12.5　第1课时　因式分解及提公因式法课件　2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

12.5　第1课时　因式分解及提公因式法 第12章　 整式的乘除 - 12.5　第1课时　因式分解及提公因式法 探究与应用 课堂小结与检测 第12章　整式的乘除 探究一　因式分解的概念 [逆向推理] 1.前面我们学习了整式的乘法,请你运用前面所学的知识填空: (1)m(a+b+c)=　　　　　　;  (2)(a+b)(a-b)=　　　　;  (3)(a+b)2=　　　　 　.  ma+mb+mc a2-b2 a2+2ab+b2 探究与应用 2.观察上面三个等式填空: (1)ma+mb+mc=　　　　　;  (2)a2-b2=　　　　　;  (3)a2+2ab+b2=　　　　　.  3.上述得到的两组等式,有什么联系和区别? m(a+b+c) (a+b)(a-b)　 (a+b)2 解:第1题中的三个整式是我们已熟悉的整式乘法运算,而第2题中的三个等式,其过程正好与整式的乘法相反. 探究与应用 因式分解和整式乘法的关系 因式分解和整式乘法是互逆的恒等变形,因式分解的对象是多项式,结果是几个整式的积. 识 关系 探究与应用 [概括新知] 因式分解:把一个　　　　化为几个　　　　的　　　　的形式,叫做多项式的因式分解. 多项式 整式 积 探究与应用 因式分解的“四点注意” (1)被分解的代数式一定是多项式; (2)分解后的结果一定是几个整式的积的形式; (3)相同因式的积要写成幂的形式,如:a·a(a+1)要写成a2(a+1); (4)在因式分解形式正确的情况下,可以用整式乘法去检验因式分解的正确性. 知 重点 探究与应用 应用一　利用因式分解的概念进行判断 例 1 下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是 (　　) A.a(m+n)=am+an B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2 C.10x2-5x=5x(2x-1) D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x C 探究与应用 探究二　公因式的概念 [类比推理] 填空: (1)30与21的最大公因数为　　　　;  (2)30与42的最大公因数为　　　　;  (3)21与42的最大公因数为　　　　.  3 6 21 探究与应用 [概括新知] (1)多项式中的每一项都含有的　　　　因式叫做公因式.  (2)一个多项式各项的公因式常常不止一个.通常,当多项式的各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的 　　　 　;字母应取各项　　　　的字母,而且各字母的指数取次数　　　　的.  相同的 最大公因数 相同 最低 探究与应用 (1)公因式必须是每项都含有的因式. (2)当首项的系数带负号时,公因式的系数一般也带负号. (3)公因式既可以是单项式,也可以是多项式,如例2(3)的公因式为(a+b). (4)要善于发现隐藏的公因式,如例2(4)的公因式为(m-n). (5)确定公因式的一般步骤:①定系数(找各个项的系数的最大公因数);②定字母(找各项中相同的字母且相同字母的指数取最低). 得 锦囊 探究与应用 应用二　确定公因式 例 2 请找出下列多项式中各项的公因式: (1)3a+3b; 　　(2)-24m2x+16n2x; (3)2x(a+b)+3y(a+b);　(4)a(m-n)+b(n-m). 解:(1) 3.　 (2) -8x. 解:(3) a+b. 　(4) m-n. 探究与应用 探究三　提公因式法 [问题情境] 1.在多项式3x+3y中,各项有公因式　　　　,把它提出来,多项式就可以分解成两个因式　　　　和　　　　的乘积了.  2.在多项式a2+2a中,各项有公因式　　　　,把它提出来,多项式就可以分解成　　　　和　　　　的乘积了.  3.在多项式-5a2+25a中,各项有公因式　　　　,把它提出来,多项式就可以分解成　　　　和　　　　的乘积了.  3 3 (x+y) a a (a+2) -5a -5a (a-5) 探究与应用 4.在多项式3a2-9ab中,各项有公因式　　　　,把它提出来,多项式就可以分解成　　　　和　　　　的乘积了.  [概括新知] 一般地,如果多项式的各项有　　　　　,可以把它提出来,将多项式写成　　　　与另一个因式的　　　　的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.  3a 3a (a-3b) 公因式 公因式 乘积 探究与应用 应用三　利用提公因式法分解因式 例 3 把下列多项式分解因式: (1)8m2n+2mn;　(2)-20x2y-15xy2+5xy;　(3)(x-y)m-(y-x). 解:(1)原式=2mn(4m+1). (2)原式=-5xy(4x+3y-1). (3)原式=(x-y)m+(x-y)=(x-y)(m+1). 探究与应用 应用四　利用因式分解简化计算 例 4 利用因式分解计算: (1)21×3.14+62×3.14+1.7×31.4; 解:21×3.14+62×3.14+1.7×31.4 =21×3.14+62×3.14+17×3.14 =3.14×(21+62+17) =3.14×100 =314. 探究与应用 (2)2024+20242-2024×2025. 解:2024+20242-2024×2025 =2024×(1+2024-2025) =0. 探究与应用 防 易错 (1)提公因式法的依据是逆用乘法分配律,因式分解只是对多项式的一个变形,左右必须保证恒等; (2)公因式为单项式时,多项式有几项,提公因式后剩下的因式中就有几项,不能漏项; (3)公因式为多项式时,要看清公因式在各项中是否互为相反数,若互为相反数,注意符号的变化; (4)提公因式一定要提“净”(即提出公因式后,剩余的多项式中不能再有公因式). 探究与应用 应用五　利用因式分解求值 例 5 先分解因式,再求值: 已知2x-y=,xy=2,求2x4y3-x3y4的值. 解:原式=x3y3(2x-y). ∵2x-y=,xy=2, ∴x3y3(2x-y)=(xy)3(2x-y)=23×. 探究与应用 利用提公因式法解决数的整除问题 (-8)2023+(-8)2024能被下列数整除的是 (　　) A.3 B.5 C.7 D.9 【延伸拓展】 C 探究与应用 [本课时认知逻辑] 课堂小结与检测 C [检测] 1.下列等式中,从左到右的变形是因式分解的是(　　) A.(x+1)(x-2)=x2-x-2 B.4a2b3=4a2·b3 C.x2-2x+1=(x-1)2 D.x2-3x+2=x(x-3)+2   课堂小结与检测 2.在多项式8a3b2-4a3bc中,各项的公因式是 (　　) A.a3b B.4a3b C.4a3 D.-a3 B 课堂小结与检测 3.分解因式:(1)a2-ab=　　　　　;  (2)2a2b-4ab2+8ab=　 .  a(a-b) 2ab(a-2b+4) 课堂小结与检测 4.把下列各式分解因式: (1)a2x2y-axy2;　　　(2)-3ma3+6ma2-12ma; (3)2a(b+c)-3(b+c); (4)x(x-y)-y(y-x). 解:(1)axy(ax-y)　 (2)-3ma(a2-2a+4) 解:(3)(2a-3)(b+c) (4)(x+y)(x-y) 课堂小结与检测 例1　C　[解析] 因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式,只有C选项满足. 相关解析 谢 谢 观 看！ $$