精品解析： 山东省日照市莒县2024-2025学年九年级上学期数学期中 试题

2024—2025学年度上学期九年级阶段素养测试 数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为的直径，点在上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 在中，，，，以点C为圆心，2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 5. 下列四个命题中，真命题是（ ） A. 相等的圆心角所对的两条弧相等 B. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C. 平分弦的直径一定垂直于这条弦 D. 在同圆中，相等的弦所对的弧相等 6. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆曲线的半径千米，则这段圆曲线的长为（　　） A. B. C. D. 7. 二次函数和一次函数（a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，△中，，，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③；④当时，方程一定有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题90分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______． 12. 如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是___________． 13. 如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则________． 14. 如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则四边形周长为______． 15. 某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）． 16. 如图，中，，，点D是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点E．若长为，则线段长的最小值为______． 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知二次函数． （1）写出此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你判断点是否在此二次函数的图象上； （3）若点，均在该抛物线上，则______（选填：“”“”或“”） 18. 某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆 120 米. （1）设垂直墙的一边为x米，则平行墙的一边为__________米. （2）要使花园面积最大，求此时x的值并求出其最大面积S. 19. 如图，已知是的直径，弦与半径平行． （1）求证：点D是的中点． （2）若，求阴影部分（弓形）的面积． 20. 如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为E，，，在的延长线上取一点F，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）求的半径． 21. 探究函数的图象与性质． 小娜根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小娜的探究过程，请补充完整： （1）下表是x与y的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m n 1 3 … 请直接写出： ______， ______； （2）如图，小娜在平面直角坐标系中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象： （3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质：______ （4）解决问题：结合画出的函数图象，若方程有三个不同的解，记为，，，且．请直接写出的取值范围． 22. 如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，． （1）若，求的度数： （2）求证：； （3）若，，求的长． 23. 如图①，已知抛物线：经过点，，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的关系式： （2）若动点P在直线下方的抛物线上，连接，当面积最大时，求出P点坐标； （3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围； （4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期九年级阶段素养测试 数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是， 故选：A． 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：图象的顶点坐标是， 故选：D． 3. 如图，为的直径，点在上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用三角形内角和定理求出的度数，再利用圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4. 在中，，，，以点C为圆心，2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理求得AB的长，再利用三角形的面积公式求得点C到AB的距离，进而判定圆与AB的位置关系. 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴点C到AB的距离=， 则该圆与AB的位置关系是相离. 故选C. 【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，勾股定理，三角形的面积公式等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 5. 下列四个命题中，真命题是（ ） A. 相等的圆心角所对的两条弧相等 B. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C. 平分弦的直径一定垂直于这条弦 D. 在同圆中，相等的弦所对的弧相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理等知识，利用圆的有关性质和定义进行逐一判断即可得到正确的答案． 【详解】解：A. 在同圆或等圆中相等的圆心角所对的两条弧相等，故原选项不符合题意； B. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故原选项符合题意； C. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原选项不符合题意； D. 在同圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原选项不符合题意； 故选：B． 6. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆曲线的半径千米，则这段圆曲线的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，切线的性质等知识，解题的关键是记住弧长公式．求出，再利用弧长公式求解． 【详解】解：∵，是切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长． 故选：C． 7. 二次函数和一次函数（a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数与一次函数的图象，分别根据选项中二次函数的开口方向判断a的正负，然后根据a的正负判断对称轴的位置以及一次函数图象经过的象限即可得出答案． 【详解】解：A：根据图象可得二次函数开口向上，则，此时一次函数的图象经过一三四象限，而图中是经过一次函数图象是经过一二四象限，故选项A不符合题意； B：根据图象可得二次函数开口向上，则，对称轴，对称轴在y轴的右边，故选项B不符合题意； C：根据图象可得二次函数开口向上，则，对称轴，对称轴在y轴的左边，图象符合要求，此时此时一次函数的图象经过一三四象限，图中所给符合要求，故选项C符合题意； D：根据图象可得二次函数开口向下，则，当时，一次函数的图象经过一二四象限，图中所给是经过一三四象限，故选项D不符合题意； 故选：C． 8. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于的不等式组即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，且顶点坐标为． ∵， ∴和时的函数值相等． ∵，当时，函数取得最大值， ∴， 又∵当时，函数取得最小值， ∴， ∴， 解得． 故选：C． 9. 如图，△中，，，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函数、扇形和三角形面积计算公式是解题的关键． 求出，根据三角函数求出；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 10. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③；④当时，方程一定有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是图象法求一元二次方程的近似值，抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴ ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2，3之间， ∴与x轴的另一个交点在，0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴当时，， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴．故③错误． ∵， ∴， ∴ ∴当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，方程一定有两个不相等的实数根． 如图， 故④正确， 综上，正确的结论有2个， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题90分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 12. 如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的应用，解题关键是运用数形结合的思想解决问题．由图像判断是对称轴，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图像即可求解． 【详解】解：由图像可知二次函数的对称轴是直线， ∵该函数图像与x轴一个交点坐标， 由函数的对称性可得，与x轴另一个交点是， ∴的解集为， 故答案为：． 13. 如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故答案为：10． 14. 如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则四边形周长为______． 【答案】14 【解析】 【分析】根据正方形的性质，得到，，推出均为圆O的切线，根据切线长定理，推出，推出正方形的边长为4，设设，则，，勾股定理求出的值，再根据周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵以正方形的边为直径作半圆O， ∴，，， ∴均为圆O的切线， ∵过点C作直线切半圆于点F，交边于点E， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∴四边形周长， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了正方形的性质、圆的切线判定、切线长定理、勾股定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均为圆O的切线是解题关键． 15. 某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）． 【答案】121 【解析】 【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值． 【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得： ， 解得， ∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为， 设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元， ， ∵1<0， ∴当时，w有最大值为121， 故答案为：121． 【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键． 16. 如图，中，，，点D是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点E．若长为，则线段长的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，取的中点T，连接，，．解直角三角形求出，，根据，可得结论． 【详解】解：如图，取的中点T，连接，，． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知二次函数． （1）写出此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你判断点是否在此二次函数的图象上； （3）若点，均在该抛物线上，则______（选填：“”“”或“”） 【答案】（1）抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为： （2）不在 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）将一般式化为顶点式，求解即可； （2）将代入函数解析式，求出值，进行判断即可； （3）根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为：； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， ∴点不在此二次函数的图象上； 【小问3详解】 ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴； 故答案为：； 18. 某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆 120 米. （1）设垂直墙的一边为x米，则平行墙的一边为__________米. （2）要使花园面积最大，求此时x的值并求出其最大面积S. 【答案】（1） （2）当时，最大面积S为1200平方米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）垂直墙的一边边长的3倍与平行墙的一边边长之和为120米，由此可列代数式； （2）列出S关于x的二次函数关系式，化为顶点式，即可求出最值． 【小问1详解】 解：设垂直墙的一边为x米，则平行墙的一边为米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意得： ， ∴当时，最大面积S为1200平方米． 19. 如图，已知是的直径，弦与半径平行． （1）求证：点D是的中点． （2）若，求阴影部分（弓形）的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D是的中点． （2） 【解析】 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，求弓形的面积： （1）连接，圆周角定理，得到，平行线的性质，得到，进而得到，得到即可； （2）利用扇形的面积减去的面积进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作，则：， ∴， ∴阴影部分的面积． 20. 如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为E，，，在的延长线上取一点F，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）设的半径为，得所以，由垂径定理得,在中由勾股定理可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是直径，是弦，且， ∴； 设的半径为，得 ∴， 在中，由勾股定理得，, ∴ 解得，， 即的半径为． 21. 探究函数的图象与性质． 小娜根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小娜的探究过程，请补充完整： （1）下表是x与y的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m n 1 3 … 请直接写出： ______， ______； （2）如图，小娜在平面直角坐标系中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象： （3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质：______ （4）解决问题：结合画出的函数图象，若方程有三个不同的解，记为，，，且．请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 画图如下： （3）当时，随的增大而增大（答案不唯一） （4） 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想，正确画出函数图象是解题关键． （1）求出和时的函数值，即可； （2）描点，连线画出图象即可； （3）直接根据图象，写出一条性质即可； （4）图象法进行求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由图象可知：当时，随的增大而增大； 【小问4详解】 有三个解为，，，且，则与图象有三个交点， 当时，， ∴当时，函数有最大值为， ∴当与图象有三个交点时，， ，且，， 令时， 解得 关于对称， ． 22. 如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，． （1）若，求的度数： （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）由（2）可知，然后由勾股定理依次求出，即可． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴，又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内心性质、三角形的外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 23. 如图①，已知抛物线：经过点，，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的关系式： （2）若动点P在直线下方的抛物线上，连接，当面积最大时，求出P点坐标； （3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围； （4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3） （4）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）将，的坐标代入解析式，利用待定系数法解答即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用的代数式表示出线段，再利用得到关于的二次函数解析式，利用二次函数的性质即可求得值，则结论可求； （3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与的交点坐标、与的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围； （4）由可知点的横坐标为2，设，抛物线的对称轴交轴于点，则，分四种情况：①当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的下方时，②当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的上方时，③当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的下方时，④当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的上方时，利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形分别进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵已知抛物线经过点，， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵，， ∴，． 过点作轴，交于点，如图， 设， ∵平分，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时， 的面积最大，此时， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点为， ∴抛物线L向上平移h个单位长度，新的抛物线的顶点坐标为：． 设直线交于点M，交于点N，则，如图2， ∵平分， ∴直线为一三象限的角平分线， ∴直线的解析式为：， ∴， ∵点F在内（包括的边界）， ∴， ∴； 【小问4详解】 存在，点的坐标为或或或，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵是抛物线的对称轴上的一点， ∴点的横坐标为2． 设，抛物线的对称轴交轴于点，则． ①当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的下方时，如图， 过点作轴于点，延长交抛物线的对称轴于点，则，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，则，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； ②当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的上方时，如图， 过点作轴于点，延长交抛物线的对称轴于点，则，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 同上可得， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； ③当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的下方时，如图， 过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为等腰直角三角形，则，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； ④当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的上方时，如图， 过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，则， ∴四边形为矩形， ∴，， 同上可得， ∴， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； 综上，存在，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数求最值，二次函数图象的平移，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $