5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 1.结合函数图象理解函数的定义域、值域、周期 性. 2.理解正弦函数、余弦函数的最小正周期的定义，并会求简单函数的周期. (重点） 通过正、余弦函数性质的运用，培养逻辑推理的核心素养 2 如果现在是早上9点钟，问你：24小时以后是几点钟？你会毫不犹豫地回答：还是早上9点钟．因为你很清楚，0点、1点、2点、3点……23点，每隔24小时就重复出现一次，如果今天是星期一，问你：7天以后是星期几？你也会回答：还是星期一．因为你很清楚，星期一、星期二……星期天，每隔7天就重复出现一次．相同的间隔重复出现的现象称为周期现象，如“24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象．自然界中有很多周期现象，如日出日落、月圆月缺、四季交替等．正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢？ 3 继续探究： 问题1.观察f(x)的部分图象，思考下列问题： (1)观察图形， 函数图象每相隔多少个单位重复出现？ 提示：每相隔1个单位重复出现． 4 5 一：周期性 周期性 6 问题2：正弦函数 的周期是什么？ 问题1： 结论：如果函数 的一个周期为 ，那么 都是 的周期。 ？ 7 注：①如果不加特别说明，以后所涉及的周期，一般都是指函数的最小正周期 定义：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期。 ②并非所有的周期函数都有最小正周期，如：常数函数 结论：正弦函数是周期函数， 且 都是它的周期，最小正周期是 余弦函数是周期函数， 且 都是它的周期，最小正周期是 8 9 结论： 10 探究： 非周期函数 11 方法提炼： 定义 公式 图象 12 二：正弦函数、余弦函数的奇偶性   三：正弦函数-单调性 18     19 四：正、余弦型函数的值域问题 例2 求下列函数的值域： 变式练习： 1.函数y=3-sin2x-4cosx的值域为_____________. [-1,7] 方法总结 三角函数的最值问题的求解方法 (1)y=Asin(ωx+φ)，可先由定义域求得ωx+φ的范围，然后求得sin(ωx+φ)的范围，最后得最值；(对于y=Acos(ωx+φ)同理) (2)y=asin2x+bsinx+c(a≠0)，利用换元思想设t=sinx，转化为二次函数y=at2+bt+c求最值，t的范围需要根据定义域来确定. (对于y=acos2x+bcosx+c(a≠0)同理) 课堂素养达标 1.函数f(x)=2cos2x的最小正周期是 (　　) A. B. C.π D.2π 【解析】选C.函数f(x)=2cos 2x的最小正周期是T= =π. 22 2.函数f(x)=xsin x (　　) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 【解析】选B.函数的定义域为R,且满足f(-x)=(-x)sin(-x)=x·sin x=f(x),所以f(x)=xsin x是偶函数. 23 3.已知定义在R上的函数f(x)是周期函数,且满足f(x-a)=-f(x)(a>0),则函数f(x)的最小正周期为________.  【解析】因为f(x-a)=-f(x),所以f(x+a-a)=-f(x+a)⇒f(x)=-f(x+a),而f(x)=-f(x-a), 所以有f(x-a)=f(x+a)⇒f(x)=f(x+2a), 因为a>0,所以函数f(x)的最小正周期是2a. 答案:2a 24 4.函数y=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称,则φ=________.  【解析】由题意,得y=cos(3x+φ)是奇函数, 故φ=kπ+ (k∈Z). 答案:kπ+ (k∈Z) 25 周期函数、最小正周期. 正（余）弦函数 周期性 定义域 值域 26 正弦函数曲线关于原点对称，余弦函数曲线关于y轴对称. 提问： 诱导公式 ， 体现了函数的什么性质？ 师生共同总结得出：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. 例：求下列三角函数的周期 （1） （2） ； （3） . （1） 由周期函数的定义可知， 的周期为 . （2）令 的周期为 ， 即 于是 所以 EMBED Equation.DSMT4 ， 由周期函数的定义知， 的周期为 . 学生独立完成（3）. $$