专题03 用一元一次方程解决问题重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年六年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版2024）

专题03 用一元一次方程解决问题重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 行程问题 题型二 配套问题 题型三 工程问题 题型四 销售盈亏问题 题型五 比赛积分问题 题型六 方案选择问题 题型七 数字问题 题型八 几何问题 题型九 和差倍分问题 题型十 电费和水费问题 题型十一 比例分配问题 题型十二 日历问题 题型十三 古代问题 题型十四 其他问题 题型十五 一元一次方程与数轴 题型十六 一元一次方程应用综合 知识点一、用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【经典例题一 行程问题】 【例1】（23-24六年级上·上海嘉定·期末）从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，问营地到学校有多少千米． 1．（2024六年级上·上海·专题练习）学校操场的环形跑道长为250米，小明和小丽在这条跑道上练习长跑，如果小明每分钟跑160米，小丽每分钟跑120米，两人同时同地同向出发，那么多少分钟后他们第一次相遇？ 2．（23-24六年级上·上海长宁·期中）列方程解应用题． 甲、乙分别从A、B两地同时出发相向而行，在C处相遇后，甲没有休息，到B地后立刻折返；乙则在C处休息了15分钟才继续走，到A地后立刻折返；两人折返后仍在C处相遇，如果甲每分钟走60米，乙每分钟走80米．那么A、B两地相距多少米？ 3．（23-24六年级上·上海·专题练习）小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑300米，小杰每分钟跑220米． (1)若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？ (2)若小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面100米处． ①出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？ ②出发几分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米？ 【经典例题二 配套问题】 【例2】（23-24六年级上·上海普陀·期中）一个方桌由一张桌面与四根桌腿做成，已知一立方米木料可以做桌面50张或桌腿300根，现有5立方米木料，可恰好做成方桌多少个？ 1．（23-24六年级上·上海松江·期中）现用90立方米木料制作桌子和椅子，已知一张桌子配4张椅子，1立方米木料可做5张椅子或1张桌子，要使桌子和椅子刚好配套．请问需要用多少立方米的木料做桌子？ 2．（23-24六年级上·上海松江·期末）新冠疫情造成洗手液紧缺，某工厂有210名工人生产免洗洗手液和一般洗手液，每人每天平均生产免洗洗手液80瓶，一般洗手液120瓶，工厂应分配多少工人生产免洗洗手液和一般洗手液，使得每天生产的免洗洗手液和一般洗手液可以按1：2配套出售． 3．（23-24六年级上·上海浦东新·期末）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设各由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产支架60个或脚踏板96套，应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板配套？每天生产多少套太空漫步器？ 【经典例题三 工程问题】 【例3】（23-24六年级上·上海·专题练习）某工厂甲、乙两个车间各生产300个零件，按原来的工效，乙车间需要比甲车间多用一天的时间完成，现在甲、乙两车间都提高了工效，其中甲车间工效提高了，而乙车间提高了一倍，结果生产同样的300个零件，乙车间比甲车间少用了2天就可完成，问甲、乙两车间原来生产300个零件各需要多少天? 1．（23-24六年级上·上海嘉定·期中）甲每天加工零件80个，甲加工3天后，乙也加入加工同一种零件，再经过5天，两人共加工这种零件1120个，问乙每天加工这种零件多少个？ 2．（23-24六年级·上海·期末）生产某种合金，需要甲、乙、丙三种原料，甲与乙之比是，丙与乙之比为，若需要这种合金92千克，问：甲、乙、丙三种原料是多少千克？ 3．（23-24六年级上·重庆沙坪坝·期中）一项工程，若请甲、乙两个工程队合作，则需6周完成，需要施工费万元；若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费万元． (1)甲、乙两个工程队单独修路分别需要多少周完成？ (2)请甲、乙两个工程队工作一周需要施工费分别为多少万元？ (3)若只请一个工程队单独做，使该工程的施工费用低，应该选择甲工程队还是乙工程队？ 【经典例题四 销售盈亏问题】 【例4】（23-24六年级上·上海长宁·期中）列方程解应用题． 繁星服装店售卖一款冬季外套的盈利率为，因天气转暖，为了减少库存，以八折优惠出售，结果每件获利元，问，这件冬季外套的成本价是多少元？ 1．（23-24六年级上·江苏·专题练习）一种节能型冰箱，商店按原售价的九折出售，降价后的新售价是每台2430元．因为商店按进价加价作为原售价，所以降价后商店还能赚线．请问：这种节能型冰箱的进价是多少元？按降价后的新售价出售，商店每台还可赚多少元？ 2．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）元旦期间商店搞促销，所有商品按定价的七五折出售．一件A品牌上衣的定价是120元，一件品牌上衣的定价是180元，打折后每售出一件A品牌上衣商店仍可盈利10元． (1)一件A品牌上衣的进货价是多少元？ (2)经统计，元旦期间该商店总共卖出300件品牌上衣，200件品牌上衣，其中售出品牌上衣的毛利率是20%（已知），那么元旦期间A、两种品牌上衣的总毛利率是多少（百分号前保留一位小数）． 3．（23-24六年级上·上海闵行·期中）某超市经销甲、乙两种商品，两种商品相关信息如下表： 商品 进价（元/件） 售价（元/件） 利润率 甲种 40 60 n 乙种 50 m 50% (1)以上表格中m，n的值分别为______、______； (2)若该超市同时购进甲种商品数量是乙种商品数量的2倍少10件，且在正常销售情况下售完这两种商品共获利3050元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ 【经典例题五 比赛积分问题】 【例5】（2024六年级上·上海·专题练习）学校组织了一次知识竞赛，初赛共有40道选择题，竞赛规则规定：每题选对得4分，选错或不选倒扣3分．已知小明得了83分，问：小明答对几道题？ 1．（23-24六年级上·上海闵行·期中）在一次学校组织的知识竞赛中，根据竞赛规则：本次比赛共 30 道题，每题选对了得 3 分，选错或不选倒扣 2 分，已知小明最后总计 65 分，请问他共答对了多少题？ 2．（23-24六年级上·河南信阳·期末）某校六年级上班组织生活小常识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中个参赛者的得分情况．请你补全表格，并写出你的研究过程． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A B C 3．（23-24六年级上·上海·阶段练习）下表是赛季英超联赛37轮比赛过后的积分排行榜，请根据图表信息求出曼联队的获胜场次以及踢平的场次各为多少？（足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．） 积分榜 排名 球队 场次 积分 胜 平 负 1 切尔西 37 84 25 9 3 2 曼城 37 76 23 7 3 3 阿森纳 37 72 21 9 7 4 曼联 37 69 8 5 利物浦 37 62 18 8 11 【经典例题六 方案选择问题】 【例6】（23-24六年级上·上海徐汇·期中）某校组织春游活动，参加师生共658人，分别乘坐60座和45座的大客车共12辆，除有一辆车空2个座位，其余车都坐满，问60座和45座的大客车各几辆？ 1．（23-24六年级上·福建泉州·期末）列一元一次方程解应用题： 某牛奶加工厂有鲜奶18吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元，该工厂的生产能力是：将牛奶制成酸奶，每天可加工3吨；将牛奶制成奶片每天可加工1吨．受人员限制，两种加工方式不可同时进行；受气温条件限制，这批牛奶必须在8天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案： 方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶； 方案2：一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好8天完成．（列方程） 你认为选择哪种方案获利最多，说明理由． 2．（23-24六年级上·山西朔州·阶段练习）为庆祝“六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的数量 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装价格 60元 50元 40元 如果两校分别单独购买服装，一共应付5000元 (1)如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校各有多少人准备参加演出？ (3)如果甲校有10名同学要去参加书法绘画比赛不能参加演出，请为两校设计一种最省钱的购买服装方案． 3．（23-24六年级上·上海闵行·期末）某商店为迎接新年举行促销活动，促销活动有以下两种优惠方案： 方案一：购买一件商品打八折，购买两件以上在商品总价打八折的基础上再打九折； 方案二：购买一件商品打八五折，折后价格每满100元再送30元抵用券，可以用于抵扣其他商品的价格． （注：两种优惠只能选择其中一种参加） (1)小明想购买一件标价270元的衣服和一双标价450元的鞋子，请你帮助小明算一算选择哪种优惠方案更合算． (2)如果衣服和鞋子的标价都是在进价的基础上加价了50%，那么这两种优惠方案商店是赚了还是亏了?为什么? (3)如果小明已决定要购买标价为450元的鞋子，又想两种方案的优惠额相同，那么小明想购买的衣服的标价（低于450元）应调整为多少元? 【经典例题七 数字问题】 【例7】（23-24六年级上·上海闵行·期末）一个两位数，十位上数字是个位上数字的2倍，交换个位数字与十位数字后所得的新两位数比原两位数小18，求原来的这个两位数． 1．（23-24六年级上·上海·期中）一个两位数是一个一位数的3倍，如果把两位数放在一位数的右边，得到一个三位数，如果把两位数放在一位数的左边，得到另一个三位数，且后面的三位数比前面的三位数小360，则这个两位数是多少？ 2．（23-24六年级上·上海嘉定·期中）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如：将转化为分数时，可先设，则，所以，解得，即，仿此方法． (1)将化为分数是____________． (2)求出的分数表示形式（请写出解题过程）． 3．（24-25六年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下面三行数 ，4，，16，，64…① ，2，，14，，62…② 3，，9，，33，…③ (1)第①行的数的第10个数是____． (2)分别写出第②行的第个数______，第③行的第个数是______． (3)是否存在第②行的连续三个数的和为186？若存在，说明理由并写出这三个数；若不存在说明理由． (4)是否存在正整数，使每行的第个数相加的和等于．若存在求出值，若不存在说明理由． 【经典例题八 几何问题】 【例8】（23-24六年级上·内蒙古包头·期末）如图，在一块展示牌上，整齐地贴着许多资料卡片，这些卡片均为大小相同的长方形，卡片之间露出了三块正方形（图中阴影部分），每一块正方形的面积为，求每一块卡片的面积？ 1．（23-24六年级上·上海·阶段练习）一个长方形的长与宽之比为15∶7，现截去一个边长与原长方形的宽相等的正方形，得到的新长方形的周长是30厘米，求原长方形的长与宽各是多少厘米？ 2．（23-24六年级上·上海浦东新·期中）如图，6个正方形无缝拼接成一个大长方形，中间最小的一个正方形的面积为4，求这个大长方形的面积．    3．（23-24六年级·上海·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角．    (1)如图1，，，是的内半角，则_______； (2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转的角度为何值时，是的内半角； (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以3度秒的速度按顺时针方向旋转（如图，问：在旋转一周的过程中，射线、、、能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【经典例题九 和差倍分问题】 【例9】（23-24六年级上·上海长宁·期末）小红看一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，这时还剩51页没看，这本书一共有多少页？ 1．（23-24六年级·上海·假期作业）森林水果店批发橘子和苹果两种水果，每筐苹果重50千克，每筐橘子重42千克，水果店某天卖出苹果和橘子共8筐，共重376千克，森林水果店这一天卖出苹果多少筐？ 2．（23-24六年级上·上海普陀·阶段练习）三个渔夫一起钓鱼，钓满了一桶鱼后他们都睡着了．渔夫甲先醒来后，把鱼数了一遍，拿出一条放入河里，然后拿起剩下的鱼的走了；过了一会，渔夫乙醒来，也把鱼数了一遍，拿出一条放入河里，又拿起剩下的鱼的走了；最后渔夫丙醒来一看，桶里还剩6条鱼．请你算一算，三个渔夫一共钓了多少条鱼？ 3．（23-24六年级上·上海松江·期末）阅读下列材料并回答问题： 墓碑上的数学题——他．我们熟悉的古希腊大数学家丢番图在数学上作出了伟大的贡献，被誉为数学界的鼻祖，用字母表示数和列方程解应用题等一些运算就是丢番图首创的，丢番图去世后，他的年龄成了一个谜，但它的墓碑上刻有一道数学题，让纪念他的人们根据墓碑上的题目，算出他的寿命．碑文是这样写的：这里是一座公墓，里面安葬着丢番图．他生命的是童年；再活了寿命的，颊上长出了细细的胡须；又过了一生的，他找到了终生伴侣；5年后，神赐给他一个儿子；可是儿子命运不济，只活了父亲岁数的一半，就匆匆离去；儿子死后，父亲在悲痛中生活了4年，也离开了人世．阅读后请用列方程解应用题的方法求丢番图寿命是多少岁？ 【经典例题十 电费和水费问题】 【例10】（24-25六年级上·江苏淮安·开学考试）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 用电量/(千瓦时/户) 价格/(元/千瓦时) 200千瓦时以内 0.55 千瓦时 0.6 400千瓦时以上 0.8 (1)小虎家三月份用电140千瓦时，应交电费多少元？丽丽家三月份用电260千瓦时，应交电费多少元？ (2)聪聪家五月份用电量为千瓦时，若在200-400之间时，应交电费______元(用含有的式子表示)；若时，则聪聪家应交电费______元(用含有的式子表示) (3)某超市三月份交电费390元，该超市三月份用电多少千瓦时？ 1．（23-24六年级上·山东济南·期中）某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不高于240千瓦·时．第二档： 月用电量为千瓦·时，第三档： 月用电量超过 400 千瓦·时）．设居民每月应交电费y（元） ，用电量为x（千瓦·时） 用电量（千瓦·时） 收费（元） 不超过 240 千瓦·时 每千瓦·时 元 千瓦·时 每千瓦·时 元 超过 400千瓦·时 超过的部分每千瓦·时 元 (1)①每月用电量不超过240千瓦·时，y= ； ②每月用电量超过 400千瓦·时，y= ． (2)若某户居民用电量为210千瓦·时，则应交电费多少元? (3)若某户居民某月交费210元，则该户居民用电多少千瓦·时? 2．（23-24六年级上·江苏徐州·阶段练习）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，表示立方米）： 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出不超出的部分 4元 超出的部分 8元 请根据上表的内容解答下列问题： (1)填空：若该户居民2月份用水，则应收水费_______元；若该户居民3月份用水，则应收水费__________元． (2)若该户居民5月份的水费为36元，则5月份的用水量是多少立方米？ 3．（23-24六年级上·江苏盐城·期末）目前，某市市区居民用管道天然气继续执行阶梯价格制度．各阶梯价格水平如下： 一户居民一年用气量（单位：立方米） 电价（单位：元/立方米） 第档 不超过立方米的部分 第档 立方米以上至立方米（含）部分 第档 立方米以上的部分 (1)小明家年用气立方米，小明家年应缴费___________元． (2)若某户年用气量为立方米，当时，则应缴费___________元（用含的代数式表示）． (3)按照此方案结算，某户年实际缴纳燃气费元，求该户年实际用气量为多少立方米？ 【经典例题十一 比例分配问题】 【例11】（23-24六年级上·上海·期中）六年级和六年级上分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动，并且要使六年级，六年级上剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，六年级上各选出多少人？ 1．（23-24六年级上·湖南永州·期末）新冠疫情期间，甲、乙、丙三家公司为抗击疫情捐款，他们共捐款216万元，所捐款数的比为3：4：5，问甲、乙、丙三家公司各捐款多少万元？ 2．（23-24六年级上·江苏镇江·期末）下面是某校六年级上数学课外活动小组的两位同学对话，根据对话内容求这个课外活动小组现在的人数． 甲：我们女生人数占现在全组人数的一半 乙：还有6位男生将加入我们小组，他们全部加入后男生人数将占全组人数的． 3． （23-24六年级上·山东济宁·期末）甲、乙、丙三人共同出资做生意，甲投资了万元，乙投资了万元，丙投资了万元，年终时，共赚得利润万元，甲、乙、丙三人按比例进行分配，各可以分得多少利润？ 【经典例题十二 日历问题】 【例12】（23-24六年级上·广东广州·期中）将正整数，排成如图的数表，用图中所示的方框出9个数，不改变方框的大小，把方框任意移动． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第一行 1 2 3 4 5 6 第二行 7 8 9 10 11 12 第三行 13 14 15 16 17 18 第四行 19 20 21 22 23 24 第五行 25 26 27 28 29 30 …… …… (1)若方框正中心数为17，则方框中的9个数的和为 ． (2)设方框正中心数为，则方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？为什么？ (3)方框中9个数的和可能是3330吗？若可能，请求出方框正中心数落在第几行，第几列？若不可能，说说你的理由． 1．（23-24六年级上·江苏无锡·阶段练习）月历中的数学：观察如图所示的2024年11月的月历，解答下列问题： (1)用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数． ①若框里4个数中的最小数记为，用含的代数式表示这4个数的和为_____，这4个数的和的最大值是_____． ②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？ (2)用一个的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由． 2．（2024六年级上·江苏·专题练习）如图是年月份的月历，现用十字框任意框出个数，如： (1)十字框框出的个数与十字框中间的数有什么关系？ (2)如果十字框框出的个数之和为，那么十字框中间的数是多少？ (3)十字框框出的个数之和可以是吗？ 3．（24-25六年级上·江苏·假期作业）（1）吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么第一个数是 ； （2）玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是，则它们分别是 ； （3）莉莉也在日历上圈出个数，呈十字框形，它们的和是，则中间的数是 ； （4）某月有个星期日的和是，则这个月中最后一个星期日是 号； （5）若干个偶数按每行个数排成下图： ①图中方框内的个数的和与中间的数有什么关系 ； ②汤姆所画的斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ； ③托马斯也画了一个斜框，斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ． 【经典例题十三 古代问题】 【例13】（23-24六年级上·福建厦门·阶段练习）我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托；折回索子去量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．问竿和绳索的长分别是多少尺？ 1．（23-24六年级上·上海闵行·期末）中国人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 2．（23-24六年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 3．（23-24六年级上·上海闵行·期末）《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【经典例题十四 其他问题】 【例14】（24-25六年级上·全国·期末）某文艺团体开展文艺演出，为“乡村振兴工程”募捐，已知成人票每张40元，学生票每张25元． (1)某场演出共售出1000张票，筹得票款34750元．问：成人票与学生票各售出多少张？ (2)已知某单位按（1）中成人及学生数购票，与演出组织单位达成票价打折的优惠方案，共少付票款6975元．若成人票打九折，则学生票打几折？ 1．（24-25六年级上·全国·期中）小华坐公交车要投两元钱，他发现刷学生卡可以省钱，于是在公交总站办理了学生卡，充值了元，如果小华乘车的次数用表示，则记录他每次乘车后的余额（元）如下表： 次数（次） 余额（元） … … (1)写出用乘车的次数表示余额的式子． (2)利用上式计算乘了次车后，余额为多少？ (3)小华最多能乘几次车？ 2．（24-25六年级上·江苏淮安·阶段练习）将正方形（如图1）作如下划分，第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形；第次划分：将图左上角正方形再划分，得图，则图中共有个正方形； (1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第次划分后，图中共有______个正方形． (2)继续划分下去，第次划分后图中共有______个正方形； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由． 3．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在萧红中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平，和5克的砝码，如何称出一张卡片和一根吸管的重量呢？ 以下是笃行小组的实验记录： 实验准备：重量相同的卡片若干和重量相同的吸管若干 天平右边 天平左边 天平状态 记录1 4张卡个砝码 16根吸管 平衡 记录2 8张卡根吸管 5根吸管个5克砝 平衡 (1)设一张卡片重x克，则一根吸管重______克． (2)分别求一张卡片和一根吸管的重量各是多少？ (3)明辨小组根据笃行小组的实验结论提出这样的一个假设：在天平左边放上一个的砝码，再把若干卡片和若干吸管分别放在天平的两侧使天平处于平衡状态，此时吸管的数量是卡片的4倍．请用方程的知识进行判断，若假设不成立，请说明理由；若假设成立，请求出卡片的数量． 【经典例题十五 一元一次方程与数轴】 【例15】（24-25六年级上·四川绵阳·阶段练习）在数轴上若点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离．，线段AB的中点表示的数为． 如图，数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． (1)填空：______，______，线段AB的中点表示的数为______； (2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P，Q在运动过程中，线段的长度是否可以等于的两倍？若可以，求出t的值． 1．（23-24六年级上·浙江宁波·期中）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”． （1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．     2．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；数轴上表示和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如数轴上数x与5两点之间的距离等于． (2)如果表示数a和的两点之间的距离是3，求a的值； (3)若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值； 3．（24-25六年级上·四川成都·阶段练习）在数轴上，若点C到点A的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”， 若点C到点A，B的距离之和为6，则称点C为点A，B的“幸福中心”． (1)如图1，点A表示的数是，则点A的“幸福点”C表示的数是______． (2)如图2，点A表示的数是，点B表示的数是4，点P表示的数是8，点Q从点P出发，以2单位/s的速度沿数轴向左运动，经过多少时间点Q是点A，B的“幸福中心”？ 【经典例题十六 一元一次方程应用综合】 【例16】（24-25六年级上·江苏扬州·阶段练习）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有6名学生乘客买票，则总票款为 元； (2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 1．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈尔滨某食品加工厂，加工一种食品，销往大庆市和齐齐哈尔市，有新旧两种加工工艺． (1)如用旧工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量还多：如用新工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量少．新、旧工艺的废水排量之比为，两种工艺的一天废水排量各是多少？ (2)若用新工艺，每天加工的食品总量比旧工艺每天加工的食品总量多，已知旧工艺每天加工的食品总量是新工艺每天加工的食品总量的；求：若用新工艺加工一个月的食品总量是多少吨？（每个月按天计） (3)在（1）（2）的条件下，已知厂家将（2）中新工艺加工一个月的食品以每吨元的价格销往大庆市和齐齐哈尔市，已知这些加工食品的原材料费共为万元，选择铁路运输，在送货的过程中，列车先到大庆卸完一部分货后，再前往齐齐哈尔送货，送货列车的到达时间表如下所示：卸货的时间忽略不计；已知：哈尔滨与齐齐哈尔的距离为，哈尔滨到大庆的平均时速比大庆到齐齐哈尔的平均时速快，已知铁路运输的收费标准是：每吨每千米收费元；已知每吨污水的处理费是3元，这批食品全部售完后，仍可获利万，则销往大庆多少吨食品？ 地点 哈尔滨 大庆 齐齐哈尔 时间 2．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 3．（2024六年级上·全国·专题练习）如图，点，在数轴上分别位于原点的左右两边，点表示的数是，点表示的数是，且，满足．点、、是线段的四等分点，分别以线段、、为边向数轴的上方作正方形，正方形，正方形． (1)直接写出，的值： ， ； (2)如图1，若动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为，求线段时的值； (3)如图2，若动点从点出发以每秒4个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点到达点时立即以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点到达点的同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点首次到达点后立即以每秒3个单位长度的速度在点和点之间往返运动，过动点作直线垂直，在运动过程中，直线与线段的交点为．当点第二次到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为，直接写出线段时的值． 1．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本计，其中一件盈利，另一件亏本，在这次买卖中他（   ） A．不赚不赔 B．无法比较 C．赔18元 D．赚18元 2．（23-24六年级上·上海嘉定·期中）某校组织师生春游，如果单独租用45座的客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座的客车，可少租一辆，且余30个空座位，设全校师生共有x人，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级上·上海青浦·期末）如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5 米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（   ） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒 4．（24-25六年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．若设点运动的时间是，若的面积等于．那么值是（　　） A． B． C．或 D．不存在 5．（23-24六年级上·四川成都·开学考试）小红同学在某月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为45，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（    ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．   B．   C．   D．   6．（23-24六年级上·湖北荆门·单元测试）在一次猜谜比赛上，每人答30道题，答对1题得20分，答错一题扣10分，小聪共得了120分，则小聪答对了 道题，答错了 道题． 7．（23-24六年级上·四川宜宾·阶段练习）张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的，王用了自己钱数的，李用了自己钱数的，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有( )元． 8．（23-24六年级上·上海·期末）某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙两人都急于上楼办事，在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了60级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登楼级数是甲的2倍），他登了70级后到达楼上，那么，由楼下到楼上自动扶梯级数为 ． 9．（24-25六年级上·河南南阳·开学考试）用小棒按照下图方式摆图形． （1）摆1个六边形需要6根小棒，摆3个六边形需要( )根小棒，摆个六边形，需要( )根小棒． （2）有101根小棒，可以摆( )个这样的六边形． 10．（23-24六年级上·上海虹口·期中）如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，则阴影部分的面积为 ． 11．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）小丽看一本书，第一天看了全书的再加16页，第二天读了全书的还多2页，这两天读的书恰是这本书的，这本书有多少页？ 12．（2024六年级上·上海·专题练习）某车间有工人26人，生产甲、乙两种零件，每人每天可生产甲种零件15个，或生产乙种零件10个，某种仪器每套需甲种零件2个，乙种零件3个．如何安排劳动力，使每天生产的零件恰好配套？ 13．（23-24六年级上·广东湛江·期末）你对生活中常见的月历了解吗？月历中存在许多数字奥秘，你想知道吗？下表是23-24年3月的月历． (1)它的横行、竖列上相邻的两数之间有什么关系？ (2)如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72，你能知道是哪几天吗？ 14．（24-25六年级上·上海宝山·期中）2015年上海出租车收费标准作了新的调整，起步价调整为14元（0到3公里）；超过3公里并且不超过15公里时，超出的部分每公里2.5元；超过15公里时，超出的部分每公里3.6元． (1)小丽打车去外婆家，如果路程是9公里，那么车费是_________元；如果路程是16公里，那么车费是___________元． (2)小丽打车去外婆家，行程公里，（），那么出租车的费用是多少元？（用含的代数式表示）； (3)如果打车的费用为54.8元，那么小丽去外婆家的路程是多少公里？ 15．（23-24六年级上·上海·期末）下图显示的是某个城市的交通系统中的一个局部，你会看到3条铁路线，你目前所在的车站位置M（起点）及你要前住的车站N（终点）．已知列车在两个相邻车站间行驶时间相同；在A、B、C、D四个交汇处．若需转乘，从一条铁路转乘到另一条铁路的列车，所用时间相同． 注：表示铁路线上的车站，表示铁路交汇处，你可以在这里转站换乘其他路线 从图中可以看出从起点到快点N有三条路线： 路线一：M→A→B→C→N 路线二：M→A→B→D→N 路线三：M→A→E→D→N 已知走路线一和路线二所用的时间分别为61分钟和57分钟，请你求出走路线三所需要的时间． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 用一元一次方程解决问题重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 行程问题 题型二 配套问题 题型三 工程问题 题型四 销售盈亏问题 题型五 比赛积分问题 题型六 方案选择问题 题型七 数字问题 题型八 几何问题 题型九 和差倍分问题 题型十 电费和水费问题 题型十一 比例分配问题 题型十二 日历问题 题型十三 古代问题 题型十四 其他问题 题型十五 一元一次方程与数轴 题型十六 一元一次方程应用综合 知识点一、用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【经典例题一 行程问题】 【例1】（23-24六年级上·上海嘉定·期末）从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，问营地到学校有多少千米． 【答案】9千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确找出等量关系列出方程是解题的关键； 根据题意，设山路x千米，从营地回学校共用了55分钟，从学校回营地用了1小时10分钟，根据平路的速度不变，所以时间也不变，多用掉的时间是因为上山的速度降低了，可得出方程，解出即可得到山路的路程．由此求出上山的时间，再求出平路的时间，根据速度乘时间等于路程求出平路的路程，最后求和即可． 【详解】55分钟=小时，1小时10分钟=小时， 设山路x千米，由题意得， 解得：  ， (小时)， (小时) ， (千米)， (千米)， 答：营地到学校有9千米． 1．（2024六年级上·上海·专题练习）学校操场的环形跑道长为250米，小明和小丽在这条跑道上练习长跑，如果小明每分钟跑160米，小丽每分钟跑120米，两人同时同地同向出发，那么多少分钟后他们第一次相遇？ 【答案】6.25分钟 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，关键是理解第一次相遇时，小明比小丽多跑了1圈的路程．设分钟后他们第一次相遇，根据相遇时小明比小丽多跑了1圈的路程，可得出方程，解出即可． 【详解】解：设分钟后他们第一次相遇，依题意有 ， 解得． 答：6.25分钟后他们第一次相遇． 2．（23-24六年级上·上海长宁·期中）列方程解应用题． 甲、乙分别从A、B两地同时出发相向而行，在C处相遇后，甲没有休息，到B地后立刻折返；乙则在C处休息了15分钟才继续走，到A地后立刻折返；两人折返后仍在C处相遇，如果甲每分钟走60米，乙每分钟走80米．那么A、B两地相距多少米？ 【答案】A、B两地相距1800米； 【分析】由甲、乙的速度比可设全程为米，则C处到A地的距离为米，则C处到B地的距离为米，根据题意列方程即可． 【详解】解：∵， 设全程为米，则C处到A地的距离为米，则C处到B地的距离为米， 由题意得：，解得：， 答：A、B两地相距1800米； 【点睛】本题考查相遇问题，根据速度比设出全程为米是关键． 3．（23-24六年级上·上海·专题练习）小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑300米，小杰每分钟跑220米． (1)若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？ (2)若小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面100米处． ①出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？ ②出发几分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米？ 【答案】(1)出发分钟后，小明、小杰第一次相遇． (2)①出发分钟后，小明、小杰第一次相遇．②出发1分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用： （1）设出发x分钟后，小明、小杰第一次相遇，根据环形跑道的长度＝小明跑的路程+小杰跑的路程，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）①设出发y分钟后，小明、小杰第一次相遇，根据两人之间的距离＝小明跑的路程﹣小杰跑的路程，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论；②设出发z分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米，根据两人之间的距离＝小明跑的路程﹣小杰跑的路程，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）设出发x分钟后，小明、小杰第一次相遇， 依题意，得：， 解得：． 答：出发分钟后，小明、小杰第一次相遇． （2）①设出发y分钟后，小明、小杰第一次相遇， 依题意，得：， 解得：． 答：出发分钟后，小明、小杰第一次相遇． ②设出发z分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米， 依题意，得：， 解得：． 答：出发1分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米． 【经典例题二 配套问题】 【例2】（23-24六年级上·上海普陀·期中）一个方桌由一张桌面与四根桌腿做成，已知一立方米木料可以做桌面50张或桌腿300根，现有5立方米木料，可恰好做成方桌多少个？ 【答案】150个 【分析】利用一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，利用桌面×4=桌腿数量，进而得出等式即可． 【详解】解：设用x立方米木料做桌面，则可做个桌面， 剩下的立方米木料做桌腿，可做条桌腿． 因为桌腿的数量是桌面数量的4倍， 所以可列方程． 解得 ∴可恰好做成方桌个． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键． 1．（23-24六年级上·上海松江·期中）现用90立方米木料制作桌子和椅子，已知一张桌子配4张椅子，1立方米木料可做5张椅子或1张桌子，要使桌子和椅子刚好配套．请问需要用多少立方米的木料做桌子？ 【答案】需要用50立方米的木料做桌子． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设需要用x立方米的木料做桌子，则用立方米的木料做椅子，根据制作的椅子总数是制作桌子总数的4倍，即可列出方程． 【详解】解：设需要用x立方米的木料做桌子，则用立方米的木料做椅子， 根据题意得：， 解得：． 答：需要用50立方米的木料做桌子． 2．（23-24六年级上·上海松江·期末）新冠疫情造成洗手液紧缺，某工厂有210名工人生产免洗洗手液和一般洗手液，每人每天平均生产免洗洗手液80瓶，一般洗手液120瓶，工厂应分配多少工人生产免洗洗手液和一般洗手液，使得每天生产的免洗洗手液和一般洗手液可以按1：2配套出售． 【答案】工厂应分配90名工人生产免洗洗手液，120名工人生产一般洗手液 【分析】根据题意，找出等量关系式免洗洗手液瓶数：一般洗手液瓶数=1：2，表示出方程，求解即可． 【详解】解：设工厂应分配x名工人生产免洗洗手液，名工人生产一般洗手液， 由题意得：， 解得：， 所以， 答：工厂应分配90名工人生产免洗洗手液，120名工人生产一般洗手液． 【点睛】本题考查一元一次方程中的配套问题，熟练地掌握配套比列等量关系式是解决问题的关键，注意需要将比例式转化为整式方程． 3．（23-24六年级上·上海浦东新·期末）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设各由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产支架60个或脚踏板96套，应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板配套？每天生产多少套太空漫步器？ 【答案】20人生产支架，则25人生产脚踏板正好配套；每天生产1200套太空漫步器 【分析】设x人生产支架，则人生产脚踏板，根据“每人每天平均生产支架60个或脚踏板96套”即可列出方程求解． 【详解】解：设x人生产支架，则人生产脚踏板， 由题意得， 整理得到： 解出：， ， ∴20人生产支架，25人生产脚踏板配套， 此时每天生产套太空漫步器． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据脚踏板数量是支架数量的2倍列出关于x的一元一次方程是解题的关键． 【经典例题三 工程问题】 【例3】（23-24六年级上·上海·专题练习）某工厂甲、乙两个车间各生产300个零件，按原来的工效，乙车间需要比甲车间多用一天的时间完成，现在甲、乙两车间都提高了工效，其中甲车间工效提高了，而乙车间提高了一倍，结果生产同样的300个零件，乙车间比甲车间少用了2天就可完成，问甲、乙两车间原来生产300个零件各需要多少天? 【答案】甲车间原来生产300个零件需要天，乙车间需要天 【分析】设甲原来需要天，则乙原来需要天，根据题意列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设甲原来需要天，则乙原来需要天， 依题意可得：， 解得：， 即甲车间原来生产300个零件需要7.5天，乙车间需要8.5天． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意正确找出数量关系列方程是解题关键． 1．（23-24六年级上·上海嘉定·期中）甲每天加工零件80个，甲加工3天后，乙也加入加工同一种零件，再经过5天，两人共加工这种零件1120个，问乙每天加工这种零件多少个？ 【答案】乙每天加工这种零件96个． 【分析】直接利用甲加工的零件+乙加工的零件=1120，进而得出等式求出答案． 【详解】解：设乙每天加工这种零件x个，根据题意可得： 80×3+5（80+x）=1120， 解得：x=96， 答：乙每天加工这种零件96个． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出甲乙加工的零件数是解题关键． 2．（23-24六年级·上海·期末）生产某种合金，需要甲、乙、丙三种原料，甲与乙之比是，丙与乙之比为，若需要这种合金92千克，问：甲、乙、丙三种原料是多少千克？ 【答案】甲、乙、丙三种原料分别需要32千克，24千克，36千克． 【分析】由甲与乙、丙与乙的比可得出甲：乙：丙，设甲种原料需要千克，则乙种原料需要千克，丙种原料需要千克，根据需要这种合金92千克，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：甲：乙，丙：乙， 甲：乙：丙． 设甲种原料需要千克，则乙种原料需要千克，丙种原料需要千克， 依题意得：， 解得：， （千克），（千克），（千克）． 答：甲种原料需要32千克，乙种原料需要24千克，丙种原料需要36千克． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，解题的关键是正确列出一元一次方程． 3．（23-24六年级上·重庆沙坪坝·期中）一项工程，若请甲、乙两个工程队合作，则需6周完成，需要施工费万元；若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费万元． (1)甲、乙两个工程队单独修路分别需要多少周完成？ (2)请甲、乙两个工程队工作一周需要施工费分别为多少万元？ (3)若只请一个工程队单独做，使该工程的施工费用低，应该选择甲工程队还是乙工程队？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用 （1）设甲工程队一周完成的工作量为，则乙工程队一周完成的工作量为，根据若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设甲工程队工作一周需要施工费万元，则乙工程队工作一周需要施工费万元，即万元，根据若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费12.4万元．列出一元一次方程，解方程即可； （3）分别求出只请一个工程队单独做的施工费，再比较即可． 【详解】（1）解：设甲工程队一周完成的工作量为，则乙工程队一周完成的工作量为， 由题意得：， 解得：， ， 即甲工程队单独修路需要10周完成，乙工程队单独修路需要15周完成， 答：甲工程队单独修路需要10周完成，乙工程队单独修路需要15周完成； （2）设甲工程队工作一周需要施工费万元，则乙工程队工作一周需要施工费万元，即万元， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲工程队工作一周需要施工费1.3万元，乙工程队工作一周需要施工费0.8万元； （3）应该选择乙工程队，理由如下： 只请甲工程队单独做，施工费为（万元）， 只请乙工程队单独做，施工费为（万元）， ， 应该选择乙工程队． 【经典例题四 销售盈亏问题】 【例4】（23-24六年级上·上海长宁·期中）列方程解应用题． 繁星服装店售卖一款冬季外套的盈利率为，因天气转暖，为了减少库存，以八折优惠出售，结果每件获利元，问，这件冬季外套的成本价是多少元？ 【答案】这件冬季外套的成本价是元． 【分析】这件冬季外套的成本价是x元，根据“以八折优惠出售，结果每件获利元“得：，即可解得答案． 【详解】解：设这件冬季外套的成本价是元， 根据题意得：， 解得， 答：这件冬季外套的成本价是元． 【点睛】本题考查一元一次方程分应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 1．（23-24六年级上·江苏·专题练习）一种节能型冰箱，商店按原售价的九折出售，降价后的新售价是每台2430元．因为商店按进价加价作为原售价，所以降价后商店还能赚线．请问：这种节能型冰箱的进价是多少元？按降价后的新售价出售，商店每台还可赚多少元？ 【答案】这种节能型冰箱的进价是2250元，按降价后的新售价出售，商店每台还可赚180元 【分析】这种节能型冰箱的进价是x元，则原售价是元，根据“商店按原售价的九折出售，降价后的新售价是每台2430元”建立方程，解方程求出x的值，即为冰箱的进价，再根据利润＝售价﹣进价即可求解． 【详解】解：设这种节能型冰箱的进价是x元，则原售价是元，根据题意得 ， 解得， 按降价后的新售价出售，商店每台还可赚：（元）． 答：这种节能型冰箱的进价是2250元，按降价后的新售价出售，商店每台还可赚180元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 2．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）元旦期间商店搞促销，所有商品按定价的七五折出售．一件A品牌上衣的定价是120元，一件品牌上衣的定价是180元，打折后每售出一件A品牌上衣商店仍可盈利10元． (1)一件A品牌上衣的进货价是多少元？ (2)经统计，元旦期间该商店总共卖出300件品牌上衣，200件品牌上衣，其中售出品牌上衣的毛利率是20%（已知），那么元旦期间A、两种品牌上衣的总毛利率是多少（百分号前保留一位小数）． 【答案】(1)80元 (2) 【分析】（1）设一件A品牌上衣的进货价是x元，根据进价+利润=售价列出方程即可求解； （2）根据题意列出算式求出即可． 【详解】（1）解：设一件A品牌上衣的进货价是x元，根据题意得， ， 解得， 答：一件A品牌上衣的进货价是80元； （2）根据题意得： ． 答：元旦期间A、B两种品牌上衣的总毛利率是． 【点睛】本题考查了一元一次方程的运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 3．（23-24六年级上·上海闵行·期中）某超市经销甲、乙两种商品，两种商品相关信息如下表： 商品 进价（元/件） 售价（元/件） 利润率 甲种 40 60 n 乙种 50 m 50% (1)以上表格中m，n的值分别为______、______； (2)若该超市同时购进甲种商品数量是乙种商品数量的2倍少10件，且在正常销售情况下售完这两种商品共获利3050元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ 【答案】(1)75， (2)该超市购进甲种商品90件，乙种商品50件． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用利润率，可求出的值；利用售价进价进价利润率，可求出的值； （2）设购进乙种商品件，则购进甲种商品件，利用总利润每件的销售利润销售数量，可列出关于的一元一次方程，解之可得出购进乙种商品的数量，再将其代入中，即可求出购进甲种商品的数量． 【详解】（1）解：根据题意得：； ． 故答案为：75，； （2）解：设购进乙种商品件，则购进甲种商品件， 根据题意得：， 解得：， （件． 答：该超市购进甲种商品90件，乙种商品50件． 【经典例题五 比赛积分问题】 【例5】（2024六年级上·上海·专题练习）学校组织了一次知识竞赛，初赛共有40道选择题，竞赛规则规定：每题选对得4分，选错或不选倒扣3分．已知小明得了83分，问：小明答对几道题？ 【答案】29道题 【分析】此题考查一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．设小明答对道题，根据题意列出方程解答即可． 【详解】解：设小明答对道题，可得： ， 解得：， 答：小明答对29道题． 1．（23-24六年级上·上海闵行·期中）在一次学校组织的知识竞赛中，根据竞赛规则：本次比赛共 30 道题，每题选对了得 3 分，选错或不选倒扣 2 分，已知小明最后总计 65 分，请问他共答对了多少题？ 【答案】他共答对了25题． 【分析】根据“选错或不选倒扣 2 分”相当于选错或不选丢失 5 分，假设小明全部答对，可得：分，而实际小明最后总计 65 分，说明他被扣了分，故他选错或不选的题目有道，答对了道． 【详解】解：根据题意可得： （道） 答：他共答对了25题． 【点睛】本题属于典型的鸡兔同笼问题，解题的关键是利用假设法解决问题，也可以用方程进行解答． 2．（23-24六年级上·河南信阳·期末）某校六年级上班组织生活小常识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中个参赛者的得分情况．请你补全表格，并写出你的研究过程． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A B C 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意发现答对一道得分、答错一道扣分成为解答本题的关键． 根据题意发现答对一道得分、答错一道扣分，进而列方程求解即可； 【详解】解：因为共有题，参赛者B答错题，故答对题， 因为参赛者答对题答错题得分， 所以答对题得分， 设答错题扣分， 由参赛者的得分可得，， 解得， 所以答错题扣分， 设参赛者答对题， 由题意得，， 解得． 故参赛者答对题，答错题． 补全表格如下： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A B C 3．（23-24六年级上·上海·阶段练习）下表是赛季英超联赛37轮比赛过后的积分排行榜，请根据图表信息求出曼联队的获胜场次以及踢平的场次各为多少？（足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．） 积分榜 排名 球队 场次 积分 胜 平 负 1 切尔西 37 84 25 9 3 2 曼城 37 76 23 7 3 3 阿森纳 37 72 21 9 7 4 曼联 37 69 8 5 利物浦 37 62 18 8 11 【答案】曼联队的获胜场次为20场，踢平的场次为9场， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据总场次为，设获胜场次为场，踢平的场次为场，根据胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设曼联队的获胜场次为场，则 ∴踢平的场次为场， ∵胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分 ∴ 解得 ∴（场） 答：曼联队的获胜场次为20场，踢平的场次为9场， 【经典例题六 方案选择问题】 【例6】（23-24六年级上·上海徐汇·期中）某校组织春游活动，参加师生共658人，分别乘坐60座和45座的大客车共12辆，除有一辆车空2个座位，其余车都坐满，问60座和45座的大客车各几辆？ 【答案】60座大客车8辆，45座的大客车4辆． 【分析】设60座大客车有x辆，则45座的大客车有（12-x）辆，根据师生共658人列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设60座大客车有x辆，则45座的大客车有（12-x）辆，根据题意得 60x+45（12-x）-2=658 15x=120 x=8 12-x=4 答：60座大客车8辆，45座的大客车4辆． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 1．（23-24六年级上·福建泉州·期末）列一元一次方程解应用题： 某牛奶加工厂有鲜奶18吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元，该工厂的生产能力是：将牛奶制成酸奶，每天可加工3吨；将牛奶制成奶片每天可加工1吨．受人员限制，两种加工方式不可同时进行；受气温条件限制，这批牛奶必须在8天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案： 方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶； 方案2：一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好8天完成．（列方程） 你认为选择哪种方案获利最多，说明理由． 【答案】第二种方案获利最多 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，方案一：根据制成奶片每天可加工1吨，可知8天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶，求出利润；方案二：设生产天奶片，天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出利润，比较即可得到结果．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【详解】解：方案一：由题意可知，最多生产8吨奶片，其余的鲜奶直接销售， 则其利润为：（元）； 方案二：设生产天奶片，则生产天酸奶， 根据题意得：，解得：， ∴5天生产酸奶，加工的鲜奶吨， 则利润为：（元）， ∴． 则第二种方案获利最多． 2．（23-24六年级上·山西朔州·阶段练习）为庆祝“六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的数量 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装价格 60元 50元 40元 如果两校分别单独购买服装，一共应付5000元 (1)如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校各有多少人准备参加演出？ (3)如果甲校有10名同学要去参加书法绘画比赛不能参加演出，请为两校设计一种最省钱的购买服装方案． 【答案】(1)甲、乙两校联合起来购买服装，比各自购买服装共可以节省1320元 (2)甲、乙两校分别有52人、40人准备参加演出 (3)最省钱的购买服装方案是两校联合购买91套服装（即比实际人数多购买9套） 【分析】本题主要考查了一元一次方程解决销售方案问题： （1）计算出联合起来购买需付的钱数，然后即可得出节省的钱数． （2）根据题意判断出甲校的学生大于，乙校的学生小于46，从而根据两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元，可得出方程，解出即可； （3）根据实际人数82乘以单价得购买费用，再计算总人数乘以单价的购买费用，两者比较可得省钱的购买方案． 【详解】（1）解：由题意得：（元）． 答：甲、乙两校联合起来购买服装，比各自购买服装共可以节省1320元． （2）解：因为甲校人数多于乙校人数， ∴甲校的学生大于，乙校的学生小于46， 设甲校有x人准备参加演出，则乙校有人准备参加演出． 由题意，得． 解得， 则． 答：甲、乙两校分别有52人、40人准备参加演出． （3）解：因为甲校有10人不能参加演出， 所以甲校有（人）参加演出， 所以两校参加演出的人数为．（人）． 若两校联合购买82套服装，则需要（元）． 但如果两校联合购买91套服装，只需（元）． ． 因此，最省钱的购买服装方案是两校联合购买91套服装（即比实际人数多购买9套）． 3．（23-24六年级上·上海闵行·期末）某商店为迎接新年举行促销活动，促销活动有以下两种优惠方案： 方案一：购买一件商品打八折，购买两件以上在商品总价打八折的基础上再打九折； 方案二：购买一件商品打八五折，折后价格每满100元再送30元抵用券，可以用于抵扣其他商品的价格． （注：两种优惠只能选择其中一种参加） (1)小明想购买一件标价270元的衣服和一双标价450元的鞋子，请你帮助小明算一算选择哪种优惠方案更合算． (2)如果衣服和鞋子的标价都是在进价的基础上加价了50%，那么这两种优惠方案商店是赚了还是亏了?为什么? (3)如果小明已决定要购买标价为450元的鞋子，又想两种方案的优惠额相同，那么小明想购买的衣服的标价（低于450元）应调整为多少元? 【答案】(1)选方案一合算． (2)这两种优惠方案商店都是赚的． (3)小明应购买的衣服标价调整为112.5元． 【分析】（1）根据题意我们把两种方案所要花的钱都把它算出来然后比较大小就可以了． （2）根据成本等于标价除以(1+加价幅度),算出标价,再比较成本与售价的大小即可． （3）先假设小明想购买的衣服标价应调整为m元，再根据两种方案最终的付款额相同这个等量关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）方案一：(270+450)×=518.4（元） 方案二：先买鞋子应付款为450×0.85=382.5(元)， 折后价格每满100元再送30元抵用券， 所以返3×30=90（元）的券， 再买衣服应花的钱为：270-90=180（元） 所以总付款为：382.5+180=562.5（元） 因为518.4元<562.3元 所以选方案一合算． 答：选方案一合算． （2）解：衣服的进价为270÷（1+50%）＝180（元） 鞋子的进价为450÷（1+50%）＝300（元） 总成本为180+300=480（元） 因为480元<518.4元<562.3元，所以这两种优惠方案商店都是赚的． 答：这两种优惠方案商店都是赚的． （3）解：由第1问的计算可知买450元的鞋子能返还90元的券, 设小明应购买的衣服的标价调整为m元，则由题意可得， (450+m)×0.8×0.9=450×0.85+(m-90) 解得m=112.5 所以标价应调整为112.5元． 答：小明应购买的衣服标价调整为112.5元． 【点睛】这道题考查的是最优化问题这一块的知识．把各种情况都要考虑到，要熟悉标价、进价（即成本）、售价之间的关系．标价＝进价×(1+加价幅度)，售价＝标价×，遇到有优惠券的，注意题目当中给的使用条件进行计算． 【经典例题七 数字问题】 【例7】（23-24六年级上·上海闵行·期末）一个两位数，十位上数字是个位上数字的2倍，交换个位数字与十位数字后所得的新两位数比原两位数小18，求原来的这个两位数． 【答案】42 【分析】设个位数字为x，则十位数字为，列出方程解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，解答时注意等量关系的确定，这是解题的关键． 【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为， 根据题意，得， 解得， 则， 这个两位数是42， 答：这个两位数是42． 1．（23-24六年级上·上海·期中）一个两位数是一个一位数的3倍，如果把两位数放在一位数的右边，得到一个三位数，如果把两位数放在一位数的左边，得到另一个三位数，且后面的三位数比前面的三位数小360，则这个两位数是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设一位数为，则这两位数为，再根据题意列式，然后计算，即可作答． 【详解】解：设一位数为，则这两位数为 ∵把两位数放在一位数的右边，得到一个三位数，把两位数放在一位数的左边，得到另一个三位数，且后面的三位数比前面的三位数小360， ∴， 解得， 则， ∴这个两位数是． 2．（23-24六年级上·上海嘉定·期中）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如：将转化为分数时，可先设，则，所以，解得，即，仿此方法． (1)将化为分数是____________． (2)求出的分数表示形式（请写出解题过程）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，得出，即可解答； （2）设，则，得出，即可解答． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：， 即将化为分数是； 故答案为：． （2）解：设，则， ∴， 解得：． ∴表示为分数为． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，掌握例题的解题方法． 3．（24-25六年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下面三行数 ，4，，16，，64…① ，2，，14，，62…② 3，，9，，33，…③ (1)第①行的数的第10个数是____． (2)分别写出第②行的第个数______，第③行的第个数是______． (3)是否存在第②行的连续三个数的和为186？若存在，说明理由并写出这三个数；若不存在说明理由． (4)是否存在正整数，使每行的第个数相加的和等于．若存在求出值，若不存在说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)第②行存在连续三个数的和为186，这三个数分别为，理由见解析； (4)不存在正整数k    ，使每行的第个数相加的和等于，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数字类的规律探索： （1）观察可知，第一行数的数字部分是以2为底，序号为指数的结果，且奇数项的符号为负，偶数项的符号为正，据此规律求解即可； （2）由（1）可知，第①行第n个数为，观察可知，第②行第n个数比第①行第n个数少2，观察可知，第③行的第个数是第②行的第个数取相反数后减去1，据此求解即可； （3）假设存在，设这三个数中最左边的数为，则另外两个数分别为，，据此建立方程求出x的值，看x是否是第②行的某数即可得到结论； （4）假设存在，由题意得，，据此求出k的值，看是否符合题意即可得到结论． 【详解】（1）解：观察可知，第一行数的数字部分是以2为底，序号为指数的结果，且奇数项的符号为负，偶数项的符号为正， ∴第①行的数的第10个数是， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，第①行第n个数为， 观察可知，第②行第n个数比第①行第n个数少2， ∴第②行的第个数为， 观察可知，第③行的第个数是第②行的第个数取相反数后减去1， ∴第③行的第个数为； 故答案为：；； （3）解：第②行存在连续三个数的和为186，这三个数分别为，理由如下： 假设存在，设这三个数中最左边的数为，则另外两个数分别为，， 由题意得，， 解得， 根据题干信息可知62是第②行第6个数， ∴符合题意， ∴，， ∴第②行存在连续三个数的和为186，这三个数分别为； （4）解：不存在正整数k ，使每行的第个数相加的和等于，理由如下： 假设存在，由题意得，， ∴， 当k为偶数时，则，即， ∵， ∴此时不符合题意， 当k为奇数时，则， ∴， ∴ ∵， ∴（舍去）， 综上所述，不存在正整数k    ，使每行的第个数相加的和等于． 【经典例题八 几何问题】 【例8】（23-24六年级上·内蒙古包头·期末）如图，在一块展示牌上，整齐地贴着许多资料卡片，这些卡片均为大小相同的长方形，卡片之间露出了三块正方形（图中阴影部分），每一块正方形的面积为，求每一块卡片的面积？ 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设小长方形的长为，根据大长方形的对边相等，得到小长方形的宽的长，再根据正方形的面积为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，由图可知，小长方形的宽为：，则：小正方形的边长为， ∵每一块正方形的面积为， ∴每一块正方形的边长为：， ∴， ∴， ∴， ∴每一块卡片的面积为． 1．（23-24六年级上·上海·阶段练习）一个长方形的长与宽之比为15∶7，现截去一个边长与原长方形的宽相等的正方形，得到的新长方形的周长是30厘米，求原长方形的长与宽各是多少厘米？ 【答案】长方形长为厘米，宽为7厘米． 【分析】设长方形长为厘米宽为厘米，根据正方形周长列方程即可得到答案． 【详解】解：设长方形长为厘米宽为厘米，由题意可得， ， 解得：， ∴长方形长为，宽为． 【点睛】本题考查一元一次方程解决图形类问题，解题的关键是找到等量关系式． 2．（23-24六年级上·上海浦东新·期中）如图，6个正方形无缝拼接成一个大长方形，中间最小的一个正方形的面积为4，求这个大长方形的面积．    【答案】572 【分析】如图，由中间最小的一个正方形的面积为4得到该正方形的边长为2，即，设，用含x的式子表示出图中各线段的长，根据列出方程，求解后即可得到大长方形的长与宽，从而得到大长方形的面积． 【详解】    中间最小的一个正方形的面积为4，则该正方形的边长为2，即， 设，则， ， ， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵大长方形的长， 宽， ∴面积为． 【点睛】本题考查用一元一次方程解决实际问题，分析图中各线段的数量关系，找到等量关系求出线段的长是解题的关键． 3．（23-24六年级·上海·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角．    (1)如图1，，，是的内半角，则_______； (2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转的角度为何值时，是的内半角； (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以3度秒的速度按顺时针方向旋转（如图，问：在旋转一周的过程中，射线、、、能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)15° (2) (3)能，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒；秒 【分析】（1）根据定义以及角度的和差直接求解即可； （2）根据题意，根据定义可得，建立一元一次方程解方程求解即可； （3）根据题意可分以下四种情况：①当射线在内，如图4，当射线在外部，有以下两种情况，如图5，图6，当射线在内，如图7，根据定义建立方程，解方程求解即可． 【详解】（1）（1）如图1，，是的内半角， ， ， ； 故答案为：． （2）如图2，由旋转可知，， ，， 是的内半角， ，即， 解得，；    （3）能，理由如下， 由旋转可知，；根据题意可分以下四种情况：①当射线在内，如图4， 此时，，， 则是的内半角， ，即， 解得（秒； ②当射线在外部，有以下两种情况，如图5，图6， 如图5，此时，，， 则是的内半角， ，即， 解得（秒； 如图6，此时，，， 则是的内半角， ，即， 解得（秒； ③当射线在内，如图7， 此时，，， 则是的内半角， ，即， 解得（秒；    综上，在旋转一周的过程中，射线、、、构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒；秒． 【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，理解定义，并能分类讨论是解题的关键． 【经典例题九 和差倍分问题】 【例9】（23-24六年级上·上海长宁·期末）小红看一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，这时还剩51页没看，这本书一共有多少页？ 【答案】一共有120页 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这本书一共有x页，根据“还剩51页没有看”列方程求解，找到相等关系是解题的关键． 【详解】设这本书一共有x页， 则：， 解得：， 答：这本书一共有120页． 1．（23-24六年级·上海·假期作业）森林水果店批发橘子和苹果两种水果，每筐苹果重50千克，每筐橘子重42千克，水果店某天卖出苹果和橘子共8筐，共重376千克，森林水果店这一天卖出苹果多少筐？ 【答案】5筐 【分析】根据题意，某天卖出苹果和橘子共8筐，设卖出苹果筐，则卖出橘子筐；等量关系：每筐苹果的质量卖出苹果的筐数每筐橘子的质量卖出橘子的框数卖出苹果和橘子总质量，据此列出方程，并求解． 【详解】解：设森林水果店这一天卖出苹果筐，则卖出橘子筐， 由题意得：， ， ， ， ， ， ， 答：森林水果店这一天卖出苹果5筐． 【点睛】本题考查列方程解决问题，要从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程是解题的关键． 2．（23-24六年级上·上海普陀·阶段练习）三个渔夫一起钓鱼，钓满了一桶鱼后他们都睡着了．渔夫甲先醒来后，把鱼数了一遍，拿出一条放入河里，然后拿起剩下的鱼的走了；过了一会，渔夫乙醒来，也把鱼数了一遍，拿出一条放入河里，又拿起剩下的鱼的走了；最后渔夫丙醒来一看，桶里还剩6条鱼．请你算一算，三个渔夫一共钓了多少条鱼？ 【答案】条 【分析】设三个渔夫一共钓了x条鱼，则渔夫甲拿出一条放入河里，拿走了条鱼，渔夫乙拿出一条放入河里，拿走了条鱼，渔夫丙拿走了6条鱼，据此即可列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设三个渔夫一共钓了x条鱼， 根据题意得：， 得， 解得， 答：三个渔夫一共钓了条鱼 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解决本题的关键． 3．（23-24六年级上·上海松江·期末）阅读下列材料并回答问题： 墓碑上的数学题——他．我们熟悉的古希腊大数学家丢番图在数学上作出了伟大的贡献，被誉为数学界的鼻祖，用字母表示数和列方程解应用题等一些运算就是丢番图首创的，丢番图去世后，他的年龄成了一个谜，但它的墓碑上刻有一道数学题，让纪念他的人们根据墓碑上的题目，算出他的寿命．碑文是这样写的：这里是一座公墓，里面安葬着丢番图．他生命的是童年；再活了寿命的，颊上长出了细细的胡须；又过了一生的，他找到了终生伴侣；5年后，神赐给他一个儿子；可是儿子命运不济，只活了父亲岁数的一半，就匆匆离去；儿子死后，父亲在悲痛中生活了4年，也离开了人世．阅读后请用列方程解应用题的方法求丢番图寿命是多少岁？ 【答案】84岁 【分析】设丢番图寿命为x岁，根据各时间段的总和等于丢番图的岁数列方程为，然后解方程即可． 【详解】解：设丢番图寿命为x岁，根据题意列式： ， 答：丢番图寿命是84岁． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答． 【经典例题十 电费和水费问题】 【例10】（24-25六年级上·江苏淮安·开学考试）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 用电量/(千瓦时/户) 价格/(元/千瓦时) 200千瓦时以内 0.55 千瓦时 0.6 400千瓦时以上 0.8 (1)小虎家三月份用电140千瓦时，应交电费多少元？丽丽家三月份用电260千瓦时，应交电费多少元？ (2)聪聪家五月份用电量为千瓦时，若在200-400之间时，应交电费______元(用含有的式子表示)；若时，则聪聪家应交电费______元(用含有的式子表示) (3)某超市三月份交电费390元，该超市三月份用电多少千瓦时？ 【答案】(1)小虎家三月份用电千瓦时，应交电费元，丽丽家三月份用电千瓦时，应交元电费； (2)，； (3)千瓦时 【分析】本题考查的是列代数式、一元一次方程的应用、有理数的混合运算，解题的关键是明确用电量是属于哪一个范围的．（1）小虎家三月份用电千瓦时，在千瓦时以内，用元乘以用电的千瓦时即可得应交电费；丽丽家三月份用电千瓦时，在0千瓦时之间，200千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时的用电量乘以元，两者相加即可得应交电费； （2）聪聪家五月份用电量为千瓦时，若x在之间时，千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时的用电量乘以元，两者相加即可得应交电费；若时，千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时不超过千瓦时的用电量乘以元，超过千瓦时的用电量乘元，三者相加即可得应交电费； （3）通过计算先判断出该超市的用电量超过了千瓦时，再代入（2）中相应的代数式计算即可． 【详解】（1）解：小虎家三月份应交电费 元)， 丽丽家三月份，应电费；元)， 答：小虎家三月份用电千瓦时，应交电费元，丽丽家三月份用电千瓦时，应交元电费； （2）解：聪聪家五月份用电量为x千瓦时， 若在之间时，应交电费元， 若时，应交电费元， 故答案为：，； （3）当用电量为200千瓦时，应交电费元)， 当用电量为千瓦时，应交电费元)， ， 所以该超市的用电量超过千瓦时， 令，解得：， 答：该超市三月份用电千瓦时． 1．（23-24六年级上·山东济南·期中）某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不高于240千瓦·时．第二档： 月用电量为千瓦·时，第三档： 月用电量超过 400 千瓦·时）．设居民每月应交电费y（元） ，用电量为x（千瓦·时） 用电量（千瓦·时） 收费（元） 不超过 240 千瓦·时 每千瓦·时 元 千瓦·时 每千瓦·时 元 超过 400千瓦·时 超过的部分每千瓦·时 元 (1)①每月用电量不超过240千瓦·时，y= ； ②每月用电量超过 400千瓦·时，y= ． (2)若某户居民用电量为210千瓦·时，则应交电费多少元? (3)若某户居民某月交费210元，则该户居民用电多少千瓦·时? 【答案】(1)①；② (2)（元） (3)本月用电344度 【分析】(1) ①根据费用=单价乘以用电量，列式计算即可． ②根据费用=单价乘以用电量，列式计算即可． (2)根据(1)求得的结果，讨论x的值，得出的结论． （3）根据当时，最多费用为元；当时，最多费用为元；当时，费用大于元；根据分档计算即可． 本题考查了一元一次方程的生活实际应用，正确理解分档的界点是解题的关键． 【详解】（1）①根据时，每千瓦·时 元， 故， 故答案为：． ②根据时，每千瓦·时 元， 故 ， 故答案为：． （2）根据时，每千瓦·时 元， 故， 由， 故当时， (元)． 答：应交电费元． （3）根据题意，当时，最多费用为元； 当时，最多费用为元； 当时，费用大于元； ∵， ∴用电量满足， 设用电x度，根据题意，得， 解得， 答：本月用电344度． 2．（23-24六年级上·江苏徐州·阶段练习）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，表示立方米）： 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出不超出的部分 4元 超出的部分 8元 请根据上表的内容解答下列问题： (1)填空：若该户居民2月份用水，则应收水费_______元；若该户居民3月份用水，则应收水费__________元． (2)若该户居民5月份的水费为36元，则5月份的用水量是多少立方米？ 【答案】(1)8，20 (2)该户居民5月份的用水量为． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确的列出代数式以及方程． （1）2月份用水量不超出，用第一阶段的水费进行求解即可，3月份用水量超出不超出，根据题意列式计算即可； （2）由题意可得，该户居民5月份的用水量超过，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得2月份水费为（元）， 3月份水费为（元）， 故答案为：8，20； （2）解：∵， ∴该户居民5月份的用水量超过， 设该户居民5月份的用水量为， 根据题意，得， 解得， 答：该户居民5月份的用水量为． 3．（23-24六年级上·江苏盐城·期末）目前，某市市区居民用管道天然气继续执行阶梯价格制度．各阶梯价格水平如下： 一户居民一年用气量（单位：立方米） 电价（单位：元/立方米） 第档 不超过立方米的部分 第档 立方米以上至立方米（含）部分 第档 立方米以上的部分 (1)小明家年用气立方米，小明家年应缴费___________元． (2)若某户年用气量为立方米，当时，则应缴费___________元（用含的代数式表示）． (3)按照此方案结算，某户年实际缴纳燃气费元，求该户年实际用气量为多少立方米？ 【答案】(1) (2) (3)立方米 【分析】本题考查一元一次方程的应用，列代数式，有理数乘法的应用， （1）根据第档的价格列式计算即可； （2）根据，结合各阶梯价格列式计算即可； （3）设该户年用气量为立方米，根据“实际缴纳天然气费元”确定的范围，然后列方程求解即可； 正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵小明家年用气立方米，且， ∴小明家年应缴费：（元）， 故答案为：； （2）∵某户年用气量为立方米，且， ∴应缴费：（元）， 故答案为：； （3）解：当用天然气立方米时，费用为：（元）， 当用天然气立方米时，费用为：（元）， ∵， ∴缴纳天然气费元，使用量大于且小于立方米， 设该户年用气量为立方米， 依题意，得：， 解得：， ∴该户年实际用气量为立方米． 【经典例题十一 比例分配问题】 【例11】（23-24六年级上·上海·期中）六年级和六年级上分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动，并且要使六年级，六年级上剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，六年级上各选出多少人？ 【答案】从六年级抽出64人，从六年级上抽出69 【分析】总人数不变，抽出的人数加上为抽出的人数等于总人数，设未知数，由题意列出一元一次方程即可． 【详解】解：设从六年级抽出x人，则应从六年级上抽出（133-x）， 由题意得：（192-x）：[133-（133-x）]=2：1， 即（192-x）：x=2：1， 解得：x=64， ∴133-64=69（人）． 答；应从六年级抽出64人，从六年级上抽出69人． 【点睛】本题是一元一次方程的应用，考查的是人员调配问题，关键知道调配后的数量关系从而可列方程求解． 1．（23-24六年级上·湖南永州·期末）新冠疫情期间，甲、乙、丙三家公司为抗击疫情捐款，他们共捐款216万元，所捐款数的比为3：4：5，问甲、乙、丙三家公司各捐款多少万元？ 【答案】甲公司捐款54万元，乙公司捐款72万元，丙公司捐款90万元 【分析】设甲公司捐款3x万元，则乙公司捐款4x万元，丙公司捐款5x万元，根据题意列出一元一次方程求解即可； 【详解】解：设甲公司捐款3x万元，则乙公司捐款4x万元，丙公司捐款5x万元，根据题意得， 3x+4x+5x=216， 解得，x=18． 所以3x=54，4x=72，5x=90； 答：甲公司捐款54万元，乙公司捐款72万元，丙公司捐款90万元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确计算是解题的关键． 2．（23-24六年级上·江苏镇江·期末）下面是某校六年级上数学课外活动小组的两位同学对话，根据对话内容求这个课外活动小组现在的人数． 甲：我们女生人数占现在全组人数的一半 乙：还有6位男生将加入我们小组，他们全部加入后男生人数将占全组人数的． 【答案】12人 【分析】设现在全组人数为x人，则现在男生有人，然后根据再增加6名男生，那么男生人数将占全组人数的列方程，再解方程即可． 【详解】设现在全组人数为x人，则现在男生有人， 根据题意得：， 解得：人． 答：这个课外活动小组现在的人数为12人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知数为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 3．（23-24六年级上·山东济宁·期末）甲、乙、丙三人共同出资做生意，甲投资了万元，乙投资了万元，丙投资了万元，年终时，共赚得利润万元，甲、乙、丙三人按比例进行分配，各可以分得多少利润？ 【答案】万元；万元；万元 【分析】根据题意，设甲可以获得万元，乙可以获得万元，丙可以获得万元，列出方程求解． 【详解】解:， 设甲可以获得万元，乙可以获得万元，丙可以获得万元， 解得， ， 答:甲可以分得万元，乙可以分得万元，丙可以分得万元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据比例关系列出方程进行求解． 【经典例题十二 日历问题】 【例12】（23-24六年级上·广东广州·期中）将正整数，排成如图的数表，用图中所示的方框出9个数，不改变方框的大小，把方框任意移动． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第一行 1 2 3 4 5 6 第二行 7 8 9 10 11 12 第三行 13 14 15 16 17 18 第四行 19 20 21 22 23 24 第五行 25 26 27 28 29 30 …… …… (1)若方框正中心数为17，则方框中的9个数的和为 ． (2)设方框正中心数为，则方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？为什么？ (3)方框中9个数的和可能是3330吗？若可能，请求出方框正中心数落在第几行，第几列？若不可能，说说你的理由． 【答案】(1)153 (2)方框中的9个数是方框正中心的数的9倍 (3)第62行，第4列 【分析】本题考查了整式的加减，一元一次方程的应用，理清中间数与周围8个数的关系是解答本题的关键． （1）根据表格列式求解即可； （2）根据中间数与周围8个数的关系列方程求解即可； （2）根据中间数与周围8个数的关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴方框中的9个数是方框正中心的数的9倍． （3）解：设方框正中心数为， 由题意，得， ∴， ∵第1行最后一个数是， 第2行最后一个数是， 第3行最后一个数是， …， ∴第n行最后一个数是， ∴第61行最后一个数是， ∴370落在第62行，第4列． 1．（23-24六年级上·江苏无锡·阶段练习）月历中的数学：观察如图所示的2024年11月的月历，解答下列问题： (1)用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数． ①若框里4个数中的最小数记为，用含的代数式表示这4个数的和为_____，这4个数的和的最大值是_____． ②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？ (2)用一个的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①，106；②15，16，17，18 (2)能等于222，最小数为10，不能等于246，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并能结合月历的特点是解题的关键． （1）①根据日历的特点分别表示出其他三个数，然后求和即可；根据月历的特点，可以找到框25，26，27，28时，和最大；②若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，，，那么这4个数的和为，然后解方程求出的值，进而求出其他三个数； （2）设最小数为，那么第一行的四个数分别是，，，，那么第一行的和为，第二行的四个数分别是，，，， 第二行的和为，第三行的四个数分别是，，，，第三行的和为，由题意可知，分别等于222和246，分别解得答案，然后结合月历，看是否符合月历的特点． 【详解】（1）解：①若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，， 那么这4个数的和为 从月历上看，可知当框起来的数是25，26，27，28时，和最大，最大值为106． ②若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，， 那么这4个数的和为，由题意可知 解得 那么这4个数分别为15，16，17，18． （2）解：设最小数为，那么第一行的四个数分别是，，，，那么第一行的和为，第二行的四个数分别是，，，， 第二行的和为，第三行的四个数分别是，，，，第三行的和为，由题意可知 解得： 从月历看，这12个数分别是10，11，12，13，17，18，19，20，24，25，26，27； ∴能等于222，这12个数分别是10，11，12，13，17，18，19，20，24，25，26，27；最小的数字是10， 不能等于246，理由如下： 当 解得： 从月历看，最小的数字是12，一行只有三个数，不符合要求． 2．（2024六年级上·江苏·专题练习）如图是年月份的月历，现用十字框任意框出个数，如： (1)十字框框出的个数与十字框中间的数有什么关系？ (2)如果十字框框出的个数之和为，那么十字框中间的数是多少？ (3)十字框框出的个数之和可以是吗？ 【答案】(1)十字框框出的个数的和等于十字框中间的数的倍 (2)十字框中间的数是 (3)十字框框出的个数之和可以是 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据题意列式计算，即可找出相应关系； （2）根据“十字框框出的个数之和为”列方程求解即可； （3）根据“十字框框出的个数之和是”列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 答：十字框框出的个数的和等于十字框中间的数的倍； （2）解：设十字框中间的数是， 则依据题意有：， 解得：， 答：十字框中间的数是； （3）解：设十字框中间的数是， 则依据题意有：， 解得：， 且， 十字框框出的个数之和可以是， 答：十字框框出的个数之和可以是． 3．（24-25六年级上·江苏·假期作业）（1）吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么第一个数是 ； （2）玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是，则它们分别是 ； （3）莉莉也在日历上圈出个数，呈十字框形，它们的和是，则中间的数是 ； （4）某月有个星期日的和是，则这个月中最后一个星期日是 号； （5）若干个偶数按每行个数排成下图： ①图中方框内的个数的和与中间的数有什么关系 ； ②汤姆所画的斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ； ③托马斯也画了一个斜框，斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ． 【答案】（1）；（2），，，；（3）；（4）；（5）①和是中间的数的9倍；②；③ 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握日历或数表上的相邻数间的关键是解题的关键． （1）设第一个数是，则其他的数为，，，列式求解即可； （2）设第一个数是，则其他的数为，，，列式求解即可； （3）设中间的数是，其他的数为，，，，列式求解即可； （4）设最后一个星期日是，，，，，列式求解即可； （5）①先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，求和可得和是中间的数的9倍； ②利用和是中间的数的9倍列式求解即可； ③利用和是中间的数的9倍列式求解即可． 【详解】解：（1）设第一个数是， 则其他的数为，，， 则， 解得：， 故答案为：； （2）设第一个数是， 则其他的数为，，， 则， 解得：， ，， 故答案：，，，； （3）设中间的数是， 则其他的数为，，，， 则， 解得：， 故答案为：； （4）设最后一个星期日是，，，，， 则， 解得：， 故答案为：； （5）①设中间的数是，其他的数为，，，，，，，， 则和为， 故答案为：和是中间的数的9倍； ②根据规律可知，和是中间的数的9倍， 设中间的数是， 则， 解得：， 故答案为：； ③设中间的数是， 则， 解得：， 故答案为：． 【经典例题十三 古代问题】 【例13】（23-24六年级上·福建厦门·阶段练习）我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托；折回索子去量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．问竿和绳索的长分别是多少尺？ 【答案】绳索长为20尺，竿长15尺． 【分析】设绳索长尺，则竿长为尺，根据将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，列方程求解即可． 【详解】解∶设绳索长尺，则竿长为尺． 根据题意可得， 解得 （尺）， 答：绳索长为20尺，竿长15尺． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，解设恰当未知数，找等量关系，列出方程是解题的关键． 1．（23-24六年级上·上海闵行·期末）中国人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】39人，15辆车 【分析】设一共有x人，分别表示两种方式的车辆数，根据车辆数相等建立方程求解即可． 【详解】设一共有x人， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：一共有39人，15辆车． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 2．（23-24六年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【答案】(1)房客中大人有人，小孩有人 (2)方案二 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方程求解，进而由方案计算费用比较大小是解决问题的关键． （1）设房客中小孩有人，则大人有人，由总人数为人列一元一次方程求解即可得到答案； （2）设每人收费相同，为元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设房客中小孩有人，则大人有人， ，解得， 则， 答：房客中大人有人，小孩有人； （2）解：设每人收费相同，为元， 方案一费用：元； 方案二费用：元； ， 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算． 3．（23-24六年级上·上海闵行·期末）《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【答案】公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题的关键． 设母鸡有x只，则公鸡有只，根据用一百文钱买一百只鸡，列出方程，求解即可． 【详解】解：设母鸡有x只，则公鸡有只，小鸡有（只）， 根据题意列方程为：． 解得， ∴，， ∴公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只． 【经典例题十四 其他问题】 【例14】（24-25六年级上·全国·期末）某文艺团体开展文艺演出，为“乡村振兴工程”募捐，已知成人票每张40元，学生票每张25元． (1)某场演出共售出1000张票，筹得票款34750元．问：成人票与学生票各售出多少张？ (2)已知某单位按（1）中成人及学生数购票，与演出组织单位达成票价打折的优惠方案，共少付票款6975元．若成人票打九折，则学生票打几折？ 【答案】(1)售出成人票650张，学生票350张； (2)学生票打5折． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设售出成人票x张，则售出学生票张，根据一共筹得票款34750元列出方程求解即可； （2）设学生票打a折，分别计算出打折后学生票和成人票的票款，然后根据总票款为元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设售出成人票x张，则售出学生票张． 根据题意，得， 解得． ∴． 答：售出成人票650张，学生票350张； （2）解：设学生票打a折， 根据题意，得． 解得． 答：学生票打5折． 1．（24-25六年级上·全国·期中）小华坐公交车要投两元钱，他发现刷学生卡可以省钱，于是在公交总站办理了学生卡，充值了元，如果小华乘车的次数用表示，则记录他每次乘车后的余额（元）如下表： 次数（次） 余额（元） … … (1)写出用乘车的次数表示余额的式子． (2)利用上式计算乘了次车后，余额为多少？ (3)小华最多能乘几次车？ 【答案】(1) (2)元 (3)次 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用， （1）由表格可知：每乘一次车，就用去元，进一步利用总金额减去乘车消费的钱数即可； （2）把代入（1）中的代数式得出答案即可； （3）由（1）中的代数式，令余额为，建立方程求得即可； 根据题意，得出余额的表示方法是解题的关键． 【详解】（1）解：用乘车的次数表示余额的式子为； （2）解：当时，（元）， ∴余额为元； （3）解：依题意得：， 解得：， ∵乘车的次数是非负整数， ∴小华最多乘坐次． 2．（24-25六年级上·江苏淮安·阶段练习）将正方形（如图1）作如下划分，第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形；第次划分：将图左上角正方形再划分，得图，则图中共有个正方形； (1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第次划分后，图中共有______个正方形． (2)继续划分下去，第次划分后图中共有______个正方形； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查图形规律题， （1）根据题意找出规律进行计算即可； （2）探究规律，利用规律即可解决问题； （3）构建方程即可解决问题； 解题的关键是学会并掌握从特殊到一般的探究规律的方法．也考查了一元一次方程的应用． 【详解】（1）解：∵第次可得个正方形，即：（个）， 第次可得个正方形，即：（个）， 第次可得个正方形，即：（个）， ∴第次可得正方形：（个）， 第次可得正方形：（个）， 故答案为：； （2）由（1）得：第次可得个正方形， 故答案为：； （3）不能， 理由：依题意得：， 解得：， ∵是正整数， ∴当时不符合题意， ∴不能将正方形划分成个正方形的图形． 3．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在萧红中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平，和5克的砝码，如何称出一张卡片和一根吸管的重量呢？ 以下是笃行小组的实验记录： 实验准备：重量相同的卡片若干和重量相同的吸管若干 天平右边 天平左边 天平状态 记录1 4张卡个砝码 16根吸管 平衡 记录2 8张卡根吸管 5根吸管个5克砝 平衡 (1)设一张卡片重x克，则一根吸管重______克． (2)分别求一张卡片和一根吸管的重量各是多少？ (3)明辨小组根据笃行小组的实验结论提出这样的一个假设：在天平左边放上一个的砝码，再把若干卡片和若干吸管分别放在天平的两侧使天平处于平衡状态，此时吸管的数量是卡片的4倍．请用方程的知识进行判断，若假设不成立，请说明理由；若假设成立，请求出卡片的数量． 【答案】(1)或； (2)一张卡片克，一根吸管克； (3)成立，卡片4张． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式表达式： （1）根据记录1和2，天平平衡，则天平左右两边的重量相同，据此列式求解即可； （2）由（1）得一根吸管重克或克，列式进行计算，即可作答． （3）先设卡片的数量是张，则吸管的数量是根，由（2）得出一张卡片克，一根吸管克，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：由记录1得4张卡个砝码等于16根吸管，且设一张卡片重x克， ∴根吸管， ∴一根吸管重克； 由记录2得8张卡根吸管等于5根吸管个砝码， ∴根吸管根吸管， ∴一根吸管重克； 则一根吸管重克或克； （2）解：由（1）得一根吸管重克或克， ∴， 解得， 把代入， 得（克） ∴一张卡片克，一根吸管克； （3）解：成立，过程如下： 设卡片的数量是张，则吸管的数量是根， 由（2）得出一张卡片克，一根吸管克； ∴卡片重克，吸管重（克）， ∵为正整数， ∴， ∴把卡片与砝码一同放入天平左边，吸管放入天平右边， ∴， 解得， ∴假设成立，卡片4张． 【经典例题十五 一元一次方程与数轴】 【例15】（24-25六年级上·四川绵阳·阶段练习）在数轴上若点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离．，线段AB的中点表示的数为． 如图，数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． (1)填空：______，______，线段AB的中点表示的数为______； (2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P，Q在运动过程中，线段的长度是否可以等于的两倍？若可以，求出t的值． 【答案】(1)，，； (2)当为秒时，、两点相遇，相遇点所表示的数为； (3)当或秒时，线段的长度等于的两倍． 【分析】本题考查非负性的应用，解一元一次方程的应用、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． （1）由，得到，，则点表示的数是，点表示的数是，由两点对应的数的平均数直接求出、的中点表示的数； （2）根据点的运动速度和方向，直接表示出点、所表示的数，再根据、相遇时所表示的数相等列出方程求解即可； （3）先利用中点坐标公式求出，的坐标，再用两点间的距离公式列出绝对值方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴点表示的数是，点表示的数是， ∴线段的中点表示的数为：， 故答案为：，，； （2）解：秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当、两点相遇时，则、表示的数相等， 解得： ∴当时，、相遇， 此时，， ∴相遇点表示的数为， ∴当为秒时，、两点相遇，相遇点所表示的数为； （3）解：∵秒后，点表示的数，点表示的数为 ， ∵点表示的数为，点表示的数为， ， 依题意得，， 或， 解得：或， ∴当或秒时，线段的长度等于的两倍． 1．（23-24六年级上·浙江宁波·期中）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”． （1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．     【答案】（1）是； （2）①若C为中点，则C点表示的数为10；②若，则C点表示的数为20；③若，则C点表示的数为0． （3），，，，， 【分析】（1）根据“蓝青点”的定义可得线段的中点是这条线段的“蓝青点”； （2）设C点表示的数为x，分三种情况①若C为中点，②若，③若，分别列方程求解即可． （3）根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为．然后分6种情况讨论．相遇前分，，三种情况，相遇后分，，三种情况，分别列一元一次方程求出t的值即可． 【详解】解：（1）∵原线段的长是线段中点分成的短线段的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“蓝青点”． 故答案为：是． （2）设C点表示的数为x， ①若C为中点，即， 则， 解得． ②若， 则， 解得， ③若， 则， 解得． 综上，C点表示的数为10或20或0． （3）解：根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为． P、Q相遇前，P点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即时， ， 解得． ③， ， 解得， P、Q相遇后，Q点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即， ， 解得． ③， ， 解得． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，和一元一次方程解行程问题．正确的用含有t的代数式表示出P、Q所表示的数，掌握分类讨论是解题的关键． 2．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；数轴上表示和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如数轴上数x与5两点之间的距离等于． (2)如果表示数a和的两点之间的距离是3，求a的值； (3)若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值； 【答案】(1)3，5 (2)1或 (3)6 【分析】此题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值及一元一次方程的应用． （1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解答； （2）利用两点间距离公式列出关于a的方程，即可求解； （3）根据表示数a到点与2两点的距离的和即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是； 表示和2两点之间的距离是； （2）解：根据题意得：， 则， 或， 的值为或； （3）解：若数轴上表示数a的点位于与2之间， ∴， ∴． 3．（24-25六年级上·四川成都·阶段练习）在数轴上，若点C到点A的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”， 若点C到点A，B的距离之和为6，则称点C为点A，B的“幸福中心”． (1)如图1，点A表示的数是，则点A的“幸福点”C表示的数是______． (2)如图2，点A表示的数是，点B表示的数是4，点P表示的数是8，点Q从点P出发，以2单位/s的速度沿数轴向左运动，经过多少时间点Q是点A，B的“幸福中心”？ 【答案】(1)或2 (2)当经过秒或秒时，点Q是点A和点B的“幸福中心” 【分析】（1）根据定义，得到点C表示的数为或，解答即可． （2）设运动，则运动的路程为个单位长度，则点Q表示的数为，分类思考如下： 当点Q在点B的右侧时，此时，，根据定义，得到，求解一次； 当点Q在点A，点B之间时，此时，不成立； 当点Q在点A的左侧时，此时，，根据定义，得到，求解一次． 本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分类思想，熟练掌握定义，正确分类是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得点C表示的数为或即或， 故答案为：或2． （2）解：设运动，则运动的路程为个单位长度，则点Q表示的数为， 当点Q在点B的右侧时，此时，， 根据定义，得到：， 解得； 当点Q在点A，点B之间时，此时，不成立； 当点Q在点A的左侧时，此时，， 根据定义，得到， 解得． 故经过秒或秒时，点Q是点A和点B的“幸福中心”． 【经典例题十六 一元一次方程应用综合】 【例16】（24-25六年级上·江苏扬州·阶段练习）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有6名学生乘客买票，则总票款为 元； (2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 【答案】(1)270 (2)1050 (3)10人；40人 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用．理解题意，正确列出算式或等式是解题关键． （1）根据题意，列出算式计算即可； （2）根据题意，列出算式计算即可； （3）设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人．分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数和②非学生乘客若未达到团购人数，分别列出关于x的方程，求解即可． 【详解】（1）解：元． 答：若有6名学生乘客买票，则总票款为270元； （2）解：元． 答：若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为1050元； （3）解：设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人． 分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数，即， 则可列方程为：， 解得：，符合题意， 人 所以此时车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． ②非学生乘客若未达到团购人数，即， 则可列方程为：， 解得：，不符合题意舍去． 综上可知车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． 1．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈尔滨某食品加工厂，加工一种食品，销往大庆市和齐齐哈尔市，有新旧两种加工工艺． (1)如用旧工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量还多：如用新工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量少．新、旧工艺的废水排量之比为，两种工艺的一天废水排量各是多少？ (2)若用新工艺，每天加工的食品总量比旧工艺每天加工的食品总量多，已知旧工艺每天加工的食品总量是新工艺每天加工的食品总量的；求：若用新工艺加工一个月的食品总量是多少吨？（每个月按天计） (3)在（1）（2）的条件下，已知厂家将（2）中新工艺加工一个月的食品以每吨元的价格销往大庆市和齐齐哈尔市，已知这些加工食品的原材料费共为万元，选择铁路运输，在送货的过程中，列车先到大庆卸完一部分货后，再前往齐齐哈尔送货，送货列车的到达时间表如下所示：卸货的时间忽略不计；已知：哈尔滨与齐齐哈尔的距离为，哈尔滨到大庆的平均时速比大庆到齐齐哈尔的平均时速快，已知铁路运输的收费标准是：每吨每千米收费元；已知每吨污水的处理费是3元，这批食品全部售完后，仍可获利万，则销往大庆多少吨食品？ 地点 哈尔滨 大庆 齐齐哈尔 时间 【答案】(1)新工艺一天的废水排量为，旧工艺一天的废水排量为 (2)用新工艺加工一个月的食品总量是 (3)销往大庆 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． （1）设新工艺的废水排量为，则旧工艺的废水排量为，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设新工艺加工一天的食品量为，则旧工艺加工一天的食品量为，依题意得，，可求，根据用新工艺加工一个月的食品总量是，计算求解即可； （3）设哈尔滨到齐齐哈尔的平均时速为，则哈尔滨到大庆的平均时速为，依题意得，，可求，进而可求哈尔滨到齐齐哈尔的路程为，哈尔滨到大庆的路程为，设销往大庆吨食品，则销往齐齐哈尔吨食品，根据获利总价材料费污水处理费运费（销往大庆和销往齐齐哈尔），列方程，计算求解即可． 【详解】（1）解：设新工艺的废水排量为，则旧工艺的废水排量为， 依题意得，， 解得，， ∴新工艺一天的废水排量为，旧工艺一天的废水排量为； （2）解：设新工艺加工一天的食品量为，则旧工艺加工一天的食品量为， 依题意得，， 解得，， ∵， ∴用新工艺加工一个月的食品总量是； （3）解：设大庆到齐齐哈尔的平均时速为，则哈尔滨到大庆的平均时速为， 依题意得，， 解得，， ∴大庆到齐齐哈尔的路程为，哈尔滨到大庆的路程为， 设销往大庆吨食品，则销往齐齐哈尔吨食品， 依题意得，， 解得，， ∴销往大庆吨食品． 2．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 【答案】(1)每件服装标价为100元 (2)该服装店在乙服装厂购进服装利润最高 (3)需要在购进件服装 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用． （1）设每件服装标价x元，根据打95折比打8折多盈利15元钱，列出方程求解即可； （2）根据题意先求出每个厂在优惠条件下30000元能购进的服装数量，再求出利润比较即可； （3）设需在购进y件服装，根据利润为14949元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装标价x元，根据题意得： 解得：， 答：每件服装标价为100元； （2）解：， 根据题意： 甲厂： （件）， 购进服装数量为正整数， 在甲厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为： （元）； 乙厂： （件） 在乙厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为（元）， 则服装店在乙服装厂购进服装利润为：（元）； ， 该服装店在乙服装厂购进服装利润最高； （3）解：设需在购进y件服装，根据题意： 由（2）知，进价为：（元）， 现标价为：（元）， 按进价的基础上每件服装加价销售的服装有：（件）， 按5折出售的服装有：（件）， 售价为：（元）， 则， ，即， 解得：， 答：需要在购进件服装． 3．（2024六年级上·全国·专题练习）如图，点，在数轴上分别位于原点的左右两边，点表示的数是，点表示的数是，且，满足．点、、是线段的四等分点，分别以线段、、为边向数轴的上方作正方形，正方形，正方形． (1)直接写出，的值： ， ； (2)如图1，若动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为，求线段时的值； (3)如图2，若动点从点出发以每秒4个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点到达点时立即以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点到达点的同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点首次到达点后立即以每秒3个单位长度的速度在点和点之间往返运动，过动点作直线垂直，在运动过程中，直线与线段的交点为．当点第二次到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为，直接写出线段时的值． 【答案】(1)，8 (2)或 (3)，，或6 【分析】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，弄清点运动的方向、速度和时间是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得解； （2）根据相遇前和相遇后，列方程求解即可； （3）根据点到达点前和返回后，点在的左右两侧，根据找出等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，且，， ，， ，， 故答案为：，8； （2）解：，． 表示的数是，表示的数是8， ， 点、、是线段的四等分点， ， 又四边形，，是正方形， ， 若，相遇前，则有，， 解得，； 若，相遇后，则有， 解得，， 综上，线段时，或， （3）解：点从到运动时间为（秒， 点从点运动到点所需时间为：（秒，从点到点所需时间为（秒， 则点第二次到达点所需时间为（秒， 故点运动总时间为（秒， ①当点向运动时，点在左侧时，则有． 解得，； ②当点向运动时，点在右侧时，则有， 解得，； ③当点从向运动时，点在右侧时，则有， 解得，， ④当点从向运动时，点在左侧时，则有， 解得，， 综上，线段时的值为，，或6． 1．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本计，其中一件盈利，另一件亏本，在这次买卖中他（   ） A．不赚不赔 B．无法比较 C．赔18元 D．赚18元 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设盈利的上衣的进价为x元，亏损的上衣的进价为y元，根据利润销售收入成本，即可得出一元一次方程，解之即可得出两件上衣的成本，再利用总利润两件上衣的总售价两件上衣的总成本即可求出结论． 【详解】解：设在这次买卖中盈利的上衣的原价是x元，根据题意得 ， 解得：， 设亏本的上衣的原价为y元， 则可列方程：， 解得：， ∵（元）， ∴两件相比则一共赔了18元． 故选：C． 2．（23-24六年级上·上海嘉定·期中）某校组织师生春游，如果单独租用45座的客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座的客车，可少租一辆，且余30个空座位，设全校师生共有x人，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设全校师生共有x人，则需租用45座的客车辆，根据“如果单独租用60座的客车，可少租一辆，且余30个空座位”即可列出方程． 【详解】解：设全校师生共有x人， 则所列方程为：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程． 3．（23-24六年级上·上海青浦·期末）如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5 米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（   ） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设经过了x秒，巧巧追上淘淘，根据他们的路程差为米列方程求解即可． 【详解】解：设经过了x秒，巧巧追上淘淘 根据题意得， 解得， 此时巧巧走了米，，则巧巧在D处； 淘淘走了米，，则淘淘也在D处， 故经过60秒淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处， 故选：B． 4．（24-25六年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．若设点运动的时间是，若的面积等于．那么值是（　　） A． B． C．或 D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积公式的运用以及一元一次方程的应用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键，同时要注意分类讨论．分当点在上时，当点在上时，两种情况讨论，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】解：，点是的中点， ， ①如图1，当点在上，， ，的面积等于， ， 解得：； ②如图2，当点在上时，， ， ， 解得：t； 综上所述，值是或， 故选：C． 5．（23-24六年级上·四川成都·开学考试）小红同学在某月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为45，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（    ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意可列方程求解． 考查一元一次方程的应用，了解日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1是解题的关键． 【详解】A、设最小的数是x， ，解得，故本选项不合题意； B、设最小的数是x.，，解得，故本选项符合题意； C、设最小的数是x，，解得，故本选项不合题意； D、设最小的数是x，，解得：，故本选项不合题意． 故选B． 6．（23-24六年级上·湖北荆门·单元测试）在一次猜谜比赛上，每人答30道题，答对1题得20分，答错一题扣10分，小聪共得了120分，则小聪答对了 道题，答错了 道题． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题题，列出方程求解即可，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程． 【详解】解：设小聪答对了道题，则答错了道题，依题意得： ， 解得：， ∴， ∴小聪答对了道题，则答错了道题， 故答案为：，． 7．（23-24六年级上·四川宜宾·阶段练习）张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的，王用了自己钱数的，李用了自己钱数的，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有( )元． 【答案】28 【分析】本题考查了方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设一支钢笔的价格为元，根据题意建立方程，解方程求出的值，由此即可得． 【详解】解：设一支钢笔的价格为元， 则， 解得， 所以张自己的钱数为（元），李自己的钱数为（元）， 所以张和李剩下的钱共有（元）， 故答案为：28． 8．（23-24六年级上·上海·期末）某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙两人都急于上楼办事，在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了60级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登楼级数是甲的2倍），他登了70级后到达楼上，那么，由楼下到楼上自动扶梯级数为 ． 【答案】 【分析】题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 可以设自动扶梯在单位时间上升级，单位时间内甲登楼级数为阶，总扶梯阶数不变即可得方程，解方程可得，代入其中一个代数式即可得扶梯阶数． 【详解】解：设电梯上行在单位时间内上升阶，单位时间内甲登楼级数为阶，列方程得： ， 解得：， ∴楼下到楼上自动扶梯级数为阶， 故答案为：． 9．（24-25六年级上·河南南阳·开学考试）用小棒按照下图方式摆图形． （1）摆1个六边形需要6根小棒，摆3个六边形需要( )根小棒，摆个六边形，需要( )根小棒． （2）有101根小棒，可以摆( )个这样的六边形． 【答案】 16 / 20 【分析】本题考查找规律，一元一次方程的应用，根据图形找出规律是解题的关键． （1）根据题干图形得到需要的小棒规律，即可解题； （2）根据（1）中规律列出一元一次方程求解，即可解题． 【详解】解：（1）根据图形可知，摆1个六边形，需要根小棒， 摆2个六边形，需要根小棒， 摆3个六边形，需要根小棒， 依次类推， 摆个六边形，需要根小棒， 故答案为：，． （2）由题知，， 解得， 故答案为：20． 10．（23-24六年级上·上海虹口·期中）如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，则阴影部分的面积为 ． 【答案】99 【分析】先设小长方形的宽为x、则长为，可得，解得小长方形的长、宽，再根据阴影部分的面积等于大的长方形的面积减去6个小长方形的面积，可解阴影面积． 【详解】解：设小长方形的宽为x、则长为， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：99． 【点睛】本题考查了一元一次方程组的实际应用，利用了求面积中一种常用的方法割补法，面积总量不变，减掉较容易求出的图形面积，可得解． 11．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）小丽看一本书，第一天看了全书的再加16页，第二天读了全书的还多2页，这两天读的书恰是这本书的，这本书有多少页？ 【答案】432 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．熟练掌握书总页数与每天看书页数和看书天数的关系，列方程，是解决问题的关键． 设这本书设有x页,第一天看的页数为 ，第二天看的页数为 ，根据两天看的总页数列方程即可解答． 【详解】设这本书共有x页， 依题意可得； ， 解得：． 答：这本书共有页． 12．（2024六年级上·上海·专题练习）某车间有工人26人，生产甲、乙两种零件，每人每天可生产甲种零件15个，或生产乙种零件10个，某种仪器每套需甲种零件2个，乙种零件3个．如何安排劳动力，使每天生产的零件恰好配套？ 【答案】应分配8人生产甲种零件，18人生产乙种零件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找到关键描述语，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．设应分配人生产甲种零件，人生产乙种零件，根据每人每天平均能生产甲种零件15个或乙种零件10个，每2个甲种零件与3个乙种零件配成一套，列方程求解． 【详解】解：设应分配人生产甲种零件，人生产乙种零件， 则人生产甲种零件为，人生产乙种零件为个， 根据仪器每套需甲种零件2个，乙种零件3个， 则， 解得，， 答：应分配8人生产甲种零件，18人生产乙种零件． 13．（23-24六年级上·广东湛江·期末）你对生活中常见的月历了解吗？月历中存在许多数字奥秘，你想知道吗？下表是23-24年3月的月历． (1)它的横行、竖列上相邻的两数之间有什么关系？ (2)如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72，你能知道是哪几天吗？ 【答案】(1)横行上相邻的两个数之差为1，竖列上相邻的两数之差为7 (2)这三天分别是17号、24号、31号 【分析】本题考查数字类规律探究，一元一次方程的应用： （1）直接观察，即可得出结果； （2）设一竖列上连续三个数的中间的一个数为x，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：月历中，横行上相邻的两个数之差为1，竖列上相邻的两数之差为7． （2）设一竖列上连续三个数的中间的一个数为x，则上面的一个数为，下面的一个数为． 依题意得，， 解得： 所以； 答：这三天分别是17号、24号、31号． 14．（24-25六年级上·上海宝山·期中）2015年上海出租车收费标准作了新的调整，起步价调整为14元（0到3公里）；超过3公里并且不超过15公里时，超出的部分每公里2.5元；超过15公里时，超出的部分每公里3.6元． (1)小丽打车去外婆家，如果路程是9公里，那么车费是_________元；如果路程是16公里，那么车费是___________元． (2)小丽打车去外婆家，行程公里，（），那么出租车的费用是多少元？（用含的代数式表示）； (3)如果打车的费用为54.8元，那么小丽去外婆家的路程是多少公里？ 【答案】(1)29，47.6 (2) (3)18 【分析】本题考查了利用一元一次方程解决实际问题、列代数式等知识； （1）利用支付的车费起步价超过3公里并且不超过15公里的费用超过15公里的费用，代入数据计算即可； （2）利用支付的车费起步价超过3公里并且不超过15公里的费用，列出代数式即可； （3）根据打车的费用为54.8元，建立方程求得答案即可． 【详解】（1）解：路程是9公里，那么车费是：（元）， 路程是16公里，那么车费是：（元）， 故答案为：29，47.6； （2）解：∵， ∴出租车的费用（元）， 答：出租车的费用是元； （3）解：设小丽去外婆家的路程是x公里， ∵当，打车的费用， ∴，则，解得， 答：小丽去外婆家的路程是18公里． 15．（23-24六年级上·上海·期末）下图显示的是某个城市的交通系统中的一个局部，你会看到3条铁路线，你目前所在的车站位置M（起点）及你要前住的车站N（终点）．已知列车在两个相邻车站间行驶时间相同；在A、B、C、D四个交汇处．若需转乘，从一条铁路转乘到另一条铁路的列车，所用时间相同． 注：表示铁路线上的车站，表示铁路交汇处，你可以在这里转站换乘其他路线 从图中可以看出从起点到快点N有三条路线： 路线一：M→A→B→C→N 路线二：M→A→B→D→N 路线三：M→A→E→D→N 已知走路线一和路线二所用的时间分别为61分钟和57分钟，请你求出走路线三所需要的时间． 【答案】分 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设两个相邻车站间行驶时间为分，根据从一条铁路转乘到另一条铁路的列车所用时间相同列方程求出的值，然后计算即可解题． 【详解】解：设两个相邻车站间行驶时间为分，列方程得： ， 解得：， ∴从一条铁路转乘到另一条铁路的列车所用时间为分， ∴走路线三所需要的时间为分， 答：走路线三所需要的时间为分． 学科网（北京）股份有限公司 $$