C.20 D.3.2 B 11∶5 5/25 长岐中学 詹春燕 平行线分线段成比例（基本事实） 二 如图，小方格的边长都是1，任意画两条直线 l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，l4，l5，分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度， 探究 l1 D l4 l2 E l3 F B A l5 C 6/25 长岐中学 詹春燕 l1 l3 D l2 l4 l5 C F A B E (1) 计算 ， 你有什么发现？ 发现 7/25 长岐中学 詹春燕 (2) 将 向下平移到如图的位置，你在问题 (1) 中发现的结论还成立吗？如果将 平移到其他位置呢？ l1 l5 B l2 l4 l3 C F A D E (3) 根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线， 用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？ ， 8/25 长岐中学 詹春燕 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言： 归纳： D l1 l5 C l2 l4 l3 E F B A 若l3∥l4∥l5， 则，， 等 9/25 长岐中学 詹春燕 1. 如何理解“对应线段”？ 2.“对应线段”成比例都有哪些表达 形式？ 想一想： 10/25 长岐中学 詹春燕 1、如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是 ( ) A. B. C. D. D 练一练 A C E B D F l2 l1 l3 11/25 长岐中学 詹春燕 2．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F. 若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，则DF的长为（　　） A．1.5 B．6 C． 9 D．12 C 12/25 长岐中学 詹春燕 如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的 基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段， 把直线l2向左或向右任意平移， 这些线段依然成比例？ 平行线分线段成比例定理的推论 三 观察与思考 l1 l5 C l2 l4 l3 E F B A D 13/25 长岐中学 詹春燕 l1 B l5 C l4 l3 D E l2 F A 问：直线l2 向左平移到 D与A 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A(D) B C E F ( ) 14/25 长岐中学 詹春燕 l1 l5 C l4 l3 D E l2 F A 问：直线l2 向左平移到 E与B 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A (E)B C D F ( ) B 15/25 长岐中学 詹春燕 平行于三角形一边的直线截其他两边（或 两边的延长线），所得的对应线段成比例. A(D) B C E F (E)B D C A F 归纳： 或 或 16/25 长岐中学 詹春燕 例1 如图，在△ABC中， EF∥BC. (1) 如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE=7， FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？ A B C E F 典例精析 解：∵ ∴ 解得 AF = 4. ∴AF 的长是4. 17/25 长岐中学 詹春燕 (2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多 少？ A B C E F 解：∵ ∴ 解得 AC = . ∴ FC = AC－AF = . 18/25 长岐中学 詹春燕 1、如图，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC= ；FG∥BC，AF=4.5，则AG= . A B C E D F G 练一练 7.5 6 2、如图，DE∥BC， ，则 ； FG∥BC， ，则 . A B C E D F G 19/25 长岐中学 詹春燕 如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB、AC于点D、E，△ADE与△ABC有什么关系？ B C A D E 相似三角形的引理 四 思考 由前面的结论可得 ，而中的DE不在△ABC的边BC上，不能直接利用前面的结论，但从要证的看出，除 DE 外，AE、AC、BC都在△ABC 的边上，因此只需将 DE 平移到BC 边上去，使得BF=DE， 再证明就可以了。 20/25 长岐中学 詹春燕 证明： 在 △ADE与 △ABC中，∠A=∠A. ∵ DE∥BC， ∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C. 如图，过点 E 作 EF∥AB，交 BC 于点 F. C A B D E F 用相似的定义证明△ADE∽△ABC ∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴ ∵ 四边形DBFE为平行四边形， ∴ DE=BF， ∴△ADE∽△ABC. ∴∴ 21/25 长岐中学 詹春燕 21 三角形相似的两种常见类型： “A ”型 “X ”型 D E A B C A B C D E 由此我们得到判定三角形相似的定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交（或两边的延长线），所构成的三角形与原三角形相似. 22/25 长岐中学 詹春燕 1. 已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似 三角形. 3 练一练 C D A B E F O 相似具有传递性 2. 若 △ABC 与 △A′B′C′ 相似，一组对应边的长为AB =3 cm， A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与 △ABC 的相似比是_____. 4︰3 3. 若 △ABC 的三条边的长为3cm，5cm，6cm， 与其相似的另一个 △A′B′C′ 的最小边的长为12 cm， 那么 A′B′C′ 的最大边的长是______. 24 cm 23/25 长岐中学 詹春燕 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 ◑推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例 ◑相似三角形判定的引理： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 ◑基本事实： 平行线分线段成比例 课堂小结 24/25 长岐中学 詹春燕 24 24 课后作业 25/25 长岐中学 詹春燕 当堂练习 1. 如图，△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若 BC=1， 则 EF 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B C A E F D B 2. 如图，在 △ABC 中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm， BC = 4 cm，EF 长 ( ) A. 1cm B. cm C. 3cm D. 2cm A B C E F A 长岐中学 詹春燕 3. 如图，在 △ABC中，DE∥BC，则△____∽△____， 对应边的比例式为 ＝ ＝ ADE ABC —— ——． B C A D E 4. 已知 △ABC ∽ △A1B1C1，相似比是 1:4，△A1B1C1 ∽△A2B2C2，相似比是1:5，则△ABC与△A2B2C2的 相似比为 . 1:20 长岐中学 詹春燕 5. 如图，在 □ABCD 中，EF∥AB， DE : EA = 2 : 3， EF = 4，求 CD 的长． 解：∵ EF∥AB，DE : EA = 2 : 3， D A C B E F ∴ 即 ∴ △DEF ∽ △DAB， 解得 AB = 10. 又 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ CD = AB = 10. 长岐中学 詹春燕 6. 如图，已知菱形 ABCD 内接于△AEF，AE=5cm， AF = 4 cm，求菱形的边长. 解：∵ 四边形 ABCD 为菱形， B C A D E F ∴CD∥AB， ∴ 设菱形的边长为 x cm， 则CD = AD = x cm，DF = (4－x) cm， ∴ 解得 x = ∴菱形的边长为 cm. 长岐中学 詹春燕 $$