精品解析：江苏省无锡市宜兴市2024-2025学年九年级上学期数学期中考试模拟卷一

2024年秋学期期中考试模拟试卷一 九年级数学试题 考试时间：120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程中，无实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 当用配方法解一元二次方程时，下列方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 若圆的半径是5，圆心的坐标是，点的坐标是，则点与圆O的位置关系是（　　） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 7. 下列四个命题中，真命题是（　　） A. 经过三点可以作一个圆 B. 三角形的外心到这个三角形的三边距离相等 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 等弧所对的圆心角相等 8. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于两点，连结，则的度数是（　　） A B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．则线段的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，点M、N是边上任意两点，将菱形沿翻折，点A恰巧落在对角线上的点E处，下列结论：①；②若，则；③若菱形边长为4，M是的中点，连结，则线段；④若，则，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 11. 在比例尺为地图上，相距的两地的实际距离为______． 12. 设，是方程的两个根，则______． 13. 有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元．则平均每次降价的百分率为______． 14. 古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则 _________．（结果保留根号） 15. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm. 则直尺的宽为______cm. 16. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m． 17. 如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为 ______________________． 18. 已知，均是边长为4的等边三角形，点D是边的中点． （Ⅰ）如图①，这两个等边三角形的高为________； （Ⅱ）如图②，直线相交于点M，当绕点D旋转时，线段长的最小值是________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列一元二次方程： （1） （2）（公式法） （3）（配方法）； （4） 20. 已知一元二次方程． （1）当其中一个根为时，求另一个根． （2）证明不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中． （1）外接圆的圆心坐标是　　； （2）外接圆的半径是　　； （3）已知与（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 ； （4）请在网格图中的空白处画一个格点，使，且相似比为． 22. 如图，和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 已知：如图，在中，，请利用没有刻度的直尺和圆规，按下列要求作图（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）． （1）在斜边边上找一点D，连接，使得； （2）过A作一射线分别交线段，线段于点P，点Q，且使得； （3）在（1）、（2）条件下，若，，求的长． 24. 我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． （1）求通道宽是多少米？ （2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 25. 如图，是的外接圆，是的直径，点是延长线上一点，连接，交于点，点在上，． （1）试判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，求的半径． 26. 如图，正方形的边长为，点P从A开始沿折线以的速度移动，点Q从D开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从A、D同时出发，当其中一点到达C时，另一点也随之停止运动．设运动时间为． （1）t为何值时，为直角三角形； （2）①设面积为S，写出S与t的函数关系式； ②t为何值时，面积为正方形面积的？ 27. 如图1，在矩形中，边长，其中分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为t秒． （1） ； （2）如图2，在运动过程中，连接，将沿折叠，得到，连接，当取最小值时，t为 ，此时，的值为 ； （3）如图3，在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于Q，当半圆O与的边有两个交点时，直接写出t的取值范围． 28. 对于平面直角坐标系中图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作．已知点． （1）求； （2）记函数的图象为图形G，若，直接写出k的取值范围； （3）的圆心为，半径为1．若，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋学期期中考试模拟试卷一 九年级数学试题 考试时间：120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A．不是整式方程，故错误． B．是一元一次方程，故错误； C．方程含有两个未知数，故错误； D．符合一元二次方程的定义，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解答的关键． 2. 下列一元二次方程中，无实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义； 分别求出一元二次方程根的判别式的值，再根据判别式的意义得出答案． 【详解】解：A.∵， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B.∵， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C.∵， ∴该一元二次方程无实数根，符合题意； D.∵， ∴该一元二次方程有两个相等的实数根，不符合题意； 故选：C． 3. 当用配方法解一元二次方程时，下列方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了用配方法解一元二次方程．利用配方法解答，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 即． 故选：D 4. 已知，下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】比例的性质，，则，由此性质对比例式变形即可． 【详解】解： 、由， 可得，故本选项正确，不符合题意； 、，可得，故本选项错误，符合题意； 、由， 可得，故本选项正确，不符合题意； 、由， 可得，故本选项正确，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查比例性质，熟练掌握比例的性质:内项积等于外项积，利用性质对比例式进行变形是解题的关键． 5. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为1，，， A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； B、因为三边分别为：2，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，，故两三角形相似； C、因为三边分别为：1，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似， 故选：B． 6. 若圆的半径是5，圆心的坐标是，点的坐标是，则点与圆O的位置关系是（　　） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，先根据勾股定理求出的长，再与的半径为5相比较即可． 【详解】解：∵P的坐标为， ∴． ∵的半径为5， ∴点P在上． 故选：B． 7. 下列四个命题中，真命题是（　　） A. 经过三点可以作一个圆 B. 三角形的外心到这个三角形的三边距离相等 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 等弧所对的圆心角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系及三角形外外心的知识，根据垂径定理、圆周角定理及确定圆的条件，结合各选项进行判断即可，解题的关键是正确理解定义、定理内容． 【详解】、不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题缺少条件，此选项说法错误，不是真命题，不符合题意； 、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，此选项说法错误，不是真命题，不符合题意； 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原命题缺少条件，此选项说法错误，不是真命题，不符合题意； 、等弧所对的圆心角相等，此选项说法正确，是真命题，符合题意； 故选：． 8. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于两点，连结，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理解决问题即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解决问题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型． 9. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．则线段的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是通过构造相似三角形将的长度进行转化． 由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过点和作，，垂足分别为，，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后根据勾股定理求出后可逐步推得． 【详解】解：由题意可得点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接， 分别过点和作，，垂足分别为，， ， ， ， ， 即， ， ， ， 当取得最大值时，取得最大值， 当、、三点共线，且点在上时，取得最大值， 中，， ， ． 故选：． 10. 如图，在菱形中，，点M、N是边上任意两点，将菱形沿翻折，点A恰巧落在对角线上的点E处，下列结论：①；②若，则；③若菱形边长为4，M是的中点，连结，则线段；④若，则，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据一线三等角基本模型可得可知，可知①正确；根据相似三角形的性质可得，再利用三角形内角和定理可知②正确；作交的延长线于点H，利用含30度角的直角三角形的性质得，再根据勾股定理可得的长，则③正确；设，则，设，则，利用相似三角形的性质可得，，再根据可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， 由折叠性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； 如图，作交的延长线于点H 在中，， 由①得： ∴， ∵M是的中点， ∴ ∴， ∴，故③正确； 设，则，设，则， ∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，根据相似三角形的性质是判断④的关键． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 11. 在比例尺为的地图上，相距的两地的实际距离为______． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查比例尺，比例尺图上距离与实际距离的比，由此即可计算． 【详解】解：． ∴两地A、B的实际距离为， 故答案为：75． 12. 设，是方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系，若一元二次方程有两个实数根，，则，．熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 13. 有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元．则平均每次降价的百分率为______． 【答案】10% 【解析】 【分析】本题主要考查求平均变化率的方法、解一元二次方程，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为：，解题的关键是熟记公式并应用． 设平均每次降价的百分率为，根据题意和公式即可列出方程，求解即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， 平均每次降价的百分率为10%． 故答案为：10%． 14. 古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则 _________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， 故答案为：． 15. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm. 则直尺的宽为______cm. 【答案】3 【解析】 【分析】过点O作OF⊥DE，垂足为F，连结OE，由垂径定理可得出EF的长，再由勾股定理即可得出OF的长. 【详解】解：过点O作OF⊥DE，垂足为F，连结OE， ∵DE＝8cm， ∴EF＝DE＝4cm， ∵OC＝5cm， ∴OE＝5cm， ∴OF＝cm． 故答案为3. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，解答此类题目先构造出直角三角形，再根据垂径定理及勾股定理进行解答． 16. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m． 【答案】5.5 【解析】 【详解】在△DEF和△DBC中，， ∴△DEF∽△DBC， ∴， 40cm=0.4m，20cm=0.2m， 即， 解得BC=4， ∵AC=1.5m， ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m 故答案为：5.5m 【点睛】考点：相似三角形 17. 如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为 ______________________． 【答案】6或或 【解析】 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．根据勾股定理得到，①当时，②当时，③当时，根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理即可得到结论． 【详解】解：， 是的直径， ， ， ①当时， ， ②当时， ③当时， ， 综上所述，若为等腰三角形，线段的长度为6或或， 故答案为：6或或． 18. 已知，均是边长为4的等边三角形，点D是边的中点． （Ⅰ）如图①，这两个等边三角形的高为________； （Ⅱ）如图②，直线相交于点M，当绕点D旋转时，线段长的最小值是________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、勾股定理，圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，得到点M的运动路线是解答的关键． （Ⅰ）可根据等边三角形的性质和勾股定理求解即可；（Ⅱ）如图①中，连接、、，根据题意可得，，，分别证明和，利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定与性质推导出，则点M在以为直径的圆上运动，进而得到当点M运动到时，最短，利用圆的基本知识求解即可． 【详解】解：（Ⅰ）如图①中，连接， ∵是边长为4的等边三角形，点D是边的中点， ∴，，， 在中， ∴ 故答案为：； （Ⅱ）如图①中，连接、、， 由题意，，，， ∴，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M在以为直径的圆上运动， 如图②中，当点M运动到时，最短， ∵，， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列一元二次方程： （1） （2）（公式法） （3）（配方法）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题关键． （1）先移项再直接开平方解方程，即可作答； （2）运用公式法进行解方程，即可作答； （3）利用配方法解方程，即可作答； （4）运用因式分解法解方程，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：，， ， ； 小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： 或 ． 20. 已知一元二次方程． （1）当其中一个根为时，求另一个根． （2）证明不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式与根的关系：对于一元二次方程，时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根． （1）将代入方程，求出a的值，再用因式分解法解一元二次方程即可； （2）证明根的判别式即可． 【小问1详解】 解：是方程的根， ，得； ， 方程为，即， ， 解得，， 另一个根为． 【小问2详解】 证明：， ， 不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中． （1）外接圆的圆心坐标是　　； （2）外接圆的半径是　　； （3）已知与（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 ； （4）请在网格图中的空白处画一个格点，使，且相似比为． 【答案】（1） （2） （3） （4）见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和三角形的外接圆的概念解答； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的外接圆的概念解答； （3）根据位似变换和位似中心的概念解答； （4）根据相似三角形的对应边的比相等，都等于相似比解答． 【小问1详解】 解：如图，根据网格的特点分别作的垂直平分线，交于点，连接，根据网格的特点可知； 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意得：， △ABC外接圆的半径是， 故答案为： 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，连接，交于点，即位似中心，根据网格的特点可知， 故答案为：； 【小问4详解】 解： ，且相似比为． 根据网格的特点作出，如图， 即为所求作的三角形． 【点睛】本题考查的是格点正方形、位似变换与位似中心与相似三角形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段互相平行，这两个图形是位似图形是解题的关键． 22. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定，即可； （2）根据相似三角形的判定和性质，即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 由（1）得，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 23. 已知：如图，在中，，请利用没有刻度的直尺和圆规，按下列要求作图（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）． （1）在斜边边上找一点D，连接，使得； （2）过A作一射线分别交线段，线段于点P，点Q，且使得； （3）在（1）、（2）条件下，若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作出斜边边上的高交于点D； （2）作的角平分线交于点P，交于点Q即可； （3）过点Q作于H，证明，利用面积法求解即可． 【小问1详解】 如图，点D即为所求作． ∵，，， ∴； 【小问2详解】 如图，射线即为所求作． 【小问3详解】 过点Q作于H， 由作图可知，平分， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的高，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． 24. 我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】（1）通道的宽是2米 （2）每个车位的月租金应上涨40元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系，正确列出方程． （1）设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的矩形，再根据喷漆面积列出方程求解即可； （2）设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位，再根据月租金列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是2米． 【小问2详解】 解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 25. 如图，是的外接圆，是的直径，点是延长线上一点，连接，交于点，点在上，． （1）试判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，根据等边对等角，结合等角的余角相等，得到，即可得出结果； （2）连接，先证明，得到，根据，设，勾股定理得到，进而得到，在，利用勾股定理求出的值，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：直线与相切， 证明：如图3，连接． ∵是的直径， ∴， ∵点是延长线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切． 小问2详解】 如图4，连接， ∵， ． ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴在中，，即， 解得：， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 26. 如图，正方形的边长为，点P从A开始沿折线以的速度移动，点Q从D开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从A、D同时出发，当其中一点到达C时，另一点也随之停止运动．设运动时间为． （1）t为何值时，为直角三角形； （2）①设面积为S，写出S与t的函数关系式； ②t为何值时，面积为正方形面积的？ 【答案】（1）或或 （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，列函数关系式和求函数值： （1）先证明点P和点Q同时到达点C，则当点P和点Q都在上运动时，不存在为直角三角形的情形，当时，此时满足，符合题意；当点P在上，点Q在上运动时，只存在和两种情况，据此讨论求解即可； （2）①当点P在上运动时，当时，当时，根据进行求解即可； 当点P在上运动，即时，根据进行求解即可；②先求出，进而得到当面积为正方形面积的时． 【小问1详解】 解：∵， ∴点P和点Q同时到达点C， ∴当点P和点Q都在上运动时，不存在为直角三角形的情形， 当时，此时满足，符合题意； 当点P在上，点Q在上运动时，只存在和两种情况， 由题意得，，则，， ∵四边形是正方形， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解； 当时，同理可证明， ∴，即， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解； 综上所述，或或； 【小问2详解】 解：①当点P在上运动时， 当时， 当时， ； 当点P在上运动，即时， ； 在中，当时，， 综上所述，； ②， 当面积为正方形面积的时，， 在中，当时，（舍去）， 在中，当时，； 综上所述，当时，面积为正方形面积的． 27. 如图1，在矩形中，边长，其中分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为t秒． （1） ； （2）如图2，在运动过程中，连接，将沿折叠，得到，连接，当取最小值时，t为 ，此时，的值为 ； （3）如图3，在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于Q，当半圆O与的边有两个交点时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）5 （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）先解一元二次方程，得到根据矩形的性质，得到，利用勾股定理即可求解； （2）由折叠的性质得到，即，，当点O在运动过程中，的长度和的长度是固定不变的，由此可以得到当点B、P、D三点共线时，的长度最短，即有最小值，最小值为，此时，再根据正弦的定义即可求解，此时，过点P作垂足为点，证明，利用相似三角形的性质求出，再利用勾股定理即可求的值； （3）根据题意，分为当半圆O与有2个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到t的取值范围． 【小问1详解】 解：，即， 解得：， 边长，其中分别是方程的两个根， ， 四边形是矩形， ， 在中，， 故答案为：5； 【小问2详解】 解：由折叠的性质得：， ，， 点O在运动过程中， 的长度和的长度是固定不变的，如图， ， 当点B、P、D三点共线时，的长度最短，即有最小值，最小值为， 如图，过点P作垂足为点， 此时，， 由（1）知， ， ，， ， 此时， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：如图1，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有1个交点，即为切点，设切点为H，连接， ，， ， ， 此时，， 如图2，当点Q与点B重合时，此时半圆O与的边有2个交点， 此时，为半圆O的直径， ， ， 当时，半圆O与有2个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图3，此时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 如图4，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有3个交点，设与半圆O相切点为M，连接， ， ， 当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图5，当半圆O与经过点A时，此时半圆O与的边有3个交点；连接， 则：， ∴， ， ， ， ； 如图6，当点O与点B重合时，此时点O停止运动， ， ， 当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 综上，半圆O与的边有两个交点时，或． 【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，矩形判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解决问题的关键是画出图形，分类讨论． 28. 对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作．已知点． （1）求； （2）记函数的图象为图形G，若，直接写出k的取值范围； （3）的圆心为，半径为1．若，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）2 （2）且； （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据定义解答即可； （2）画出图形，根据自变量x的取值范围和“闭距离”为1确定k的取值范围即可； （3）分在的左侧、在的内部和在的右侧三种情况，分别画出图形，结合图形求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点O到的距离的最小值为2， ∴； 【小问2详解】 解：经过原点，在范围内，函数图象为线段，如图， 当经过时，，此时； 当经过时，，此时． ∴． ∵， ∴且； 【小问3详解】 解：与的位置关系分三种情况：①当在的左侧时，如图， 由，得出； ②当在内部时， 当点T与原点重合时，如图， 由，得出； 当点T位于位置时，如图， 由，得出， ∵， ∴． 则， ∴，故此时； ③当在右边时，如图， 由，得出， ∵， ∴． ∴． 综上可知，或或． 【点睛】本题考查新定义，点到直线的距离，一次函数的实际应用，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识．理解“闭距离”的定义，并利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$