12.5　第2课时　公式法课件　2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

第2课时　公式法 第12章　 整式的乘除 - 第2课时　公式法 探究与应用 课堂小结与检测 第12章　整式的乘除 探究一　用平方差公式分解因式 [逆向推理] 1.计算下列各式: (1)(a+2)(a-2)=　　　　;  (2)(a+b)(a-b)=　　　　;  (3)(3a+2b)(3a-2b)=　　　　　.  a2-4 a2-b2 9a2-4b2 探究与应用 2.根据第1题中的等式把下列多项式分解因式: (1)a2-4=　　　　　　　;  (2)a2-b2=　　　　　　　;  (3)9a2-4b2=　　　　　　　.  (a+2)(a-2) (a+b)(a-b) (3a+2b)(3a-2b) 探究与应用 能利用平方差公式分解因式的多项式的结构特征 (1)多项式必须是二项式; (2)两项的符号相反; (3)每一项都能写成平方的形式. 注意:公式中的a,b既可以是单项式,也可以是多项式. 知 特征 探究与应用 [概括新知] (1)多项式的乘法公式的　　　　应用就是多项式的因式分 解,若被分解的多项式符合公式的条件,就可以直接写出因式分解的结果,这种分解因式的方法称为公式法.  (2)如[逆向推理]中第2题等号左边都是两个整式平方差的形式,就可逆用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解因式,即:两数(式)的 平方差等于两数(式)的　　　与两数(式)的　　　的积.  逆向 和 差 探究与应用 例: 探究与应用 应用一　利用平方差公式分解因式 例 1 将下列多项式分解因式: (1)x2-9;　　　(2)x2-4y2;　　　(3)9x2-16y2;　　(4)25x2-16y2. 解:(1)x2-9=x2-32=(x+3)(x-3). (2)x2-4y2=x2-(2y)2=(x+2y)(x-2y). (3)9x2-16y2=(3x)2-(4y)2=(3x+4y)(3x-4y). (4)25x2-16y2=(5x)2-(4y)2=(5x+4y)·(5x-4y). 探究与应用 探究二　用两数和(差)的平方公式分解因式 [逆向推理] 1.运用两数和(差)的平方公式填空. (1)(a-1)2=(　　)2-2·　　　·　　　+(　　)2=　　　 　.  (2)(x+2y)2=(　　)2+2·　　　·　　　+(　　)2=　　　 　.   a a 1 1 a2-2a+1 x x 2y 2y x2+4xy+4y2 探究与应用 2.你能用提公因式法把下面两式分解因式吗?若不能,能用平方差公式分解因式吗?观察第1题,用你的发现尝试把下面两式分解因式. (1)a2-2a+1;　　　　　　　(2)x2+4xy+4y2. 解:不能用提公因式法和平方差公式分解因式. (1)a2-2a+1=(a-1)2. (2)x2+4xy+4y2=(x+2y)2. 探究与应用 能利用两数和(差)的平方公式分解因式的多项式的结构特征 (1)多项式是一个二次三项式; (2)其中两项是平方式且这两个平方式的符号相同; (3)第三项是两个平方项的底数的积的2倍(或2倍的相反数). 知 特征 探究与应用 [概括新知] 如[逆向推理]第2题中的多项式都是两数的　　　　加上或减去两数的　　　的　　　倍的形式,就可逆用两数和(差)的平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式,即:两数的　　　加上(或减去)这两数的　　 　,等于这两数　　　的平方.  例: 平方和 积 2　 平方和 积的2倍 和(差) 探究与应用 应用二　利用两数和(差)的平方公式分解因式 例 2 把下列多项式分解因式: (1)x2-6x+9; 　　　　(2)a2-4ab+4b2; 解:(1)x2-6x+9=x2-2·x·3+32=(x-3)2. (2)a2-4ab+4b2 =a2-2·a·2b+(2b)2 =(a-2b)2. 探究与应用 (3)-x2+4xy-4y2; 　　　　(4)(a+b)2+12(a+b)+36. 解:(3)-x2+4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-[x2-2·x·2y+(2y)2] =-(x-2y)2. (4)(a+b)2+12(a+b)+36 =(a+b)2+2·(a+b)·6+62 =(a+b+6)2. 探究与应用 探究三　综合运用所学方法进行因式分解 [问题情境] 把下列多项式分解因式: (1)a2+a; 　　　　(2)9m2-n2; 解:(1)a2+a=a(a+1). (2)9m2-n2=(3m+n)(3m-n). 探究与应用 (3)2am2-8a; 　　　　(4)2a2+4ab+2b2. 解:(3)2am2-8a=2a(m2-4)=2a(m+2)(m-2). (4)2a2+4ab+2b2=2(a2+2ab+b2)=2(a+b)2. 探究与应用 学 技巧 因式分解的步骤 (1)确定待分解的多项式中是否有公因式,若有,则先提公因式; (2)提完公因式后观察多项式的特征,看是否能用公式,两项用平方差公式,三项用两数和(差)的平方公式; (3)多项式若有四项及以上考虑分组分解. 探究与应用 [概括新知] 通常,把一个多项式分解因式,应先观察多项式的每一项,确定是否有　　　　,若有,应先　　 　　,若没有,则尝试 　　　　,必须把每一个因式都分解到不能再分解为止.  公因式 提公因式 公式法 探究与应用 应用三　综合运用所学方法进行因式分解 例 3 把下列多项式分解因式: (1)x3-9x; 　　　　(2)a2(x-1)+b2(1-x); 解:(1)原式=x(x2-9)=x(x+3)(x-3). (2)原式=a2(x-1)-b2(x-1) =(x-1)(a2-b2) =(x-1)(a+b)(a-b). 探究与应用 (5)a4-2a2b2+b4; 　　　　(6)(a2+4)2-16a2. (3)4xy2-4x2y-y3; (4)-3a2x2+24a2x-48a2; 解:(3)原式=-y(4x2-4xy+y2)=-y(2x-y)2. (4)原式=-3a2(x2-8x+16)=-3a2(x-4)2. 解:(5)原式=(a2-b2)2=(a+b)2(a-b)2. (6)原式=(a2+4)2-(4a)2=(a2+4+4a)·(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2. 探究与应用 应用四　用因式分解化简求值 例 4 已知x-y=-1,xy=2,求x3y-2x2y2+xy3的值. 解:x3y-2x2y2+xy3=xy(x2-2xy+y2)=xy(x-y)2. 当x-y=-1,xy=2时, 原式=2×(-1)2=2. 探究与应用 应用五　利用因式分解解决实际问题 例 5 如图12-5-1,一长方形模具长为2a,宽为a,中间开出两个边长为b的正方形孔. (1)求图中阴影部分的面积(用含a,b的式子表示); (2)用分解因式的方法计算当a=15.7,b=4.3时,阴影部分的面积. 图12-5-1 解:(1)题图中阴影部分的面积是2a·a-2b2=2(a2-b2). (2)当a=15.7,b=4.3时, 阴影部分的面积是2(a2-b2)=2(a+b)(a-b)= 2×(15.7+4.3)×(15.7-4.3)=456. 探究与应用 利用因式分解判定三角形的形状 已知a,b,c分别是△ABC三边的长,且a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,请判断△ABC的形状,并说明理由. 【延伸拓展】 解:△ABC是等边三角形. 理由:由a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,得a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0, 即(a-b)2+(b-c)2=0, ∴a-b=0,b-c=0,∴a=b=c, ∴△ABC是等边三角形. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 课堂小结与检测 D [检测] 1.因式分解(x-1)2-9的结果是 (　　) A.(x-10)(x+8) B.(x+8)(x+1) C.(x-2)(x+4) D.(x+2)(x-4) 课堂小结与检测 2.下面是某同学做的几道因式分解题,其中正确的是 (　　) A.x2-2x+1=x(x-2)+1 B.x2y2-1=(x+1)(y-1) C.-4x2-16y2=(2x+4y)(2x-4y) D.-x2-2ax-a2=-(x+a)2 D 3.已知x-y=3,xy=5,则多项式x3y-2x2y2+xy3的值是　　　　.  45 课堂小结与检测 4.把下列各式分解因式: (1)16-4x2; (2)4ab2-4a2b-b3; (3)9x2(a-b)+y2(b-a). 解:(1)4(2+x)(2-x)　(2)-b(2a-b)2 解:(a-b)(3x+y)(3x-y) 课堂小结与检测 例2　[解析] (3)因式分解时,首项是负数,应先提取负号,但要注意各项都要变号. 例4　[解析] 把已知式子分解因式,就会出现因式(x-y)及xy,然后代入求值. 相关解析 谢 谢 观 看！ $$