5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第1课时 函数的极值）课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2函数的极值与最大(小)值 1.函数的极值 复习回顾 1.函数单调性与导数的关系： 设函数y=f(x)在区间(a,b)内的导数为f(x). 如果f(x)>0, 则f(x) 在(a,b)内为单调递增； 如果f'(x)<0, 则f(x)在(a,b)内为单调递减； 如果f'(x)=0,则f(x)在(a,b)内为常数函数； 如果f(x)在(a,b)内为增函数， 则f'(x)≥0 在(a,b)内恒成立； 如果f(x)在(a,b)内为减函数， 则f'(x)≤0在(a,b)内恒成立. 2.判断函数y=f(x)单调性的一般步骤： ①求函数的定义域； ②求函数的导数f'(x); ③解不等式f'(x)>0得f(x)的单调递增区间； 解不等式f '(x) <0得f(x)的单调递减区间. 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的 正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0, 那么在这些点处函数有什么性质呢? 可以看出，h'(a)=0; 在t=a的附近， 当t<a时，函数h(t)单调递增，h'(t)>0; 当t>a时，函数h(t)单调递减，h'(t)<0. 即在t=a附近，函数值先增后减， 即当t在a的附近从小到大经过a时， h'(t)先正后负，且h '(t)连续变化， 于是有h'(a)=0. 放大t=a附近的图象，如图(2)所示. (2) 我们再来研究前面学习过的高台跳水问题.观察下图，我们发现当t=a时，高 台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少?此点附件 的函数图象有什么特点?相应地，导数的正负有什么变化规律? 对于一般的函数y=f(x), 是否具有同样的性质? (1) 以x=a,b 两点为例，可以发现，函数y=f(x) 在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他 点的函数值都小，f(a)=0; 而且在x=a附近左侧f'(x)<0,右 侧f'(x)>0. 类似地，函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b 附近其他点的函数值都大， f(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f(x)>0,右 侧f(x)<0. 探究 如图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e 等点的函数值与这些点附近的函数值有 什么关系? y=f(x)在这些点的导数值是多少?在这些点附近，y=f(x)的导数的正负 性有什么规律? 1.函数的极大值和极小值的概念： 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值； b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值(extremu m). y=f(x) a C 0 b d e X 在定义中，极值点是自变量的值，极值指的是对应的函数值. X X<X₁ X₁ X>X₁ f'(x) 0 十 f (x) 极小值 增 X X<X₂ X2 X>X f'(x) 十 0 f (x) 增 极大值 结论：极值点两侧，导数符号相异. 2.极值点两侧导数正负符号的规律： 概念提升 思考1:函数的极大值一定大于极小值吗?函数的极大值与极小值是否 有大小关系? 极大值 极小值 y=f(x) a X₁X₂ X₃ O x₄ X₅ x₆ h x 极大值与极小值没有必然的大小关系.一个函数在其定义域内可以有许多个 极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值. 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 思考2:若f(x₀)=0, 则 x₀是否为极值点? 例如：函数f(x)=x³,f(x)=3x² 当x=0时 ，f(0)=0 当x≠0时 ，f(x)>0 又因为函数f(x)=x³是增函数 所以0不是函数f(x)=x³ 的极值点. 结论： 若f(x₀)=0, 但 x₀不一定是极值点。 追问：f(x₀)=0 是函数在x=x,处取得极值的什么条件? 必要而不充分条件. 1.下图是导函数y=f(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是 极大值点，哪些是极小值点。 概念应用 C 设 y=f'(x) 的图象与x 轴的交点从左到右横坐标依次为 x₁,x₂,x₃,x4, 则f(x)在x =x₁,x=x₃ 处取得极大值， 在x=x₂,x=x4 处取得极小值。 A. 无极大值点，有四个极小值点 B. 有三个极大值点，两个极小值点 C. 有两个极大值点，两个极小值点 D. 有四个极大值点，无极小值点 2. 函数f(x) 的定义域为R, 导函数f'(x) 的图象如图所示，则函数f(x)() ^f'(x) 0 X Fo) 例 解 (x 中 2 )(x 一 2) . 典型例题 28 1.求函数y=f(x)的极值的一般方法： 解方程f'(x)=0.当f'(x₀)=0时 ： 如果在x₀附近的左侧f '(x)>0,右侧f(x)<0, 那么f(x₀)为极大值； 如果在x₀附近的左侧f(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x₀)为极小值； 归纳提升 2.总结：求可导函数f(x)的极值的步骤如下： (1)求函数定义域 (2)求导数f '(x) (3)求方程f '(x)=0的 根 (4)列表检查f '(x)在方程根左右的值的符号， 如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值； 如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值. (5)写结论 巩固练习 练习1.求函 的极值. 解：函数 的定义域为(0,+0),且 令f(x)=0 ,解得x=e. 当 x 变化时，f(x) 与 f(x)的变化情况 如下表： X (0,e) e (e,+0) f (x) 十 0 f(x) 单调递增 e 单调递减 因 此 ，x=e 是函数的极大值点，极大值为 ,没有极小值. 典型例题 例2.已知函数f(x)= x³+3ax²+bx+a² 在x=-1 时有极值0,求常数a,b 的 值 . 解 ：因为f(x) 在x=—1 时有极值0,且f(x)=3x²+6ax+b, 所 即 解 当a=1,b=3 时 ，f(x)=3x²+6x+3=3(x+1)²≥0, 所以f(x)在R 上为增函数，无极值，故舍去. 当a=2,b=9 时， f(x)=3x²+12x+9=3(x+1)(x+3), 当x∈( 一 0,— 3)时，f(x)>0,f(x) 为增函数； 当x∈(-3, 一 1)时，f(x)<0,f(x) 为减函数； 当x∈( 一 1,十o) 时 ，f(x)>0,f(x) 为增函数； 所以f(x) 在x= —1时取得极小值. 所以a=2,b=9. 已知函数的极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数的性质 时，应注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数 法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系 数法求解后必须验证根的合理性. 感悟提升 巩固练习 练习2.已知函数 f(x)=x³+ax²+bx+c 在 与 都取得极值. (1)求a,b 的值； (2)若 求函数 f(x)的单调区间和极值. 解(1)令f(x)=3x²+2ax+b=0. 由题设，知x=1, f(x)=0 的解. 由一元二次方程根与系数的关系，得 ,b=—2. ·· 9 X 1 (1,十 f(x) 十 0 0 十 f(x) (2)由(1),知 得c=1. 当x 变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： ∴函数f(x)的单调递增区间 (1, 十0), 单调递减区间 当 ,f(x) 有极大值，极大值为 当x=1 时 ，f(x)有极小值，极小值为 课堂小结 这节课，我们学习了什么?请你来说说. 1.极小值、极大值的概念 2.判断函数f(x)极值的方法 3.求可导函数f(x)极值的步骤 注意： (1)函数的极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的. (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点. (3)若f(x) 在[a,b] 内有极值，那么f (x)在[a,b] 内绝不是单调函数，即极值不单调，单 调无极值. (4)极大值与极小值没有必然的大小关系.一个函数在其定义域内可以有许多个极小值 和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图). 课外探究 讨论函数f(x)=ax³+bx²+cx+d(a>0)的极值情况。 $$