概率 课时十四讲义-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--概率（一轮复习）课时十四 知识点一 写出简单离散型随机变量分布列,求离散型随机变量的均值,独立事件的乘法公式 典例1、为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲､乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下：①抛一次质地均匀的硬币，若正面向上，则由甲回答一个问题，若反面向上，则由乙回答一个问题.②回答正确者得10分，另一人得0分；回答错误者得0分，另一人得5分.③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分.已知甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，且两人每道题目是否回答正确相互独立. （1）求乙同学最终得10分的概率； （2）记X为甲同学的最终得分，求X的分布列和数学期望. 随堂练习：冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆中，得3分，冰壶的重心落在圆环中，得2分，冰壶的重心落在圆环中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，． （1）求甲所得分数大于乙所得分数的概率； （2）设甲、乙两人所得的分数之差的绝对值为，求的分布列和期望． 典例2、某公司全体员工的年龄的频率分布表如下表所示，其中男员工年龄的频率分布直方图如图所示.已知该公司年龄在35岁以下的员工中，男、女员工的人数相等. 年龄（岁） [25，30） [30，35） [35，40） [40，45） [45，50） [50，55） [55，60） 合计 人数 6 8 11 23 18 9 5 80 （1）求图中实数a的值，并估计该公司男员工的平均年龄；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （2）若从年龄在[55，60）的员工中随机抽取2人参加活动，求这2人中至少有1名女员工的概率. 随堂练习：在某市举行的一次市质检考试中，为了调查考试试题的有效性以及试卷的区分度，该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的100名学生的数学考试成绩，并将其统计如下表所示. 成绩 人数 6 24 42 20 8 （1）试估计本次质检中数学测试成绩样本的平均数（以各组区间的中点值作为代表）； （2）现按分层抽样的方法从成绩在及之间的学生中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行试卷分析，求这2人的成绩都在之间的概率. 典例3、如图是某校高三（1）班的一次数学知识竞赛成绩的茎叶图（图中仅列出、的数据）和频率分布直方图. （1）求全班人数以及频率分布直方图中的、； （2）估计学生竞赛成绩的平均数和中位数（保留两位小数）. （3）从得分在和中学生中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少有一人的得分在区间的概率是多少？ 随堂练习：为了选择奥赛培训对象，今年月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取名同学将其成绩分成六组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数； （2）从频率分布直方图中，估计第百分位数是多少； （3）已知学生成绩评定等级有优秀､良好､一般三个等级，其中成绩不小于分时为优秀等级，若从第组和第组两组学生中，随机抽取人，求所抽取的人中至少人成绩优秀的概率. 知识点二 求回归直线方程,相关系数的意义及辨析,相关系数的计算,计算样本的中心点 典例4、某加工工厂加工产品A，现根据市场调研收集到需加工量X（单位：千件）与加工单价Y（单位：元/件）的四组数据如下表所示： X 6 8 10 12 Y 12 m 6 4 根据表中数据，得到Y关于X的线性回归方程为，其中． （1）若某公司产品A需加工量为1.1万件，估计该公司需要给该加工工厂多少加工费； （2）通过计算线性相关系数，判断Y与X是否高度线性相关． 参考公式： ，时，两个相关变量之间高度线性相关． 随堂练习：党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一.据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入的数据如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 人均可支配收入（单位：万元） 1、根据上表统计数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若则线性相关程度较高，精确到）； 2、市五届人大二次会议政府工作报告提出，2022年农村居民人均可支配收入力争不低于万元，求该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值（用百分比表示）. 参考公式和数据：相关系数，. 典例5、为了提高生产效率，某企业引进一条新的生产线，现要定期对产品进行检测.每次抽取100件产品作为样本，检测新产品中的某项质量指标数，根据测量结果得到如下频率分布直方图. （1）指标数不在和之间的产品为次等品，试估计产品为次等品的概率； （2）技术评估可以认为，这种产品的质量指标数服从正态分布，其中近似为样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），计算值，并计算产品指标数落在内的概率. 参考数据：，则，. 随堂练习：2021年是“十四五”规划开局之年，也是建党100周年．为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩高于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在内的概率； （3）假设竞赛成绩服从正态分布，已知样本数据的方差为121，用平均分作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求该校本次竞赛的及格率（60分及以上为及格）． 参考数据：，，． 2025高考--概率（一轮复习）课时十四答案 典例1、答案： （1） （2）分布列见解析，X的数学期望为 解：（1）记“乙同学最终得10分”为事件A， 则可能情况为甲回答两题且错两题；甲､乙各答一题且各对一题；乙回答两题且对一题错一题， 则， 所以乙同学得10分的概率是. （2）甲同学的最终得分X的所有可能取值是0，5，10，15，20. ， ， ， ， . X的分布列为 X 0 5 10 15 20 P ， 所以X的数学期望为. 随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析，期望为： 解：（1）由题意知甲得0分的概率为， 乙得0分的概率为， 甲所得分数大于乙所得分数分为：甲得3分乙得2或1或0分， 甲得2分乙得1或0分，甲得1分乙得0分 所以所求概率为． （2）可能取值为0，1，2，3， 所以，随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以 典例2、答案： （1）0.016，； （2）. 解：（1）由男员工年龄的频率分布直方图得（0.012+2a十2×0.024+0.048+0.060 )×5=1， 解得a=0.016. 则男员工的平均年龄： （2）该校年龄在35岁以下的男女员工人数相等,且共14人，年龄在35岁以下的男员工共7人. 由（1）知，男员工年龄在[25, 35 )的频率为， 所以男员工共有（人），女员工共有（人）， 所以年龄在[55,60 ）的员工中，男员工为0.016×5×50=4（人）， 不妨设为，则女员工为1人，设为，从年龄在[55,60 ）的员工中随机抽取2人， 则有，共有10种可能情形， 其中至少有1名女员工的有4种，故所求概率为. 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）根据统计图表中的数据，结合平均数的计算方法，可得本次质检中数学测试成绩样本的 均数为. （2）由题意知，随机抽取的5人中，成绩在的有1人记为， 成绩在的有4人记为， 从中随机抽取2人有，，，，，，，，，，共有10种可能， 其中成绩都在之间有的，，，，，，共有6种可能， 所以这2人成绩都在之间的概率. 典例3、答案：（1）25（人），，（2）平均数为71.4，中位数约为；（3）. 解：（1）分数在的频率为， 由茎叶图知，分数在之间的频数为，∴全班人数为（人）， （2）分数在之间的频数为，则， 由解得； 平均数为， ∵，∴中位数在内， 设中位数为，则，解得， ∴中位数约为； （3）得分在内的人数为人，记为、、， 得分在内的人数为人，记为、， 从这人中随机抽取两人的所有基本事件为： 、、、、、、、、、，共个， 其中所抽取的两人都在的基本事件为：、、共个， 则所抽取的两人中至少有一人的得分在区间的概率为. 随堂练习：答案：（1） （2） （3） 解：（1）由频率分布直方图可知平均数 （2）成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 第百分位数位于，设其为， 则，解得：，第百分位数为. （3）第组的人数为：人，可记为； 第组的人数为：人，可记为； 则从中任取人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种情况； 其中至少人成绩优秀的情况有：，，，，，，，， ，，，，，，，共种情况； 至少人成绩优秀的概率. 典例4、答案：（1）该公司需要给该加工工厂57200元加工费. （2）Y与X高度线性相关. 解：（1）∵，， 则， 又∵ ∴，， ∴， ∵1.1万=11千， ∴当时，（元）， ∴（元）， 答：估计该公司需要给该加工工厂57200元加工费. （2）由（1）知，，，， ∴ ∴， ∴两个相关变量之间高度线性相关. 随堂练习：答案： （1），具有较高的线性相关程度； （2）. 解：（1）由题可知的平均数为， ， 所以， （2）， 所以与具有较高的线性相关程度； 设增长率为，则， 解得， ， 该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值为. 典例5、答案： （1） （2），0.9544 解：（1）由，解得， 样本中指标数不在和之间的频率为， 所以产品为次等品的概率估计值为. （2）依题意. 所以， 所以. 随堂练习：答案： （1）；平均分为71分；（2）；（3）． 解：（1）由频率分布直方图可得，， 解得． 这组样本数据的平均数为：． 所以估计该校此次竞赛成绩的平均分为71分； （2）自频率分布直方图可知，成绩在，内的频率分别为0.25，0.1． 所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的7人， 成绩在内的有5人，成绩在内的有2人． 记事件这3人至少有1人成绩在内 则； （3）由题意知，样本方差，故， 所以竞赛成绩 该校竞赛的及格率． ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$