12.3.1　两数和乘以这两数的差课件　2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

12.3.1　两数和乘以这两数的差 第12章　 整式的乘除 - 12.3.1　两数和乘以这两数的差 探究与应用 课堂小结与检测 第12章　整式的乘除 探究　平方差公式 [问题情境] 1.观察图12-3-1,用等式表示图12-3-2中图形面积的运算: 图12-3-1 　 　　　=　　　 -            图12-3-2 (a+b)(a-b) a2 b2 探究与应用 学 方法 此类用平面图形的面积验证代数恒等式的问题,关键是运用不同方法表示阴影部分的面积. 探究与应用 2.用多项式乘法法则计算:(a+b)(a-b)=　　　　　　　　= 　　　　　.  a2-ab+ab-b2 a2-b2 探究与应用 [概括新知] 两数和与这两数差的乘法公式(平方差公式): (1)符号语言:(a+b)(a-b)=　　　　-　　　　. (2)文字语言:两数和与这两数差的积,等于这两数的　　　 . 例: a2 b2 平方差 探究与应用 平方差公式的结构特征 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. (1)等号左边:①两个二项式的积;②两个二项式中有相同项和互为相反数的项. (2)等号右边:①二项式;②相同项的平方-互为相反数的项的平方. 注意:公式中的字母既可以是单项式,又可以是多项式. 识 特征 探究与应用 应用一　利用平方差公式进行计算 例1 计算: (1)(a+2)(a-2); (2)(3a+b)(3a-b); (3)(-a-b)(a-b); (4)(3x-y)(-y-3x). 解:(1)(a+2)(a-2)=a2-4. (2)(3a+b)(3a-b)=9a2-b2. (3)(-a-b)(a-b)=b2-a2. (4)(3x-y)(-y-3x)=y2-9x2. 探究与应用 例2 计算: (1)101×99; (2)1122-113×111. 解:(1)101×99=(100+1)×(100-1)=1002-1=9999. (2)原式=1122-(112+1)×(112-1)=1122-(1122-1)=1122-1122+1=1. 探究与应用 运用平方差公式进行简便运算的关键是找出“中间数”,“中间数”是求这两个数的平均数.例如199×201的“中间数”是=200,所以199×201=(200-1)×(200+1). 知 关键 探究与应用 应用二　平方差公式的几何意义 例3 如图12-3-3,将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形,利用等面积法可证明某些乘法公式,在下面给出的4幅拼法中,能够验证平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的有 (　　) A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④ 图12-3-3 C 探究与应用 应用三　利用平方差公式解决实际问题 例4 如图12-3-4,小刚家有一块“L”形的菜地,要把这块菜地按图示那样分成面积相等的两个梯形,种上不同的蔬菜,这两个梯形的上底都是x m,下底都是y m,高都是(y-x)m. (1)这块菜地的面积是多少平方米? (2)当x=20,y=30时,菜地的面积是多少平方米? 图12-3-4 解:(1)由题意,得菜地的面积是2×(x+y)(y-x)=(y2-x2)m2. (2)当x=20,y=30时,y2-x2=302-202=900-400=500. 故当x=20,y=30时,菜地的面积是500 m2. 探究与应用 在运用平方差公式解决实际问题时,要认真分析题意,把实际问题转化为数学问题来解决. 寻 思路 探究与应用 [本课时认知逻辑] 课堂小结与检测 D [检测] 1.下列算式能用平方差公式计算的是 (　　) A.(3a+b)(3b-a) 　 B.(6x+1)(-6x-1) C.(2x-y)(-2x+y) D.(-m+n)(-m-n) 课堂小结与检测 2.计算: (1)(2m+3)(2m-3);　(2)(-4a-1)(-4a+1); (3)(4+x)(-4+x); 　(4)(2a-3b)(-3b-2a). 解:(1)原式=(2m)2-32=4m2-9. (2)原式=(-4a)2-12=16a2-1. (3)原式=(x)2-42=x2-16. (4)原式=(-3b)2-(2a)2=9b2-4a2. 课堂小结与检测 例1　[解析] 解题前应该先从整体上观察是否符合公式的结构特征,不可盲目套用公式. 相关解析 谢 谢 观 看！ $$