3.1.1 椭圆及其标准方程(2) 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程(2) 课题引入 上节课我们认识了椭圆的定义及推导出了它的标准方程. 椭圆的标准方程：(这两种坐标系下的方程形式，是最简的) MF|+|MF₂|=2a(2a>2c>0) b²=a²-c² (1) 焦点在x轴上，中心在原点： (2)焦点在y轴上，中心在原点： 其中F₁(-c,0),F₂(c,0) 其中F₁(0,-c),F₂(0,c) 2 U 椭圆的定义 图形 标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系 焦点位置的 判断 看分母的大小，焦点在分母 大的那一项对应的坐标轴上. 知识概括 3 l 变1:已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆， 则m的取值范围 变2:方程 ,分别求方程满足下列条件的m 的取值范围： ①表示一个圆；②表示一个椭圆； ③表示焦点在x轴上的椭圆。 , 已知方程+y²=1 表示焦点在x轴 上的椭圆，则m的取值范围是(0,4) 复习练习 练习：如图，F₁,F₂ 分别为椭圆 的左、右焦点， 点P 在椭圆上，△POF₂是面积为√3的正三角形， 则b²的值是 例题讲评 例1、过椭圆4x²+y² =1 的一个焦点F 的直线与椭 圆交于A、B两点， 求：△ABF₂的周长。 4a=4 5 例题讲评 例2(1)已知动点P 到点F₁(0,-2),F₂(0,2) 的距离之和为12,求 动点P 的轨迹方程. 解：(1)由椭圆定义可知，动点P 的轨迹是椭圆，且焦点是 F₁(0,-2), F₂(0,2), ∴c=2. ∵|PF₁|+|PF₂|=12,∴2a=12,∴a=6, ∴b²=a²-c²=36-4=32 ∴所求的轨迹方程为 6 例题讲评 例2(2)求经过点(2,3)且与椭圆9x²+4y²=36 有共同的焦点的 椭圆的标准方程。 解：∵椭圆9x²+4y²=36 的焦点为(0,± √ 5), 则可设所求椭圆方程为： 将x=2,y =3代入上式得： 解得：m=10 或m=-2 (舍去) ∴所求椭圆的方程为： 注：①这样设不失为一种方法. ②可不可以直接求出a. U 7 例题讲评 例3、如图，在圆x²+y²=4上任取一点P作x轴的垂线段PD,D 为垂足。当点 P在圆上运动时，线段PD 的 中 点M 的轨迹是什么?为什么? 分 析 ：点P 在圆x²+y²=4上运动，点P的运动引起点M运动，我们可以由M为线段PD的中 点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所 满足的方程. 解：设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(xo,y₀),则点D的坐标为(x₀,0). 由点M是线段PD的 中 点 ， 因为点P(xo,yo)在圆x²+y²=4上，所以xo²+y₀²=4 ① 把x₀=x,yo=2y代入方程①,得x²+4y²=4,即 所以点M 的轨迹是椭圆. 相关点分析法：即利用中间变量求曲线方程. 8 U 相交于点M, 且它们的斜率之积是 求 点M的轨迹方程. 分析：设点M的坐标为(x,y),那么直线AM,BM的斜率就可用含 x,y的关系式分别表示，由直线AM,BM 的斜率之积是 ,可得 出x,y之间的关系式，进而得到点M 的轨迹方程. 解：设点M 的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(-5,0),点B的坐标是(5,0), 所以直线AM 的斜率 直线BM 的斜率 由已知，有 例题讲评 例4:如图，设点A 、B的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线AM,BM 化简，得点M 的轨迹方程 点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点的椭圆. 课本第109页练习第4题 9 这种求轨迹的方法——直译法 U 2 典型例题 已知圆B:(x+1)²+y²=16 及点A(1,0),C为圆B 上任一 点，求AC的垂直平分线与线段BC的交点P的轨迹方程. 分析条件发现： AP+BP =4 ∴点P的轨迹是以A、B为 焦点的椭圆.x² y²=1 4 3 这种求轨迹方程的方法称为定义法 . 10 巩固练习 已知B、C是两个定点，BC=6, 且 △ABC的周长等于 16,求顶点A的轨迹方程. 解：如图，以直线BC 为 x 轴，线段BC 的中点为原点，建立 平面直角坐标系，则B(-3,0),C(3,0). 设顶点A 的坐标为(x,y) ∵AB+AC+BC=16, ∴BA+CA=10. ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 又∵A、B、C 三点不共线，∴y≠0 . ∴所求的点的轨迹方程为 11 U 典型例题 已知定圆x²+y²-6x-55=0,动圆M 和已知圆内切 且过点P(-3,0), 求 圆 心M 的轨迹及其方程 . 解：已知圆化为：(x-3)²+y²=64, 圆心Q(3,0),r=8, 所 以P 在定圆 内.设动圆圆心为M(x,y), 则 |MP| 为半径. 又圆M 和圆Q 内切， |MQ|=8-|MP|, |MQ|+|MP|=8, 故M的轨迹是以P,Q 为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以 2a=8,b²=7, 故动圆圆心M 的轨迹方程是：x² 16 y =1 十 12 变式练习 1.已知定圆O₁ :x²+y²-6x-55=0,定 圆O₁ :x²+y²+6x+8=0,动 圆M和已知圆一个内切，一个外切，求圆心M的轨迹及其方程。 变式1:已知定圆O₁:x²+y²-6x-55=0,定圆O₁:x²+y²+6x—7=0, 动圆M和已知圆一个内切，一个外切，求圆心M的轨迹及其方程. 变式2:已知定圆O₁ :x²+y²-6x-55=0,定圆O₁ :x²+y²+6x+8=0, 动圆M和已知圆都内切，求圆心M的轨迹及其方程. 13 平面内到两个定点F、F₂ 的距离的和 等于常数(大于F₁F₂) 的点的轨迹 2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上 准 图 形 标 不同点 定 义 a、b、c的 关系 焦点位置的 判断 焦点坐标 F(-c,0) 、 F(c,0) F(0,-c) 、F₂(0,c) 相同点 程 方 15 求轨迹方程的方法有多种： 定义法、直译法、代入法、相关点坐标分析法等. 具体求轨迹方程时，我们既应严格按一般步骤去展 开过程，又应注意到思考方法的灵活性的尝试。 通过本课的学习我们还可以看到确定椭圆的几何 条件有多种，这些东西能让我们开拓眼见. 课本第115页习题3.1第10题 课堂小结 作业 16 $$