2.5.2 圆与圆的位置关系 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

新课引入 日食是一种天文现象，在 民间称此现象为天狗食日. 日 食只在月球与太阳呈现重合 的状态时发生. 日食分为日偏食、日全食、 日环食、全环食。 我们将月亮与太阳抽象为 圆，观察到的这些圆在变化 的过程中位置关系是怎样的? 2 直线与圆有几种位置关系?我们可以 怎样判断直线与圆的位置关系? 没有公共点 3 唯一公共 与 直线l是OA 的 切线 点C是切点 两个公共点 直线l 是OA的 割线 直线l与OA 相离 d >r 直线l 与OA 相交 <r 直线l与OA 相切 d=r C 叫做两圆外 离 叫做两圆内 含 叫做两圆外 切。 叫做两圆内 切。 U 学习新知 我们若把“直线”换成“圆”,两圆的位置关系会是怎样呢?需用那些量可以表示它们的位 置关系呢? 除了这个切点以外， 每一个圆上的点都 在另一个圆的外部， 除了这个点以外， 一个圆上一的所 有点在另一个圆 的内 部， 每一个圆上的点都在 另一个圆的外 部。 并且其中一个圆上 的所有点都在另一 个圆的内 部， 相离 特 点： 两圆没有公共点， 相切 两圆有唯一个公共点， 怎样从两圆的圆心距与两圆半径的数量关系来判断两圆的位 置关系? 特点：两圆有两个公共点 叫做两圆相交 观察与思考 两圆相交 两圆外切 两圆内含 两圆内切 两圆外离 学习新知 相 交 5 两圆内切 0₁0₂=Ir₁-r₂I 0≤0₁0₂<|r₁-r₂I 0₁0₂=r₁+r₂ Ir₁-r₂|<0₁0₂<r₁+r₂ 1个 0个 两圆相交 两圆内含 两圆外切 两圆外离 学习新知 0₁0₂>r₁+r₂ 2个 2条 1个 0个 3条 6 U 0条 4条 1 条 公切 线数 交点 个数 1.将两圆的方程化为标准方程； 2.求两圆的圆心坐标和半径R、r; 3.求两圆的圆心距d; 4.比较d与R-r,R+r 的大小关系. 已知两圆C₁ :x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0 和 C₂ :x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0 , 如何根据 圆的方程判断圆与圆的位置关系? 7 思考能否根据两个圆的公共点个数判断两圆的位置关系? 利用两个圆的方程组成方程组的实数解的个数： 设方程 的解的个数为n 两个圆相离 两个圆相切 两个圆相交 △<0 △=0 △>0 n=0 n=1 n=2 8 C₂ 的位置关系。 分 析 ：思路1:圆C₁与圆C₂的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程 所组成的方程组有几组实数解确定； 解：将两圆方程联 两式相减得8x-8y-3=0 ③ 代入第二个圆的方程有1:28x²+80x-183=0 其判别式为△=(80)²-4×128×(-183)>0 所以有两个解，即：橱相交. 画出圆C₁ 与圆C₂ 以及方程③表示的直线，你发现了什么? 你能说明为什么吗? U 已知圆C₁ :x²+y²-6x+8y=0和圆C₂ :x²+y²+2x-3=0,试判断圆C₁ 与圆 典型例题 9 将C1的方程化成标准方程，得(x-3)²+(y+4)²=25 圆心坐标(3,-4),半径为5。 将C2 的方程化成标准方程，得(x+1)²+y²=4 圆心坐标(-1,0),半径为2。 圆C1 与C2 的连心线的长为：√ (3+1)²+(-4-0)²=4√2 圆C1 与圆C2 的半径长之和为：r1+r2=5+2=7 圆C1 与圆C2 的半径长之差为：r1-r2=5-2=3 典型例题 已知圆C₁ :x²+y²-6x+8y=0和圆C₂ :x²+y²+2x-3=0,试判断圆C ₁ 与圆 C₂的位置关系。 思路2:借助图形，可以依据连心线的长与两半径的和r1+r2或两半径的差的绝对值|r1-r2|的大小关系， 判断两圆的位置关系. 思考：在解法1中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的△=0,它说明什么?你能据此确定两圆是内切还 是外切吗?如何判断两圆是内切还是外切呢?当△<0时，两圆是什么位置关系? 因 为 3 < 4 √ 2 < 7 所以两圆相交。 方法二 U 10 巩固练习 1 .判断下列两圆的位置关系： ①(x+2)²+(y-2)²=1与(x-2)²+(y-5)²=16.②x²+y²+6x-7=0与x²+y²+6y-27=0. ②将两圆的方程化为标准方程，得 (x+3)²+y²=16,x²+(y+3)²=36, 故两圆的半径分别为r₁=4和r₂=6. 两圆的圆心距 因为|r₁-r₂ |<d<r₁+r2,所以两圆相交. 2.如图OA、OB、OC 两两外切，AB=5,BC=6,AC=7。 求 ：OA、OB、OC 的半径 解：①根据题意得，两圆的半径分别 为r₁=1和r₂=4,两圆的圆心距 因为d=r₁+r₂,所以两圆外切. 11 U 巩固练习 3.已知圆C₁ :x²+y²-2ax-2y+a²-15=0(a>0),圆C₂ :x²+y2-4ax-2y+4a²=0(a>0). 试求a为何值时，两圆C₁,C₂的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含? 思路分析：求出圆心距，与两半径的和或差比较求出a的值. 解：圆C₁,C₂的方程，经配方后可得C₁:(x-a)²+(y-1)²=16,C₂:(x-2a)²+(y-1)²=1, 圆 心C₁ (a,1),C₂ (2a,1),半径r₁=4,r₂=1. (1)当|C₁C₂ I=r₁+r₂=5,即a=5时，两圆外切；当|C₁C₂ I=r₁-r₂=3,即a=3时，两圆内切。 (2)当3<|C₁C₂I<5,即3<a<5时，两圆相交. (3)当|C₁C₂I>5,即a>5时，两圆外离. (4)当|C₁C₂I<3,即O<a<3时，两圆内含. 12 U 典型例题 例2.已知圆O的直径AB=4, 动点M与点A的距离是它与点B的距离的√2倍. 试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系. 分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M 的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系。 解：如图，以线段AB的中点O为原点，AB 所在直线为x轴，线段AB的 垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系. 由AB=4,得A(-2,0),B(2,0).设点M 的坐标为(x,y),由 |MA|=|MB|, 得 √(x+2)²+y²=√2×√(x—2)²+y², 化简，得x²-12x+y²+4=0, 即(x-6)²+y²=32.所以点M 的轨迹是以P(6,0) 为圆心，半径为4√2的一个圆。 因为两圆的圆心距为|PO|=6, 两圆的半径分别为 r₁=2,r₂=4 √2, 又 r₂—r₁<|PO|<r₂+r₁ , 所以点M 的轨迹与圆O 相交. U 13 典型例题 例3已知 圆C₁ :x²+y²+6x-4=0 和圆C₂ :x²+y²+6y-28=0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. 解：(1)设两圆交点为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则A,B两点坐标是方程组 的解 ①-②,得x-y+4=0.:A,B 两点坐标都满足此方程， .x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程. 又圆C₁ 的圆心(-3,0),r= √ 13,C₁到直线AB 的距离为 即两圆的公共弦长为5 √2. 14 U 典型例题 例3已知圆C₁ :x²+y²+6x-4=0和圆C₂ :x²+y²+6y-28=0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. (2)(方法1)解方程 得两圆的交点A(-1,3),B(-6,-2). 设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线x-y-4=0上，故b=a-4. 则 解得 故圆心为 ,半径为 故圆的方程为 即x²+y²-x+7y-32=0. (方法2)设所求圆的方程为x²+y²+6x-4+λ(x²+y²+6y-28)=0(λ≠-1), 其圆心为 ,代入x-y-4=0,解得λ=-7. 故所求圆的方程为x²+y²-x+7y-32=0. 15 U 巩固练习 1.两圆内切，其中一个圆的半径为5,两圆的圆心距为2,则 另一个圆的半径为 . 3 或 7 2.已知⊙0₁、⊙0₂ 的半径为r₁、r₂, 如果r₁= 5, r₂=3, 且O0₁ 、O0₂ 相切，那么圆心距d= 8 或 2. 16 代数解析法 联立方程组 消去二次项 消元得一元二次方程 用△判断两圆位置 关系 几何性质法 化标准方程 圆心距d 计算r₁+r₂ Ir₁-r₂I 比较d和r,r₂ 的大小 ,下结论 判断两圆的位置关系的两种方法： 17 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系； (2)代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数 问题 . 相交弦及圆系方程问题的解决 1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必 须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. 2.求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两 圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 3.已知圆C₁ :x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0 与圆C₂ :x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0 相交，则过两圆交点的圆的方程 可设为x²+y²+D₁x+E₁y+F₁+λ(x²+y²+D₂x+E₂y+F₂)=0(λ≠-1). 18 U $$