5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式的课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课标解读 课标要求 素养要求 1.了解两角差的余弦公式的推导过程,知道两角差的余弦公式的意义. 2.能利用两角差的余弦公式进行化简、求值、证明. 数学运算——会运用两角差的余弦公式进行化简、求值、证明. 2 1.复习 两角差的余弦公式 ( C(-) ) cos(-)= coscos+sinsin 用- 代替看看有什么结果? cos[-(-)]= coscos(-)＋sinsin(-) = coscos－sinsin cos(＋) cos(＋) = coscos-sinsin 2.两个和的余弦公式 ( C(+) ) 复习引入 cos(＋) = coscos - sinsin 一：两角和的余弦公式 ( C(+) ) 思考:两角和与差的正弦公式是怎样的呢? 提示：利用诱导公式五(或六)可以实现正弦，余弦的互化. 思考:两角和与差的正切公式是怎样的呢? (这里有什么要求?) (又有什么要求?) 那两角差的正切呢? 口诀：分子同号，分母异号. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ( C(-) ) ( C(+) ) cos(-)= cos cos +sin sin  cos(+)= cos cos -sin sin  ( S(+) ) ( S(-) ) sin(+)= sin cos +cos sin  sin(-)= sin cos -cos sin  ( T(+) ) ( T(-) ) 余弦公式 正弦公式 正切公式 余余正正符号反 一正一余符号同 分子同号 分母异号 例1 利用和(差)角公式计算下列各式的值 1. 求下列各式的值 例2　利用和(差)公式求75°，15°的正弦、余弦和正切的值. 解： sin75°=sin(45°+30°) =sin45°cos30°+cos45°sin30° cos75°=cos(45°+30°) =cos45°cos30°–sin45°sin30° tan75°= 或tan75°=tan(45°+30°) 解： 例3 已知 ，β是第三象限角，求 的值. 例4 (1)已知 ，求 的值； (2)已知 ，θ是第三象限角，求 的值； (3)已知 ，求 的值； 变角: 解： 例5 已知α,β是锐角， ，求cosβ的值. 思考：你会求sin(2α+β)的值吗？ 探究新知 探究：你能用以上公式推导出sin2α,cos2α,tan2α的公式吗？ 我们知道三个和角公式： 二：二倍角的正弦、余弦、正切公式 变形 变形 变形 变形 变形 变形 变形 变形 因式分解变换 配方变换 升幂缩角变换 降幂扩角变换 注意：这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不能省去. 二倍角的正弦、余弦、正切公式的理解 (1)所谓的“二倍角”公式，就是角α与2α之间的转化关系，对吗？ (2)公式中的角α是任意角吗？ 思考 A 基础自测 典例分析 例1 已知sin2α= ， ，求sin4α，cos4α，tan4α的值. 解： 于是 sin4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin22α 典例分析 例2 在△ABC中，cosA= ，tanB=2，求tan(2A+2B)的值. 解： 在△ABC中， 思考：你能想出其他解法吗？ 19 21 课堂小结 1.知识清单： (1)两角差的余弦公式的推导. (2)给角求值，给值求值，给值求角. 2.方法归纳：角的构造. 3.常见误区：求角时忽视角的范围. (2)对于公式S2α，C2α中的角α是任意角，但是T2α中的角α要保证 tanα有意义且分母1－tan2α≠0，即α≠π/4+kπ,k∈Z. 提示：(1)不对．对于“二倍角”应该广义的理解，如：8α是4α的二倍角，3α是eq \f(3,2)α的二倍角，α是eq \f(α,2)的二倍角，eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍角，…这里蕴含着换元思想．这就是说“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间关系的． －eq \f(4,3) 1．下列说法正确的个数是(　　) ①对任意的角总有sin2θ＝2sinθ. ②不存在角α，使得cos2θ＝2cosθ. ③公式tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)成立的条件是α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z. ④对于任意角α，都有sineq \f(α,2)＝2sineq \f(α,4)coseq \f(α,4). A．1　 　B．2　 　C．3　　 D．4 2．设sinα＝2cosα，则tan2α的值为________. $$