概率课时十二讲义-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--概率（一轮复习）课时十二 知识点一 根据散点图判断是否线性相关,相关系数的计算,非线性回归 典例1、一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本（万元）与该月产量（万件）之间有如下一组数据： x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 （1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）①建立月总成本与月产量之间的回归方程；②通过建立的关于的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，产品的总成本为多少万元?（均精确到0.001）. 附注：①参考数据：，，， ，. ②参考公式：相关系数 ，. 随堂练习：近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，某机构随机调查了某市2015-2021年的家庭教育支出（单位：万元），得到如下折线图.（附：年份代码1-7分别对应2015-2021年）.经计算得，. （1）用一元线性回归模型拟合y与t的关系，求出相关系数r（精确到0.01），并说明y与t相关性的强弱； （2）建立y关于t的回归直线方程； （3）若2023年该市某家庭总支出为10万元，预测2023年该家庭的教育支出. 附：①相关系数； ②在回归直线方程中，. 典例2、甲、乙两名学生进行“趣味投篮比赛”，制定比赛规则如下：每轮比赛中甲、乙两人各投一球，两人都投中或者都未投中则均记0分；一人投中而另一人未投中，则投中的记1分，未投中的记分设每轮比赛中甲投中的概率为，乙投中的概率为，甲、乙两人投篮相互独立，且每轮比赛互不影响． （1）经过1轮比赛，记甲的得分为，求的分布列和期望； （2）经过3轮比赛，用表示第n轮比赛后甲累计得分低于乙累计得分的概率，研究发现点均在函数的图象上，求实数m，s，t的值． 随堂练习：“练好射击本领，报效国家”，某警校大一新生进行射击打靶训练，甲、乙在相同的条件下轮流射击，每轮中甲，乙各射击一次，射中者得1分，未射中者得0分已知甲、乙每次射中的概率分别为，且各次射击互不影响. （1）经过1轮射击打靶，记甲、乙两人的得分之和为，求的分布列和数学期望； （2）经过3轮射击打靶后，求甲的累计得分高于乙的累计得分的概率. 知识点二 写出简单离散型随机变量分布列,由随机变量的分布列求概率,独立事件的乘法公式 典例3、某智能共享单车备有、两种车型，采用分段计费的方式营用，型单车每30分钟收费0.5元（不足30分钟的部分按30分钟计算），型单车每30分钟收费1元（不足30分钟的部分按30分钟计算），现有甲、乙、丙三人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，，，并且三个人每人租车都不会超过60分钟，甲、乙均租用型单车，丙租用型单车. （1）求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率； （2）设甲、乙、丙三人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望. 随堂练习：2022年10月1日，某超市举行“迎国庆促销抽奖活动”，所有购物的顾客，以收银台机打发票为准，尾数为偶数（尾数中的奇偶数随机出现）的顾客，可以获得三次抽奖，三次抽奖获得奖品的概率分别为，，，每次中奖都可以获得一份奖品，且每次抽奖是否中奖互不影响. （1）求顾客获得两个奖品的概率； （2）若3位购物的顾客，没有获奖的人数记为，求的分布列与数学期望. 典例4、中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为. （1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱； （2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关； （3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望. ①参考数据：； ②参考公式：（i）线性回归方程：，其中； （ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强. （iii），其中.附表： 随堂练习：为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在市与市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为. （1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示： A市居民 B市居民 喜欢杨树 300 200 喜欢木棉树 250 250 是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性； （2）若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有个路口种植杨树，求的分布列以及数学期望； （3）在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为，求证：. 附： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 2025高考--概率（一轮复习）课时十二答案 典例1、答案：（1）与正相关，且相关性很强 （2）①；② 解：（1）作出散点图如图所示： 由已知条件和参考数据得： ， 这说明与正相关，且相关性很强； （2）①由已知求得，， ∴所求回归直线方程为. ②当时，万元， 此时产品的总成本约为万元. 随堂练习：答案： （1），相关性很强； （2）； （3）万元. 解：（1）由题意得，， 则，故， 故， ∵， ∴y与t高度相关，即y与t的相关性很强． （2）根据题意，得， ， ∴y关于t的回归直线方程为． （3）2023年对应的年份代码，当时，， 故预测2023年该家庭的教育支出为（万元）． 典例2、答案：（1）答案见解析 （2），， 解：（1）的可能取值为， 则；；， 的分布列为： 0 1 ． （2）由（1）知， 经过两轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有两种情况： 一是甲两轮得分都为；二是两轮中甲有一轮得0分，另一轮得分， 则． 经过三轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有四种情况： 三轮中甲得分都为；三轮中甲有两轮得分，另一轮得0分； 三轮中甲有一轮得分，另两轮得0分；三轮中甲有两轮得分，另一轮得1分， 则， 由题意，点均在函数的图象上， 则， ②－①得④， ③－②得⑤， ⑤÷④得⑥， 将⑥代入④得⑦， 将⑥⑦代入①得， 综上，，，． 随堂练习：答案： （1）分布列见解析，；（2）. 解:（1）的可能取值为0，1，2， 由题意可知， ， ， 所以X的分布列为： X 0  1  2 P   . （2）经过3轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得分有三种情况： 一是甲累计得3分，此时乙的累计得分低于3分， 二是甲累计得2分，此时乙的累计得分低于2分， 三是甲累计得1分，此时乙累计得0分， 所以 典例3、答案：（1） （2）分布列见解析， 解：（1）由题意，甲乙丙在3分钟以上且不超过6分钟还车的概率分别为，，， 设“甲乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件， 则； （2）随机变量所有可能取值有2，2.5，3，3.5，4， 则， ， ， ， ， 所以，甲乙丙三人所付费用之和的分布列为 2 2.5 3 3.5 4 ∴ 随堂练习：答案： （1） （2）分布列详见解析，数学期望为 解：（1）顾客获得两个奖品的概率为：. （2）个顾客没有获奖的概率为， 所以，则的可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以. 典例4、答案： （1），与线性相关较强 （2）认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于 （3）分布列答案见解析，数学期望： 解：（1）相关系数为 故与线性相关较强. （2）零假设为：购买电动汽车与车主性别相互独立， 即购买电动汽车与车主性别无关. 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于. （3）抽样比，男性车主选取2人，女性车主选取5人，则的可能取值为 故：,, 故的分布列为： 0 1 2 随堂练习：答案： （1）没有（2）分布列见解析，（3）证明见解析 解:（1）本次实验中，， 故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性. （2）依题意，的可能取值为0，1，2，3，4， 故， ， 0 1 2 3 4 故. （3）∵，∴.要证，即证； 首先证明：对任意，有. 证明：因为，所以. 设个路口中有个路口种植杨树， ①当时，， 因为，所以， 于是. ②当时，，同上可得 ③当时，，设， 当时，， 显然，当即时，， 当即时，， 即；， 因此，即. 综上，，即. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$