专题04 解一元一次方程80道计算题专训（8大题型）-2024-2025学年六年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版2024）

专题04 解一元一次方程80道计算题专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 解简单的一元一次方程 题型二 解含分母的一元一次方程 题型三 解含绝对值的一元一次方程 题型四 有规律的一元一次方程问题 题型五 根据两个一元一次方程的关系求解 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 一元一次方程的新定义问题 题型八 一元一次方程解的拓展问题 【经典例题一 解简单的一元一次方程】 1．（2024六年级上·北京·专题练习）． 2．（24-25六年级上·陕西西安·阶段练习）解方程：． 3．（23-24六年级上·江苏苏州·期中）解方程： (1)； (2)． 4．（24-25六年级上·黑龙江绥化·期中）解方程． ①    ②     ③ 5．（24-25六年级上·云南曲靖·期中）解方程： (1) (2) 6．（23-24六年级上·贵州黔东南·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 7．（23-24六年级上·安徽六安·期中）解方程： (1)； (2)． 8．（23-24六年级上·安徽合肥·期末）判断下列的值是不是一元一次方程的解： (1)． (2)． (3)． 9．（2024六年级上·全国·专题练习）检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解： (1)； (2)． 10．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题二 解含分母的一元一次方程】 11．（2024六年级上·全国·专题练习）解方程： 12．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程 (1)； (2)； 13．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 14．（24-25六年级上·全国·期末）解下列方程： (1)； (2)． 15．（24-25六年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 16．（23-24六年级上·山西大同·阶段练习）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（23-24六年级上·河南鹤壁·开学考试）（1）解方程：； （2）解方程组 18．（23-24六年级上·福建泉州·阶段练习）若关于的方程的解和关于的方程与的解相同，求字母的值． 19．（23-24六年级上·四川宜宾·期中）在学完解一元一次方程后，聪明的小明同学解方程的过程如下： 解：原方程可变形为． （？），得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． (1)小明的解题过程中，“？”处应填______，解此步的依据是______； (2)参考小明的解题过程，解方程：． 20．（24-25六年级上·重庆渝北·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【经典例题三 解含绝对值的一元一次方程】 21．（24-25六年级上·河南信阳·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)请画出数轴，将下列各数在数轴上表示出来，并用“”连接； ，，，，，． (2)如果，那么 ． 22．（24-25六年级上·广东江门·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是什么，最小值是什么．” 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，式子的最小值为3． 请你根据他们的解题思路解决下面的问题． (1)当式子取最小值时，最小值是__________． (2)已知，y的最大值是__________． (3)已知：，则__________． 23．（24-25六年级上·河南郑州·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)请画出数轴，将下列各数在数轴上表示出来，并用“<”连接： ，，，，， (2)如果，那么______； (3)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____． 24．（24-25六年级上·江西宜春·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题∶ (1)表示和2两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么_________； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为_________； (3)若，求． 25．（2024六年级上·江苏·专题练习）同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求 ； (2)若，则 ； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 26．（24-25六年级上·陕西西安·阶段练习）由绝对值的几何意义可知，数轴上表示数的点到原点的距离为．小小进一步探究发现，在数轴上，表示3和5的两点之间的距离为；表示和5的两点之间的距离为；表示和的两点之间的距离为． 根据以上内容回答下列问题： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离为________． (2)若，则________； (3)若，则________． 27．（23-24六年级上·江苏南京·阶段练习）先阅读下面的解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)依例题的解法，解方程：； (3)依例题的解法，方程的解是______． 28．（2024六年级上·浙江·专题练习）根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如： 解：方程可化为：或， 当时，则有：，所以， 当时，则有：；所以， 故，方程的解为或． (1)解方程：； (2)已知，求的值． 29．（23-24六年级上·浙江宁波·阶段练习）一个数在数轴上对应的点到原点的距离是这个数的绝对值，如数轴上表示2的点到原点的距离为，数轴上表示的点到原点的距离，数轴上表示的点到原点的距离为，则表示的意义是数轴上表示的点与表示4的点之间的距离． 根据你对上述文字的理解，解答下列问题： (1)数轴上表示和5两点之间的距离___________． (2)若数轴上表示的点满足，则的值为___________； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得，则的值为___________； 30．（23-24六年级上·安徽池州·期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【经典例题四 有规律的一元一次方程问题】 31．（23-24六年级上·辽宁抚顺·期中）有一列数，按一定规律排列成，，，，，，……，其中某三个相邻数的和是，求这三个数各是多少？ 32．（23-24六年级上·全国·课后作业）有一列数，按一定规律排列成1，，9，，81，，…．其中某三个相邻数的和是，这三个数各是多少？ 33．（23-24六年级上·福建福州·期中）若“☆”表示一种新的运算符号，且有如下运算规律．已知2☆3＝2+3+4，7☆2＝7+8，3☆5＝3+4+5+6+7，9☆4＝9+10+11+12…按此规律，如果n☆3＝33，求n的值． 34．（23-24六年级上·内蒙古赤峰·期末）我们把按一定规律排列的一列数称为数列．若对于一个数列中任意相邻有序的三个数a，b，c总满足，则称这个数列为“梦数列”． (1)若0，1，－1，2，y是“梦数列”，求y的值； (2)若数列…，x，3，6x－1，…是“梦数列”，求x的值． 35．（23-24六年级上·陕西商洛·期末）如图，第一个图形中有4个五角星，第二个图形中有7个五角星，第三个图形中有10个五角星，依照这样的规律． (1)求第个图形中五角星的个数； (2)若第个图形中五角星的个数为1000，求的值． 36．（23-24六年级上·河北保定·阶段练习）用火柴棒搭的图形如图所示： (1)图①有5根火柴棒，图②有9根火柴棒，图③有______根火柴棒． (2)按此规律，第n个图有______根火柴棒（用含n的式子表示）； (3)按此规律，是否存在图有2024根火柴棒？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由． 37．（23-24六年级上·山东潍坊·期末）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 … 座位数（y） 50 54 58 62 … （1）按照上表所示的规律，当排数为8时，此时座位数为多少？ （2）写出座位数y与排数x之间的关系式； （3）按照上表所示的规律，某一排可能有92个座位吗？说说你的理由． 38．（23-24六年级上·河北唐山·期末）下列是用木棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第4个图形中共有______根木棒，第7个图形中共有______根木棒； (2)第n个图形中共有______根木棒（用含n的式子表示）；第______个图形中有根木棒； (3)请判断上组图形中前个图形木棒数的总和是否为的倍数，填______（是或否）． 39．（23-24六年级上·福建三明·期中）观察下列等式： ； ； ． 根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题： （1）上面等式反映的规律用文字语言可以描述如下：存在两个有理数，使得这两个有理数的差等于______． （2）若满足上述规律的两个有理数中有一个数是，求另一个有理数． （3）若这两个有理数用字母a，b表示，则用字母表示上面等式反映的规律． （4）在（3）中的关系式中，字母a，b是否需要满足一定的条件？若需要，直接写出字母a，b应满足的条件；若不需要，请说明理由． 40．（24-25六年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，数轴上、两点所对应的数分别是和，且． (1)则______，______，、两点之间的距离______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，求点所对应的有理数． (3)在（2）的条件下，点在某次运动时恰好到达某一个位置，使点到点的距离是点到点的距离的2倍？直接写出此时点的位置，并直接写出是第几次运动． 【经典例题五 根据两个一元一次方程的关系求解】 41．（23-24六年级上·吉林·阶段练习）若式子的值比的值大1，求y的值． 42．（23-24六年级上·全国·课堂例题）若与的值互为相反数，求的值． 43．（2024六年级上·全国·专题练习）如果方程的解与方程的解相同，求的值． 44．（23-24六年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程，若该方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 45．（23-24六年级上·湖北宜昌·期中）已知关于的方程与方程有相同解，求的值． 46．（23-24六年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程的解比关于的方程的解大，求的值． 47．（23-24六年级上·浙江金华·期末）已知关于的方程：与有相同的解． (1)求的值 (2)求以为未知数的方程的解． 48．（23-24六年级上·河南周口·阶段练习）已知，． (1)若的值与的值相等，求的值； (2)当取何值时，比大3？ 49．（23-24六年级上·广东汕头·阶段练习）已知关于的方程的解比方程的解大2． (1)求第二个方程的解（要求写出具体过程） (2)求m的值 50．（23-24六年级上·四川成都·期末）已知关于的方程与有相同的解． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】 51．（2024六年级上·全国·阶段练习）已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 52．（2024六年级上·全国·阶段练习）若是整数，且，求的值． 53．（23-24六年级上·福建莆田·阶段练习）已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 54．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算“▲”，其运算方式如下： …… 观察式子的运算方式，请解决下列问题： (1)这种运算方式是： ________（用含m，n的式子表示）； (2)解方程：； (3)若关于x的方程：的解为整数，求正整数a的值． 55．（23-24六年级上·山西吕梁·期末）阅读材料题 定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求，的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 56．（23-24六年级上·河南周口·阶段练习）已知关于x的整式，整式，若p是常数，且的值与x无关． (1)求p的值； (2)若q为整数，关于x的一元一次方程的解是正整数，求的值． 57．（23-24六年级上·福建龙岩·期末）已知关于x的一元一次方程，其中k为常数． (1)若是该方程的解，求k的值； (2)若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数k的值． 58．（23-24六年级上·全国·专题练习）是否存在整数k，使关于x的方程有整数解？并求出解． 59．（23-24六年级上·河南南阳·阶段练习）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； 60．（23-24六年级上·全国·专题练习）当整数k为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解． 【经典例题七 一元一次方程的新定义问题】 61．（23-24六年级上·吉林·期末）“” 是新规定的某种运算符号，设，求中x的值． 62．（23-24六年级上·青海海东·期末）定义一种新运算“※”，．例如：，．若，求的值． 63．（23-24六年级上·江西宜春·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值； (2)若，求a的值 64．（23-24六年级上·四川遂宁·阶段练习）定义一种新运算“※”，其规则为． 例如：．再如：． (1)计算值为______． (2)若，求的值． 65．（23-24六年级上·湖南衡阳·期中）对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 66．（23-24六年级上·辽宁沈阳·阶段练习）定义一种新运算： (1)填空：___________； (2)求的值； (3)若，求的值． 67．（23-24六年级上·陕西榆林·期末）新定义：若任意两数，按规定，通过运算得到一个新数W，则称所得新数W是数的“快乐学习数”． (1)若，，求a、b的“快乐学习数”W． (2)若，数a、b的“快乐学习数”W为16，求a的值． 68．（24-25六年级上·江西鹰潭·阶段练习）定义一种新运算，规定． (1)计算的值； (2)表示数m的点M在数轴上的位置如图所示，且，求m的值． 69．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下列材料： 让我们来定义一种运算：，例如：，再如：． 按照这种运算的规定，请解答下列问题． (1)______（只填最后结果）； (2)求的值，使（写出解题过程）． 70．（23-24六年级上·陕西咸阳·阶段练习）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值． 【经典例题八 一元一次方程解的拓展问题】 71．（2024六年级上·江苏·专题练习）若a、b、c、d是正数，解方程． 72．（23-24六年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程的解比关于的方程的解大，求的值． 73．（23-24六年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读解方程的途径． (1)按照图1所示的途径，填写图2内空格． ①　　；②　　． (2)已知关于x的方程+c＝的解是或（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 74．（23-24六年级上·安徽蚌埠·期中）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2） 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． (1)解方程：； (2)探究：当b为何值时，方程，①无解；②只有一个解；③有两个解． 75．（23-24六年级上·湖南长沙·期中）1990年，著名社会学家费孝通先生总结出了“各美其美，美人之美，美美与共，天下大同”这一处理不同文化关系的十六字“箴言”．在数学上，我们不妨约定：若关于的方程与同时满足，则称方程与互为“美美与共”方程．根据该约定，回答下列问题． (1)已知关于的方程与互为“美美与共”方程，且方程的解为，则______，______，______； (2)是否存在有理数，使关于的方程与其“美美与共”方程的解都是整数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若方程的解也是方程的解，求方程的“美美与共”方程的解． 76．（23-24六年级上·江苏南京·期末）阅读下面解方程的途径． 解方程 方程的解是，→ (1)按照上述途径，填写下面的空格． 解方程 方程的解是，→ (2)已知关于x的方程的解是或（a、b、c均为常数），求关于x的方程（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 77．（23-24六年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元一次方程（其中，b为常数）若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“缘解方程”，例如：方程的解为，且．则方程为“缘解方程”． (1)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”则b的值为______； (2)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，且解为，求m，n的值； (3)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，求代数式的值． 78．（23-24六年级上·江苏·期末）阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 79．（23-24六年级上·江苏宿迁·期中）阅读并解决问题： 对于任何数，我们规定符号的意义是． 例如：． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)若，求的值． 80．（23-24六年级上·福建福州·期末）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则k=______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； (3)是否存在m的值会使关于y的方程无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 解一元一次方程80道计算题专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 解简单的一元一次方程 题型二 解含分母的一元一次方程 题型三 解含绝对值的一元一次方程 题型四 有规律的一元一次方程问题 题型五 根据两个一元一次方程的关系求解 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 一元一次方程的新定义问题 题型八 一元一次方程解的拓展问题 【经典例题一 解简单的一元一次方程】 1．（2024六年级上·北京·专题练习）． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 2．（24-25六年级上·陕西西安·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的求解，准确计算是解题的关键；根据去括号法则进行化简计算一元一次方程即可． 【详解】解：原方程化为：， 两边同乘以35，得：， 去括号，得：， 两边同乘以3得：， 移项，合并同类项得：． 3．（23-24六年级上·江苏苏州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解题步骤是解此题的关键． （1）先去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可得解； （2）先去分母、去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可得解． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 4．（24-25六年级上·黑龙江绥化·期中）解方程． ①    ②     ③ 【答案】①；②；③ 【分析】本题主要考查了解方程： 先把方程左边合并，再把方程两边同时乘以即可得到答案； 先变形得到，即，再把方程两边同时乘以即可得到答案； 先把方程两边同时乘以5得到，再把方程两边同时乘以即可得到答案． 【详解】解：①    ； ②    ； ③ ． 5．（24-25六年级上·云南曲靖·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 对于（1），根据移项，合并同类项，系数化为1计算即可； 对于（2），先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以5，得； （2）去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 6．（23-24六年级上·贵州黔东南·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】依次进行去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解，本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是：熟练掌握解一元一次方程的五个步骤, 【详解】（1）解： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得， （2）解： 去分母，得： 去括号，得： 移项、合并同类项，得： 系数化为1，得：． 7．（23-24六年级上·安徽六安·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查一元一次方程的解法，解题的关键是熟知等式的性质．根据等式的性质进行去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解： （2）解： 8．（23-24六年级上·安徽合肥·期末）判断下列的值是不是一元一次方程的解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)不是原方程的解． (2)不是原方程的解． (3)是原方程的解． 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键．先求出方程的解，再根据方程的解的定义逐个判断即可（也可以把的值代入方程，看看方程的两边是否相等）． 【详解】（1）解：当时，，， ， 不是方程的解； （2）解：当时，，， ， 不是方程的解； （3）解：当时，，， ， 是方程的解． 9．（2024六年级上·全国·专题练习）检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解： (1)； (2)． 【答案】(1)不是方程的解,是方程的解； (2)是方程的解；不是方程的解． 【分析】（1）根据方程解的定义，把数分别代入方程左、右两边的代数式，能使得左右两边相等的即为方程的解； （2）根据方程解的定义，把数分别代入方程左、右两边的代数式，能使得左右两边相等的即为方程的解； 【详解】（1）把代入原方程； 左边， 右边． ∵， ∴不是该方程的解． 把代入方程，得 左边， 右边． ∵， ∴是该方程的解； （2）把代入原方程． 左边，右边， ∵， ∴是原方程的解； 把代入原方程． 左边，右边， ∵， ∴不是原方程的解． 【点睛】本题考查方程解的定义，理解方程解的定义是解题的关键． 10．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （2）先去括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （3）先去分母，再括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （4）先去分母，再括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． 【详解】（1）解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，； （2）解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，； （3）解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，； （4）解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，． 【经典例题二 解含分母的一元一次方程】 11．（2024六年级上·全国·专题练习）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程；方程两边同时乘以，依次去括号，即可求解． 【详解】解：， 两边同时乘以，得 ， ∴， ， ∴， ∴， 解得：． 12．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟悉解一元一次方程的步骤是关键，注意各步不要出错； （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）去分母，方程两边同乘12，化为系数是整数的方程，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解：去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解：方程两边同乘12，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 13．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可． 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 14．（24-25六年级上·全国·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，． 15．（24-25六年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键． （1）去括号、移项、合并同类项、化系数为即可求解； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为即可求解． （3）去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为即可求解． （4）去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为即可求解． 【详解】（1）解：去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为： （2）解：去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为： （3）解：去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为： （4）解：去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为： 16．（23-24六年级上·山西大同·阶段练习）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元一次方程． （1）移项，合并同类项，化系数为1即可． （2）去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可． （3）去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可． （4）去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 17．（23-24六年级上·河南鹤壁·开学考试）（1）解方程：； （2）解方程组 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及解二元一次方程组． （1）去分母，去括号，移项合并同类项，化系数为一即可求解． （2）先整理，然后按照加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：（1） （2） 整理得： 由①②得：， 解得：， 把代入①可得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 18．（23-24六年级上·福建泉州·阶段练习）若关于的方程的解和关于的方程与的解相同，求字母的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，掌握同解方程的意义及一元一次方程的解法是解题关键．先分别解出两个一元一次方程，再令其解相等得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解：解方程， 解得， 解方程， 解得， 由题意得： 解得：． 19．（23-24六年级上·四川宜宾·期中）在学完解一元一次方程后，聪明的小明同学解方程的过程如下： 解：原方程可变形为． （？），得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． (1)小明的解题过程中，“？”处应填______，解此步的依据是______； (2)参考小明的解题过程，解方程：． 【答案】(1)去分母；等式的基本性质； (2)． 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）根据解一元一次方程的步骤和等式的性质求解即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）小明的解题过程中，“？”处应填去分母，解此步的依据是等式的基本性质； （2）原方程可变形为． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边同除以，得． 20．（24-25六年级上·重庆渝北·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数的运算律、解一元一次方程等知识点，掌握解一元一次方程的步骤成为解题的关键． （1）先化除为乘，然后运用有理数乘法运算律和运算法则计算即可； （2）根据有理数乘法运算律以及有理数的混合运算法则计算即可； （3）根据有理数加法运算律以及加减混合运算法则计算即可； （4）根据有理数混合运法则计算即可； （5）根据去括号、移向、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （6）根据去分母、去括号、移向、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （7）根据去分母、去括号、移向、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （8）根据去分母、去括号、移向、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． （7）解： ． （8）解： ． 【经典例题三 解含绝对值的一元一次方程】 21．（24-25六年级上·河南信阳·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)请画出数轴，将下列各数在数轴上表示出来，并用“”连接； ，，，，，． (2)如果，那么 ． 【答案】(1)见解析， (2)或． 【分析】本题考查了数轴，相反数，绝对值，解一元一次方程，准确在数轴上找到各数对应的点是解题关键． （1）先化简各数，再在数轴上表示出来，最后根据数轴上左边的数小于右边的数比较大小即可； （2）根据绝对值的意义化简，得到或，求解即可 【详解】（1）解：，， 在数轴上表示如下： ； （2）解：， 或， 或， 故答案为：或． 22．（24-25六年级上·广东江门·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是什么，最小值是什么．” 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，式子的最小值为3． 请你根据他们的解题思路解决下面的问题． (1)当式子取最小值时，最小值是__________． (2)已知，y的最大值是__________． (3)已知：，则__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了绝对值，解一元一次方程； （1）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案； （2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案． （3）分，，化简绝对值，进而解方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，原式，此时；当时，原式；当时，原式， 当时，取最小值时，最小值为． 故答案为． （2）解：当时， 当时，，当时，最大； 当，时， 综上所以时，有最大值． 故答案为：10． （3）解：， 当时，原方程可以化为， 解得： （舍去）， 当时，原方程可以化为， 解得：， 当时，原方程可以化为， ， 综上所述，或； 故答案为：3或18． 23．（24-25六年级上·河南郑州·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)请画出数轴，将下列各数在数轴上表示出来，并用“<”连接： ，，，，， (2)如果，那么______； (3)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____． 【答案】(1)数轴见解析，； (2)1或 (3)8 【分析】（1）先准确画出数轴，然后找到各数对应的点，再根据数轴上的数左边比右边的数小，用“”连接即可； （2）根据绝对值的意义求解即可； （3）由题意易得，，然后根据绝对值的性质可进行求解． 【详解】（1）解：，， 数轴如图所示： 用“”连接为：； （2）解：∵， ， 或． 故答案为：1或； （3）解：∵数轴上表示数a的点位于与之间， ∴，， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了数轴，相反数，绝对值，解一元一次方程及合并同类项，准确在数轴上找到各数对应的点是解题的关键． 24．（24-25六年级上·江西宜春·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题∶ (1)表示和2两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么_________； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为_________； (3)若，求． 【答案】(1)；或 (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值； （1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据题意对去绝对值即可求解； （3）分数的点位于的左边或的右边两种情况讨论，再分别计算即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ， 或， 或． 故答案为：；或； （2）解：数轴上表示数的点位于与之间， ， 故答案为：； （3）解：， 数的点位于的左边或的右边， 当数的点位于的左边时，则， 解得； 数的点位于的右边，则， 解得； 综上，或． 25．（2024六年级上·江苏·专题练习）同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求 ； (2)若，则 ； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1)6 (2)7或 (3)或或0或1 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握其基础知识是解题的关键． （1）利用绝对值的意义去绝对值即可求解． （2）利用绝对值是意义去绝对值即可求解． （3）令，得：，令，得：，又，利用数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：6． （2）解：由得： 当时，解得：， 当时，解得：， 故答案为：7或． （3）解：令，得：， 令，得：， 又， 则，表示的是x到1和之间的距离之和， ， 符合条件的整数为：或或0或1． 26．（24-25六年级上·陕西西安·阶段练习）由绝对值的几何意义可知，数轴上表示数的点到原点的距离为．小小进一步探究发现，在数轴上，表示3和5的两点之间的距离为；表示和5的两点之间的距离为；表示和的两点之间的距离为． 根据以上内容回答下列问题： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离为________． (2)若，则________； (3)若，则________． 【答案】(1)6 (2)7或3 (3)或5 【分析】本题考查的是绝对值的定义，解一元一次方程，数轴上两点之间的距离，解答此类问题时要用分类讨论的思想． （1）根据定义得到； （2）根据定义得到，或，分别解之即可； （3）分类讨论，当时，，解方程；当时，发现 ，不成立，舍去；当时，，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，距离为：， 故答案为：6； （2）解：由题意得，或， 解得：或， 故答案为：7或3； （3）解： 当时，， 解得：； 当时，， 即，不成立，舍去； 当时，， 解得：， 故答案为：或5． 27．（23-24六年级上·江苏南京·阶段练习）先阅读下面的解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)依例题的解法，解方程：； (3)依例题的解法，方程的解是______． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了解一元一次方程、绝对值： （1）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （3）分类讨论：①当，②当，③当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； 利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：讨论：①当时，原方程可化为， 解得：． ②当时，原方程可化为， 解得：． ∴原方程的解为或， 故答案为：或． （2）， ①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是； ∴原方程的解为或． （3）， ①当，即时，原方程可化为，它的解是； ②当，即时，原方程可化为，它的解是； ③当时，原方程可化为，此时方程无解； ∴原方程的解为或． 故答案为：或． 28．（2024六年级上·浙江·专题练习）根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如： 解：方程可化为：或， 当时，则有：，所以， 当时，则有：；所以， 故，方程的解为或． (1)解方程：； (2)已知，求的值． 【答案】(1)或 (2)12或 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，解决本题的关键是理解绝对值的意义，熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）根据绝对值的意义和解一元一次方程的步骤进行计算即可； （2）根据绝对值的意义可得或，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程：， 或， 解得或， 故方程的解为或； （2）解：已知， 或， 解得或 所以的值为12或， 答：的值为12或． 29．（23-24六年级上·浙江宁波·阶段练习）一个数在数轴上对应的点到原点的距离是这个数的绝对值，如数轴上表示2的点到原点的距离为，数轴上表示的点到原点的距离，数轴上表示的点到原点的距离为，则表示的意义是数轴上表示的点与表示4的点之间的距离． 根据你对上述文字的理解，解答下列问题： (1)数轴上表示和5两点之间的距离___________． (2)若数轴上表示的点满足，则的值为___________； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得，则的值为___________； 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值的定义即可求解； （2）根据绝对值的非负性判断得或，分别求解即可； （3）分多种情况进行讨论求值即可； 【详解】（1）数轴上表示和5两点之间的距离为． 故答案为：． （2） 或， ∴或． 故答案为：或． （3） 当时，，，则，∴； 当时，，，则，∴无解； 当时，，，则，∴； ∴的值为或5． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查绝对值的非负性的应用及绝对值的定义、解一元一次方程，掌握相关知识并正确计算是解题的关键． 30．（23-24六年级上·安徽池州·期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先去绝对值，化成一元一次方程求解即可； （2）先去绝对值，化成一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义得或， 解得或； （2）解：由绝对值的意义得或， 解得或． 【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，理解绝对值的意义是求解本题的关键． 【经典例题四 有规律的一元一次方程问题】 31．（23-24六年级上·辽宁抚顺·期中）有一列数，按一定规律排列成，，，，，，……，其中某三个相邻数的和是，求这三个数各是多少？ 【答案】这三个数分别是，242，． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，观察可知后面一个数是前面一个数的倍，则可设所求三个数为从左到右分别为x，，，根据这三个数的和为可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设所求三个数为从左到右分别为x，，， 由题意得，， ∴， 解得， ∴， 答：这三个数分别是，242，． 32．（23-24六年级上·全国·课后作业）有一列数，按一定规律排列成1，，9，，81，，…．其中某三个相邻数的和是，这三个数各是多少？ 【答案】这三个数是，729，． 【分析】设这三个数中第一个数为，则另外两个数分别为、，根据三数之和为，解之即可得出结论． 【详解】解：设这三个数中第一个数为，则另外两个数分别为、， 根据题意得：， 解得：， ，． 答：这三个数是，729，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 33．（23-24六年级上·福建福州·期中）若“☆”表示一种新的运算符号，且有如下运算规律．已知2☆3＝2+3+4，7☆2＝7+8，3☆5＝3+4+5+6+7，9☆4＝9+10+11+12…按此规律，如果n☆3＝33，求n的值． 【答案】10 【分析】根据所给的式子可以找出其规律：等号左边的数为起始数，等号左边第二个数表示从第一个数开始连续的几个整数，把这几个整数相加，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意得：n☆3， 解得：． 【点睛】题目主要考查列代数式及解方程，根据题中规律，列出方程是解题关键． 34．（23-24六年级上·内蒙古赤峰·期末）我们把按一定规律排列的一列数称为数列．若对于一个数列中任意相邻有序的三个数a，b，c总满足，则称这个数列为“梦数列”． (1)若0，1，－1，2，y是“梦数列”，求y的值； (2)若数列…，x，3，6x－1，…是“梦数列”，求x的值． 【答案】(1)-6 (2)-2 【分析】（1）根据题意，可以得到y=-1×2+2×（-1）-2，然后计算即可； （2）根据题意，可以得到6x-1=3x+2x-3，然后解方程即可得到x的值； 【详解】（1）解：∵0，1，-1，2，y是“梦数列”， ∴y=-1×2+2×（-1）-2=-2+（-2）+（-2）=-6， 故答案为：-6； （2）∵数列…，x，3，6x-1，…是“梦数列”， ∴6x-1=3x+2x-3， 解得x=-2， 即x的值为-2； 【点睛】本题考查数字的变化类、代数式求值，解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，利用“梦数列”的定义解答． 35．（23-24六年级上·陕西商洛·期末）如图，第一个图形中有4个五角星，第二个图形中有7个五角星，第三个图形中有10个五角星，依照这样的规律． (1)求第个图形中五角星的个数； (2)若第个图形中五角星的个数为1000，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是规律性问题，解答规律型问题时，通常是根据简单的例子找出一般化规律，然后根据规律去求特定的值． （1）由图形可知每次增加3个五角星，由此得出图形的规律； （2）根据（1）得出的规律列方程求解即可. 【详解】（1）解：第一个图形中有个五角星， 第二个图形中有个五角星， 第三个图形中有个五角星，依照这样的规律…， 故第个图形中五角星的个数， （2）若第个图形中五角星的个数为1000， 即， 解得 36．（23-24六年级上·河北保定·阶段练习）用火柴棒搭的图形如图所示： (1)图①有5根火柴棒，图②有9根火柴棒，图③有______根火柴棒． (2)按此规律，第n个图有______根火柴棒（用含n的式子表示）； (3)按此规律，是否存在图有2024根火柴棒？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)13 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由图即可得到答案； （2）分别找出图①，图②，图③的数字规律，即可得到答案； （3）将代入，如果算出n为正整数，即证明存在图有2024根火柴棒，否则不存在． 【详解】（1）解：从图中可以数出，图③有13根火柴棒； （2）因为图①有5根火柴棒，图②有（2×5-1）根火柴棒，图③有（3×5-2）根火柴棒，则第n个图有根火柴棒； （3）由题意得， ，解得， 因为n为正整数，所以不存在图有2024根火柴棒． 【点睛】本题考查了列代数式中的图形规律和数字规律，根据题意找出规律列出代数式是本题的关键． 37．（23-24六年级上·山东潍坊·期末）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 … 座位数（y） 50 54 58 62 … （1）按照上表所示的规律，当排数为8时，此时座位数为多少？ （2）写出座位数y与排数x之间的关系式； （3）按照上表所示的规律，某一排可能有92个座位吗？说说你的理由． 【答案】（1）78个；（2）y＝4x+46；（3）不可能，见解析 【分析】（1）由表格可每增加一排，座位增加4个，由此可求解； （2）由（1）可直接得出座位数y与排数x之间的关系； （3）当y=92代入（2）可直接进行求解判断． 【详解】解：（1）由表格可得：每增加一排，座位增加4个，则有当排数为8时，此时座位数为（个）； 答：此时座位数为78个； （2）由（1）可得：y＝50+4（x﹣1）， 即y＝4x+46； （3）不可能，理由如下： 当y＝92时，4x+46＝92，解得，因为不是正整数， 所以不存在一排有92个座位． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 38．（23-24六年级上·河北唐山·期末）下列是用木棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第4个图形中共有______根木棒，第7个图形中共有______根木棒； (2)第n个图形中共有______根木棒（用含n的式子表示）；第______个图形中有根木棒； (3)请判断上组图形中前个图形木棒数的总和是否为的倍数，填______（是或否）． 【答案】(1) (2)， (3)是 【分析】本题考查了图形规律问题，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据图形即可确定木棒的根数； （2）由（1）即可得出一般规律求解； （3）前个图形木棒数的总和为，将该式化简即可判断． 【详解】（1）解：第1个图形中共有木棒：（根）； 第2个图形中共有木棒：（根）； 第3个图形中共有木棒：（根）； ∴第4个图形中共有木棒：（根）； 第7个图形中共有木棒：（根）； 故答案为： （2）解：由（1）得：第个图形中共有木棒：（根）； 令， 解得： 故答案为：， （3）解：前个图形木棒数的总和为： ∴前个图形木棒数的总和是的倍数， 故答案为：是 39．（23-24六年级上·福建三明·期中）观察下列等式： ； ； ． 根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题： （1）上面等式反映的规律用文字语言可以描述如下：存在两个有理数，使得这两个有理数的差等于______． （2）若满足上述规律的两个有理数中有一个数是，求另一个有理数． （3）若这两个有理数用字母a，b表示，则用字母表示上面等式反映的规律． （4）在（3）中的关系式中，字母a，b是否需要满足一定的条件？若需要，直接写出字母a，b应满足的条件；若不需要，请说明理由． 【答案】（1）这两个有理数的积；（2）或；（3）或；（4）字母a、b应满足的条件是倒数的差为1 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）设另一个有理数为x，则根据题意可得或，进而求解即可； （3）根据题意可直接进行求解； （4）根据等式的性质可得或，即字母a、b满足的条件可求． 【详解】解：（1）上面等式反映的规律用文字语言可以描述如下：存在两个有理数，使得这两个有理数的差等于这两个有理数的积； 故答案为这两个有理数的积； （2）设另一个有理数为x，则根据题意得： 或， 解得：或； （3）若这两个有理数用字母a，b表示，则用字母表示上面等式反映的规律为或； （4）由（3）可知或， ∴两边同时除以ab，即或， ∴字母a、b应满足的条件是倒数的差为1． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 40．（24-25六年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，数轴上、两点所对应的数分别是和，且． (1)则______，______，、两点之间的距离______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，求点所对应的有理数． (3)在（2）的条件下，点在某次运动时恰好到达某一个位置，使点到点的距离是点到点的距离的2倍？直接写出此时点的位置，并直接写出是第几次运动． 【答案】(1)，，12 (2)点P所对应的有理数为 (3)和分别是点运动了第23次和第8次到达的位置 【分析】本题考查绝对值的非负性，数轴上的两点间的距离，数轴上的动点问题，有理数的加法运算，一元一次方程的应用。读懂题意，正确的列出算式和方程，是解题的关键． （1）根据非负性，求出a，b的值，两点间的距离公式求出A、B两点之间的距离即可； （2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数，根据题意，列出算式进行计算即可； （3）设点P对应的数为x，分点P在点A的左侧，点P在点A和点B之间，点P在点B的右侧，三种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴A、B两点之间的距离为； 故答案为：，7，12； （2）解：设向左运动记为负数，向右运动记为正数， 依题意得：， ， ． （3）解：设点P对应的数为x， ①当点P在点A的左侧时： 依题意得： 解得： ②当点P在点A和点B之间时：，依题意得： 解得： ③当点P在点B的右侧时：，依题意得： 解得：， 这与点P在点B的右侧矛盾，故舍去， 综上所述，点P所对应的有理数分别是和且是P点分别运动到第23次和第8次的位置． 【经典例题五 根据两个一元一次方程的关系求解】 41．（23-24六年级上·吉林·阶段练习）若式子的值比的值大1，求y的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴， 解得． 42．（23-24六年级上·全国·课堂例题）若与的值互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据互为相反数的两数之和为0，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握互为相反数的两数之和为0，列出方程． 43．（2024六年级上·全国·专题练习）如果方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】解方程得，把代入方程，即可求解． 【详解】解：方程， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 把代入得 ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的方法解一元一次方程，掌握解方程的方法是解题的关键． 44．（23-24六年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程，若该方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 【答案】m的值为0 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，先解方程得出，得出方程的解为，把代入解关于m的方程即可． 【详解】解：， 解得：， ∵方程的解为与方程的解互为相反数， ∴方程的解为， 把代入方程，得： ， 解得：． 故m的值为0． 45．（23-24六年级上·湖北宜昌·期中）已知关于的方程与方程有相同解，求的值． 【答案】 【分析】先求出第二个方程的解，把代入第一个方程，求出的值即可． 【详解】解：， ， ， ， 把​代入方程得：， 解得：​． 【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，解此题的关键是得出关于的方程，难度不是很大． 46．（23-24六年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程的解比关于的方程的解大，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 先求出方程的解，再求出方程的解，两者差额为，即可解答． 【详解】 根据题意可知： 47．（23-24六年级上·浙江金华·期末）已知关于的方程：与有相同的解． (1)求的值 (2)求以为未知数的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解方程，再把的值代入方程，即可求解； （2）把（1）中的值，的值代入即可求解． 【详解】（1）解： 去括号， 移项，合并同类项， 把代入方程得，， ∴． （2）解：，， ∴原方程变为， 去分母， 去括号， 移项，合并同类项， 系数化为，． 【点睛】本题主要考查解方程，掌握解一元一次方程的方法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，是解题的关键． 48．（23-24六年级上·河南周口·阶段练习）已知，． (1)若的值与的值相等，求的值； (2)当取何值时，比大3？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得； （2）解：由题意得，， 解得， ∴当时，比大3． 49．（23-24六年级上·广东汕头·阶段练习）已知关于的方程的解比方程的解大2． (1)求第二个方程的解（要求写出具体过程） (2)求m的值 【答案】(1) (2)22 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． （1）首先去括号，移项、合并同类项可得的值； （2）根据（1）中的值可得方程的解为，然后把的值代入可得关于的方程，再解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：由题意得：方程的解为， 把代入方程得： ， ， ． 50．（23-24六年级上·四川成都·期末）已知关于的方程与有相同的解． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，熟知方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． （1）先求出方程的解，得到，再把这个解代入到方程中得到关于m的方程，据此求解即可； （2）把，代入方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 把代入到方程中得：， 去括号得： ， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：； （2）解：∵，， ∴关于的方程为， 整理得， 解得． 【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】 51．（2024六年级上·全国·竞赛）已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是先将a看作已知数，得出，根据x为整数，得出或，再求出a的值即可． 【详解】解： 去括号得：， 整理得：， 解得， 当或时，是整数， ∴． 52．（2024六年级上·全国·竞赛）若是整数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，根据题意得出或是解题关键． 【详解】解：是整数， 也为整数， ， 或， ,即：； ,即：； ,即：； ,即：； 综上所述： 故答案为：． 53．（23-24六年级上·福建莆田·阶段练习）已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 【答案】(1)2 (2)7 (3)或或或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程、一元一次方程的解等知识，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键． （1）一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，据此即可获得答案； （2）首先解方程可得，然后将代入方程并求解，即可获得答案； （3）根据题意，当时，，易知当取、时才能使该方程有整数解为整数，然后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，方程为关于的一元一次方程， ∴，， 解得，， ∴的值为2； （2）解方程，可得， 依题意得，方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得， ∴的值为7； （3）解：∵关于的一元一次方程有整数解， ∴当时，， ∵当取、时才能使该方程有整数解为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，或或或． 54．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算“▲”，其运算方式如下： …… 观察式子的运算方式，请解决下列问题： (1)这种运算方式是： ________（用含m，n的式子表示）； (2)解方程：； (3)若关于x的方程：的解为整数，求正整数a的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为1或3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程．理解新定义的运算方式是解题的关键． （1）由题意知，，然后作答即可； （2）由题意知，，则，可得，计算求解即可； （3）由，可得，解得，，由解为整数，为正整数求值即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ∴，即， ∴， 解得，； （3）解：∵， ∴， 解得，， ∴正整数的值为1或3． 55．（23-24六年级上·山西吕梁·期末）阅读材料题 定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求，的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)3； (2)，； (3)． 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：3． （2）解：与互为“反对方程”， ，， 解得，； （3）解：的“反对方程”为， 由得，，由，得， 与的解均为整数， 与都为整数． 也为整数， 当时，，，都为整数； 当时，，，都为整数， 的值为． 56．（23-24六年级上·河南周口·阶段练习）已知关于x的整式，整式，若p是常数，且的值与x无关． (1)求p的值； (2)若q为整数，关于x的一元一次方程的解是正整数，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题、解一元一次方程等知识，掌握相关运算法则是解题关键． （1）将、代入，化简后根据无关项，得到，即可求出p的值； （2）先解一元一次方程，进而得出的值，即可计算求值． 【详解】（1）解：，， ， 的值与x无关， ， ； （2）解：， ， q为整数，是正整数，且， ，或,， 或 57．（23-24六年级上·福建龙岩·期末）已知关于x的一元一次方程，其中k为常数． (1)若是该方程的解，求k的值； (2)若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数k的值． 【答案】(1) (2)，，， 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键． （1）把代入方程解关于的方程即可； （2）解方程得，根据方程的解为正整数可得可能为1，2，3，6，解题即可求出k的值． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得； （2）解： 解得：， ∵方程的解为正整数， ∴可能为1，2，3，6， 故k的值为，，，． 58．（23-24六年级上·全国·专题练习）是否存在整数k，使关于x的方程有整数解？并求出解． 【答案】当时，；时，；时，；时， 【分析】把方程的解x用k的代数式表示，利用整除的知识求出k． 【详解】解：移项合并得：， ∴， ∵在整数范围内有解， ∴或， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，． 【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，关键是要知道在整数范围内有解所表示的含义． 59．（23-24六年级上·河南南阳·阶段练习）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； 【答案】(1) (2)1或2 【分析】（1）由题意得：，再将带入原方程即可求解． （2）将带入原方程求出方程的解，再利用条件分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 将带入原方程得：， 解得：， 故答案为：． （2）将带入原方程得：， 解得：， 由于m是整数， 或或， 解得：或或（舍去）， 正整数k的值为：1或2． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解得意义，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 60．（23-24六年级上·全国·专题练习）当整数k为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解． 【答案】当时，；当时， 【分析】先求出方程的解，再根据正整数的特性进行分析即可得． 【详解】解：， ， 因为方程有正整数解， 所以，即， 所以， 要使方程有正整数解，则为正整数即可， 因此，或， ∴或， 当时，方程的正整数解为； 当时，方程的正整数解为； 答：当时，；当时，． 【点睛】本题考查了求一元一次方程的特殊解，正确求出方程的解为是解题关键． 【经典例题七 一元一次方程的新定义问题】 61．（23-24六年级上·吉林·期末）“” 是新规定的某种运算符号，设，求中x的值． 【答案】x的值为 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据新规定建立关于x的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：， ， ，即， 解得：， x的值为． 62．（23-24六年级上·青海海东·期末）定义一种新运算“※”，．例如：，．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次方程的解法，利用新定义建立方程，再解方程即可． 【详解】解：依题意得：，， ∴， 解得：． 63．（23-24六年级上·江西宜春·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值； (2)若，求a的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据计算即可； （2）根据计算即可． 【详解】（1） （2）由题意可得， 解得 【点睛】本题考查了新定义下的有理数运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 64．（23-24六年级上·四川遂宁·阶段练习）定义一种新运算“※”，其规则为． 例如：．再如：． (1)计算值为______． (2)若，求的值． 【答案】(1)31 (2) 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值． 【详解】（1）根据题中的新定义得： （2）利用题中的新定义化简得：， 解得： 【点睛】此题考查定义新运算，一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 65．（23-24六年级上·湖南衡阳·期中）对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，能根据新定义得出方程是解此题的关键． （1）根据新定义得出，进一步计算即可求解； （2）根据新定义得出，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得． 66．（23-24六年级上·辽宁沈阳·阶段练习）定义一种新运算： (1)填空：___________； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)36 (2) (3)的值为5或 【分析】（1）根据新定义的运算代入计算即可； （2）根据新定义的运算代入计算即可； （3）分两种情况分析：若，若，分别代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：36； （2）， ； （3）若，则， （不符合题意舍去）， ； 若，则 ， 综上所述，的值为5或． 【点睛】题目主要考查新定义的运算及解一元一次方程，理解题中新定义的运算是解题关键． 67．（23-24六年级上·陕西榆林·期末）新定义：若任意两数，按规定，通过运算得到一个新数W，则称所得新数W是数的“快乐学习数”． (1)若，，求a、b的“快乐学习数”W． (2)若，数a、b的“快乐学习数”W为16，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查定义新运算题型． （1）根据新定义，直接代入a，b的值计算即可； （2）列出符合题意的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴的“快乐学习数”； （2）解：∵，， ∴，解得：． 68．（24-25六年级上·江西鹰潭·阶段练习）定义一种新运算，规定． (1)计算的值； (2)表示数m的点M在数轴上的位置如图所示，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查化简绝对值和解一元一次方程，解题的关键是掌握绝对值的化简方法和解一元一次方程的方法． （1）根据题目中新定义的算法算出结果即可． （2）根据数轴上表示数m的点的位置，化简，再解方程即可得出结果． 【详解】（1）解： ． （2）解：如图可知，， ， ， ， ． 69．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下列材料： 让我们来定义一种运算：，例如：，再如：． 按照这种运算的规定，请解答下列问题． (1)______（只填最后结果）； (2)求的值，使（写出解题过程）． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次方程与有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，将所给式子转换为正常运算． （1）首先根据题意可得，则可求得答案； （2）由，根据题意可得一元一次方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ， 解得：． 70．（23-24六年级上·陕西咸阳·阶段练习）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及新定义运算： （1）根据“友好方程”的定义，结合的解为，得的解为。代数列式，即可作答． （2）根据“友好方程”的定义，先表达某“友好方程”的两个解分别为，再列式计算，即可作答． （3）先表达某“友好方程”的两个解分别为，，根据“友好方程”的定义再列式计算，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：方程的解为 因为关于的方程与方程是“友好方程”， 所以关于的方程的解为， 所以， 所以 （2）解：∵某“友好方程”的一个解为， ∴“友好方程”的另一个解为， 所以或， 所以或 （3）解：对于方程， 解为， 对于方程， 解为， 由题意可知：， 解得 【经典例题八 一元一次方程解的拓展问题】 71．（2024六年级上·江苏·专题练习）若a、b、c、d是正数，解方程． 【答案】． 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将4移项到方程左边变成，每项都，然后通分，利用乘法分配律，把写在括号外面，根据a，b，c，d为正数得，求出x即可，每项都减1进行通分是解题的关键． 【详解】解：原方程化为： ， ∴， ∴， ∵a，b，c，d是正数， ∴0， ∴， ∴． 72．（23-24六年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程的解比关于的方程的解大，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 先求出方程的解，再求出方程的解，两者差额为，即可解答． 【详解】 根据题意可知： 73．（23-24六年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读解方程的途径． (1)按照图1所示的途径，填写图2内空格． ①　　；②　　． (2)已知关于x的方程+c＝的解是或（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了解方程的整体思想与一元一次方程的解法，根据题意得出新的一元一次方程是解题的关键． （1）①把看作①的x，即可得到；解一元一次方程即可求得方程的解． （2）按照图1途径得到或，然后解关于x的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：根据图1可得：①；②． （2）解：由题意得：或， 解得：，． 74．（23-24六年级上·安徽蚌埠·期中）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2） 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． (1)解方程：； (2)探究：当b为何值时，方程，①无解；②只有一个解；③有两个解． 【答案】(1)或 (2)①；②；③ 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解答本题的关键． （1）利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）利用绝对值的意义讨论：当或b+1＝0或b+1＞0时确定方程的解的个数． 【详解】（1）， 当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得； 所以原方程的解是或． （2）∵， ∴当，即时，方程无解； 当，即时，方程只有一个解； 当，即时，方程有两个解． 75．（23-24六年级上·湖南长沙·期中）1990年，著名社会学家费孝通先生总结出了“各美其美，美人之美，美美与共，天下大同”这一处理不同文化关系的十六字“箴言”．在数学上，我们不妨约定：若关于的方程与同时满足，则称方程与互为“美美与共”方程．根据该约定，回答下列问题． (1)已知关于的方程与互为“美美与共”方程，且方程的解为，则______，______，______； (2)是否存在有理数，使关于的方程与其“美美与共”方程的解都是整数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若方程的解也是方程的解，求方程的“美美与共”方程的解． 【答案】(1)1；；； (2)存在； (3)方程的“美美与共”方程的解为 【分析】（1）根据题干信息得出，，先方程的解为，求出，即可得出答案； （2）先求出方程的解为：，在求出方程的“美美与共”方程的解为，根据和都为整数，求出结果即可； （3）先求出方程的解为：，得出方程的解为，再求出方程的“美美与共”方程为，求出方程的解为：． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵方程的解为， ∴， 解得：， ∴方程与互为“美美与共”方程， ∴，， ∴， 故答案为：1；；； （2）解：存在； 方程的解为：， 方程的“美美与共”方程为：，且其解为， ∵关于的方程与其“美美与共”方程的解都是整数， ∴和都为整数， ∴； （3）解：方程的解为：， ∵方程的解也是方程的解， ∴方程的解为， ∵方程的“美美与共”方程为， ∴方程的解为：． 即方程的“美美与共”方程的解为． 【点睛】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的一般步骤准确计算． 76．（23-24六年级上·江苏南京·期末）阅读下面解方程的途径． 解方程 方程的解是，→ (1)按照上述途径，填写下面的空格． 解方程 方程的解是，→ (2)已知关于x的方程的解是或（a、b、c均为常数），求关于x的方程（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】（1）仿照材料可知，即可求解； （2）仿照材料可知或，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：，解得：， 故答案为：，； （2）∵关于x的方程的解是或， ∴方程中或， 当时，， 当时，； 故方程的解为或． 【点睛】本题考查了解一元一次方程及含绝对值的方程，利用换元的思想是解决问题的关键． 77．（23-24六年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元一次方程（其中，b为常数）若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“缘解方程”，例如：方程的解为，且．则方程为“缘解方程”． (1)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”则b的值为______； (2)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，且解为，求m，n的值； (3)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，求代数式的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先解方程表示出x，再利用“缘解方程”的定义表示出x，进而得出关于b的一元一次方程，解方程即可得出b的值； （2）由是“缘解方程”得出，将代入方程可得，然后把，代入可求出n的值，进而可得m的值； （3）先解方程表示出x，再利用“缘解方程”的定义表示出x，进而得出，求得，再把原式化简成含的式子计算即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵是“缘解方程”， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵（即）是“缘解方程”， ∴， ∵解为， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴， 解得：； （3）解：解方程得：， ∵方程是“缘解方程”， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，整式的化简求值，理解“缘解方程”的定义是解题的关键． 78．（23-24六年级上·江苏·期末）阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 【答案】7或4或3或2 【分析】移项合并可得，由此可判断出k所能取得的整数值． 【详解】解：， ， ， ， 因为关于x的方程有正整数解， 所以为正整数， 因为k为整数， 所以或或或， 解得或或或． 故整数k的值为7或4或3或2． 【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，注意理解方程的解为整数所表示的含义． 79．（23-24六年级上·江苏宿迁·期中）阅读并解决问题： 对于任何数，我们规定符号的意义是． 例如：． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，求的值即可； （2）先利用运算法则化简，再将，代入求解即可； （3）先利用运算法则得到方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得， ． （2）解： ， ， ，， 原式 ． （3）解：∵ ∴， 解得， 的值为． 【点睛】本题考查整式的加减——化简求值、有理数的混合运算和解一元一次方程，正确理解题目定义的新运算，掌握运算法则是解答本题的关键． 80．（23-24六年级上·福建福州·期末）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则k=______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； (3)是否存在m的值会使关于y的方程无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【分析】（1）将代入一元一次方程：得出关于k的方程，解方程即可； （2）把代入得：，把代入得，整理得出，根据m是整数，k为正整数，求出或2 即可； （3）整理方程得：，根据方程无解，得出，把代入得，整理方程得出，把整体代入得，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元一次方程：的解是， ∴将代入一元一次方程：得： ，解得：． 故答案为：． （2）解：当时，代入方程得， 整理得：， 把代入得， ， ∵m是整数，k为正整数， ∴、3， ∴或2 ． （3）解：整理方程得：， ∵无解， ∴，即， 把代入得， 整理方程得， 把代入得，解得． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$