5.3.2 函数的极值与最大（小）值（一）课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2函数的极值与最大(小)值(一) 新课程标准解读 核心素养 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直 观地理解函数的极值与导数的关系. 1.数学抽象：函数极值的概念. 2.掌握函数极值的判定及求法. 2.数学运算：函数极值的求解. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件. 学习目标 复习回顾 1.函数f(x)的单调性与导函数f(x)的正负之间的关系： 在某个区间(a,b)上，如果f(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增； 在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0 ,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. 2.利用导数研究函数y=f(x)的单调性的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f(x); (3)求方程f(x)=0 的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格； (5)判断f'(x)在各区间上的正负，得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 探究新知 我们先来研究前面学习过的高台跳水问题 h(t)=-4.9t₂+6.5t+10.观察下图，我们发现， 当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大. 探究1: 1、函 数h(t)在 t=a 处的导数是多少? h 2、t=a 附近的函数图象有什么特点? 3、t=a 附近的导数的正负有什么变 化规律? 0 探究新知 探究1:函 数h(t)在此点处的导数是多少?此点附近的函数图象有什么特 当t>a 时，函数h(t)单调递减，h?<0. 在 t=a 附近，函数值先增后减. h? 先正后负，且h? 连续变化，于是有h? =0. 单调递增 h'(t)>0 可以看出，h?=0; 在t=a的附近， 当t<a 时，函数h(t)单调递增，h?>0; 点?相应地，导数的正负有什么变化规律? 单调递减 h'(t)<0 放大t=a附近的函数 h(t)的图象 探究新知 探究2 对于一般的函数y=f(x), 是否具有同样的性质? 追问1:如图，函数y=f(x)在a,b两点的函数值与这些点附近 的函数值有什么关系? 函数f(x)在x=b 的函数值比它附 近的函数值都大. 探究新知 探究2 对于一般的函数y=f(x), 是否具有同样的性质? 追问2: y=f(x)在a,b 处的导数值是多少? f'(b)=0 探究新知 探究2 对于一般的函数y=f(x), 是否具有同样的性质? y=f(x) C 0 b d e X 追 问 3 :在a,b附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律? 在x=b附近 左侧f'(x)>0 , 右侧f (x)<0 在x=a 附 近 左侧f (x)<0 , 右侧f '(x)>0 y Q 概念形成 极值点与极值的定义： 我们把a 叫做函数y=f(x)的极小值点， b叫做函数y=f(x)的极大值点， 极小值点、极大值点统称为极值点， 极小值和极大值统称为极值. f(a) 叫做函数y=f(x)的极小值； f(b) 叫做函数y=f(x)的极大值； 极值点不是点 函数的极值不唯一 山峰 山谷 课堂练习 1.函数y=f(x)的图象如图所示，试找出函数f(x)的极值点，并指出哪些是 2.若导函数y=f'(x)的图象如图所示，试找出函数f(x)的极值点，并指出哪 些是极大值点，哪些是极小值点? f(x) 的极大值点是x₂,极小值点是x4. 极大值点，哪些是极小值点. x1,x5是函数y=f(x)的极大值点， xo,X3,x6是函数y=f(x)的极小值点. 不一定，极值是函数的局部性质 极值点xo左右两侧导数异号 极大值一定大于极小值吗? 左正右负为极大，左负右正为极小 左增右减为极大，左减右增为极小 xo左侧 X0 xo右侧 (x)=0 f(x)<0 增 极大值 减 X xo左侧 X0 xo右侧 x) (x)<0 f'(x)=0 f?(x)>0 f(x) 减 极小值 增 判断f(xo)是极大值或是极小值的方法： 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表所示. X (一0,-2) -2 (一2,2) 2 (2,+o) f(x)图 f(x) 十 0 0 十 f(x) 单调递增 28 单 调 递 减 4单调递增 3 因此，当x=-2时，f(x)有极大值，并且极大值为 28 例1求函 的极值。 定义域 求导 列表 解 ：f(x)的定义域为R f'(x)=X2-4=(x+2)(x-2). 令f'(x)=0, 解得x=-2, 或x=2. 3 当x=2时，f(x)有极小值，并且极小4值为- 典例分析 象如下图所示. 求根 判断 3 归纳方法 求可导函数f(x)极值或极值点的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f(x); (3)求方程f,(x)=0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格； (5)判断，检查f(x)在方程根左右的符号： 如果左正右负(左增右减), 那么f(x) 在这个根处取得极大值，这个根为极大值点； 如果左负右正(左减右增), 那么f(x) 在这个根处取得极小值，这个根为极小值点； X0 变式练习 变式：求下列函数的极值： (1)f(x)=6x2—x-2; (2)f(x)=x3-27x ,(x>0); (3)f(x)=6+12x-x3,x∈[-2,2]; 1 12 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表所示. X (-00,)1 12 1 12 (,+o) 12 f'(x) 0 十 f(x) 单调递减 4 4 单 调递增 无极大值 变式练习 变式：求下列函数的极值： (1)f(x)=6x2—x-2; (2)f(x)=x3-27x ,(x>0); (3)f(x)=6+12x-x3,x∈ [-2,2]; 解 ：(2)f'(x)=3x₂-27, 令 f'(x)=0, 解得x=±3. 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表所示. x (0,3) 3 (3,+) f(x) 一 0 十 f(x) 单调递减 -54 单调递增 f(x) 极小值= f(3)=-5 4, 无 极 大 值 变式练习 变式：求下列函数的极值： (1)f(x)=6x2—x-2; (2)f(x)=x3-27x ,(x>0); (3)f(x)=6+12x-x3,x∈[-2,2]; 解 ：(3)f'(x)=12-3x₂, 令f'(x)=0,解得x=±2. 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表所示. X -2 (一2,2) 2 f(x) 0 十 0 f(x) -10 单调 22 递增 注 意 ：极值点出现在区间的内部， 端点不能是极值点. ∴f(x) 无极值 x (一0,-3) -3 (-3,-1) -1 ( 一 1 , + ) f(x) 十 0 — 0 士 f(x) 单调递增 单调递减0 单调递增 检验，当 时，f'(x)=3x₂+12x+9=3(x+1)(x+3) 令f'(x)=0, 得x=-1或x=-3 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表所示. x₂ +nx+m2 在x=— 1 处取得极值0,则m+n=? m时，1 典例分析 例2已知函数f(x)=x3+3m 解：f'(x)=3x2+6mx+n 2 f(x) 单调无极值，不符合题意，舍去 在x=-1处取得极小值0, 符合题意，m+n=11 单调无极值， 极值不单调 变式练习 变式：设函数f(x)=ax3—2x2+x+c(a≥0). (1)当a=1, 且函数图象过点(0,1)时，求函数f(x)的极小值； (2)若f(x) 在(一0,十o) 上无极值点，求a的取值范围. 解：(1)由a=1,得f(x)=x₃-2x₂+x+c X ? (一0,) ? ? ? ? (,1) 1 (1,+o) f'(x) 十 0 0 十 f(x) 单调递增 单调递减 1 单调递增 因为f(0)=1,得c=1 所以f(x)=x3-2x2+x+1 f'(x)=3x2-4x+1=(x-1)(3x-1) 令f'(x)=0,得x₁=1或x₂=1 3 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表所示f(x)极小值=f1)=1. 变式练习 变式：设函数f(x)=ax3—2x2+x+c(a≥0). (1)当a=1, 且函数图象过点(0,1)时，求函数f(x)的极小值； (2)若f(x)在(一0,十o)上无极值点，求a的取值范围. 当a=0 时，f'(x)=-4x+1, 显然不成立，舍去 当a>0 时，即△=(-4)²-4×3a≤0 得 故a得取值范围 解：2)f(x)=ax -2x²+x+c f'(x)=3ax2-4x+1 f(x) 在R上无极值点， →Vx∈R,f'(x)≥0或Vx∈R,f'(x)≤0 (2)求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题： 一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在 定义域内，需要舍去； 二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是 极值点，否则不是极值点. 课堂小结 (1)求函数极值的步骤 求导确定 判断xo 左右两侧单调性 确定定义域 列表分析单调性 解方 得极值 课后练习 1.求函数 的极值. 2.已知函数f(x)=x3 +bx2 +cx+2 (1)若f(x) 在x=1 处 有 极 值 - 1 , 求b,c 的值； (2)在(1)的条件下，讨论f(x)=m 根的情况； 谢谢! $$