精品解析： 浙江省金华市义乌市宾王学校教育集团2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年浙江省金华市义乌市宾王学校教育集团九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了可能性的大小，掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 根据硬币正面朝上，反面朝上的可能性相等即可解答． 【详解】解：投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上， ∵每一次投掷硬币都是一个独立事件，其结果不受前面投掷结果的影响， ∴投掷第5次硬币正面朝上、反面向上的可能性相同，即投掷第5次硬币正面朝上的概率是． 故选：A． 2. 已知的半径为4，点在内，则的长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系解答即可，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的半径为4，点在内， ∴， ∴的长可能是3， 故选：A． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. y轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，涉及二次函数的对称轴是等内容，据此即可作答． 【详解】解：抛物线的对称轴是， ∴抛物线的对称轴是y轴， 故选：A． 4. 如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12． A．因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； B．因为 ，对应边，又∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确； C．因为 ，对应边，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； D、因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键． 5. 如图，是的直径，弦交于点．若，，则的半径为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．连接，设的半径为，则，根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦”得出，根据勾股定理得出即可作答． 【详解】解：连接， 设的半径为，则， ，过圆心， ，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的半径长是5， 故选：C． 6. 如图，是的直径，点C在圆上，将沿翻折与交于点D．若，的度数为，则（　　）° A. 100 B. 120 C. 60 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，作辅助线是解答本题的关键． 作D关于的对称点E，连接，则，然后再根据的度数为知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，即可解答． 【详解】解：如图，作D关于的对称点E，连接，则, ∵的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 7. 点，点是线段的黄金分割点，若，则长度是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解答本题的关键． 根据黄金分割的定义，得到，由此计算得到答案． 【详解】如图， 点，点是线段的黄金分割点，若， ， ， ， 故选：． 8. 如图， 中，，点在边上，于点，点在边上，连结，已知的值，则可求得以下哪个图形的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，三角形面积计算等知识点，解题的关键是表示出选项中的四个三角形的面积． 设，则可表示出则，，，，再证明，根据相似三角形的性质表示出，即可表示出，根据已知的值，即已知，即可判断； 【详解】如图， 设， 则， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 若已知的值，即已知， 即只可求出， 故选：B． 9. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，根据表达式求出对称轴，对的正负进行分类讨论，求出每种情况的最小值即可，掌握二次函数的性质及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：由题意得，的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，在， ∴当时函数有最小值， ∴， 解得：, 综上所述：的值为或， 故选：． 10. 已知中，直径于点，点在上，且，过点作于点，已知的周长为，且，则的半径长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与交于点G，延长至T，使，连接，可推出，，从而得出点T、B、G、A共圆，从而得出，从而得出是等腰三角形，进而求得，然后在中求得半径． 【详解】解：如图， 设与交于点G，延长至T，使，连接， ∴， ∵， ∴， ∵直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点T、B、G、A共圆， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，勾股定理，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造整体以及发现特殊性． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知 则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵ ∴设，， ∴． 12. 在一个不透明的袋中装有40个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，佳佳和琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋中红球大约有 _______． 【答案】8个 【解析】 【分析】本题考查了用大量试验得到的频率估计事件的概率．关键是利用红球的概率公式列方程求解得到红球的个数． 设袋中红球大约有x个，根据摸到红球的频率稳定在0.2左右列方程求解即可． 【详解】解：设袋中红球大约有x个， 由题意知：， 解得， ∴袋中红球大约有8个． 故答案为：8个． 13. 在直角平面坐标系中，二次函数（a，b为常数，），当点在函数图象上，则＝_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据函数的表达式，先求出函数的对称轴，再根据当得出当最后将点代入函数表达，将m和n用a、b表示出来即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴为：， ∵ ∴当即：， 整理得：， 将点代入得： ， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是根据函数表达式分析函数的对称轴以及最值． 14. 如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使，则 ______秒 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，一元一次方程的运用，根据相似三角形的性质建立等式求解，即可解题． 【详解】解：由题意，设经秒后，， 由于，，， ∴，即． 解得． 15. 在中，和是两条平行弦，所对的圆心角分别为和，圆O的半径为，则之间的距离是____________________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意画出符合条件的两种情况，求出和的值，即可求出的长． 【详解】解：分为两种情况： ①如图1，过O作于E，延长交于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ， ； ②如图2，同理，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形的内角和定理，勾股定理，直角三角形的性质，垂径定理的应用等知识点，主要考查学生的推理和计算能力，用了分类讨论思想． 16. 如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点，交对角线于点． （1）线段的长为________； （2）________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）连接，先根据矩形的性质及勾股定理求出，再求出，可知，然后根据面积相等得出答案； （2）延长交于点，根据勾股定理求出，即可得，再说明，可得，进而得出，然后证明，即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，连接． ∵四边形为矩形，， ∴，． ∵是的中点， ∴． 在中，由勾股定理得． 在矩形中，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）如图，延长交于点． 在中，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，作出辅助线构造相似三角形是解题关键． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 17. 一个二次函数，其图像由抛物线向右平移1个单位所得． （1）写出平移后的抛物线的函数表达式； （2）若将（1）中的抛物线再向上平移个单位后经过点，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的平移法则即可得到答案，二次函数的平移法则为：左加右减，上加下减； （2）先根据平移法则得到解析式，再将点的坐标代入即可求出k的值． 【小问1详解】 解：∵向右平移1个单位得， ∴平移后的抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 ∵将向上平移个单位后得， ∴平移后的表达式为：， ∵平移后抛物线经过点， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数的平移法则． 18. 一个不透明的口袋里装着分别标有数字，，0，2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验时把小球搅匀． （1）从中任取一球，求所抽取的数字恰好为负数的概率为 ； （2）从中任取一球，记下球上的数字，然后把小球放回；再任取一球，记下球上的数字，请用画树状图（或列表法）的方法，求出两球上的两数之积为非负数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中所抽取的数字恰好为负数的结果有2种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两球上的两数之积为非负数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中所抽取的数字恰好为负数的结果有2种， ∴所抽取的数字恰好为负数的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 共有16种等可能的结果，其中两球上的两数之积为非负数的结果有：，，，，，，，，，，，，共12种， ∴两球上的两数之积为非负数的概率为． 19. 如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图①中的圆上找一点D，使； （2）在图②中的圆上找一点E，使平分； （3）在图③中的圆上找一点F，使平分； 【答案】（1）如图①，∠ADC即为所求作； （2）如图②，点E即为所作； （3）如图③，点F即为所作； 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于90°，即可得到答案； （2）根据垂径定理，即可画出图形， （3）作垂直于AC的直径，交于点F，连接BF，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查简单几何作图，熟练掌握圆周角定理及其推论，垂径定理，是解题的关键． 20. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE． （1）求证：AE2＝EF•BE； （2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠ABE， ∴∠DAC＝∠ABE， ∵∠EAF＝∠EBA，∠AEF＝∠BEA， ∴△EAF∽△EBA， ∴EA：EB＝EF：EA， ∴AE2＝EF•BE； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AD∥BC，则∠DAC＝∠ACB，然后证明△EAF∽△EBA，则利用相似三角形的性质得到结论； （2）先利用AE2＝EF•BE计算出BE＝4，则BF＝3，再由AE∥BC，利用平行线分线段成比例定理计算出AF＝，然后利用△EAF∽△EBA，根据相似比求出AB的长． 【详解】（1）略 （2）∵AE2＝EF•BE， ∴BE＝＝4， ∴BF＝BE﹣EF＝4﹣1＝3， ∵AE∥BC， ∴＝，即＝，解得AF＝， ∵△EAF∽△EBA， ∴＝，即＝， ∴AB＝． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了平行四边形的性质． 21. 已知二次函数：（k是实数）． （1）若，求抛物线与x轴的交点坐标． （2）抛物线与直线经过x轴上同一点，求k的值． （3）当时，函数y的值随x的增大而增大，求k的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握图象及性质的应用． （）转化为方程即可求解； （）由得，当时，，直线在轴的交点坐标为，代入即可求解； （3）当时，函数y的值随x的增大而增大，则，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 令，则， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点为，； 【小问2详解】 解：由得，当时，， ∴抛物线与直线在轴的交点坐标为， ∴， 整理得： 解得：或； 【小问3详解】 解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数y的值随x的增大而增大， 则， 解得：． 22. 如图，是的直径，点在上，，垂足为，，分别交，于点，． （1）若的度数为，求的度数； （2）求证：； （3）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：是的直径， ， ； ， ； ， ， ， ； （3） 证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到的度数为，求得，于是得到； （2）根据圆周角定理得到，求得，得到，根据等腰三角形的判定定理得到； （3）根据圆周角定理得到，求得，推出，根据相似三角形的判定定理得到结论． 【小问1详解】 解：连接， ，的度数为， 的度数为， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 23. 【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 【答案】（1）相等 （2）成立， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴∠； （3）6或2 【解析】 【分析】（1）利用证明 ，得； （2）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立； （3）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立． 【详解】解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：相等； （2）略 （3）当点D在线段上时，如图2， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 当点D在线段的延长线上时，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上可知，的长为2或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明是解（1）的关键，证明是解（2）（3）的关键． 24. 如图，内接于圆O，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，于D交圆O于E，于H，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若平分，延长交于P，，，求长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∴； （2） 证明：∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，得出由三角形内角和得出根据圆周角定理得代入可得结论； （2）证明得再证明得从而可证明； （3）过点P作于点N，过点O作于点Q，则四边形是矩形，得出证明得出证明得出求出，由勾股定理求出，由相似得出设求出由勾股定理可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点P作于点N，过点O作于点Q，则四边形是矩形， ∴ ∵平分 ∴ 又 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 在中， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 设 ∴ 又 ∴ 解得， ∴ ∴ 在中，． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省金华市义乌市宾王学校教育集团九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为4，点在内，则的长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. y轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，弦交于点．若，，则的半径为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，是的直径，点C在圆上，将沿翻折与交于点D．若，的度数为，则（　　）° A. 100 B. 120 C. 60 D. 30 7. 点，点是线段的黄金分割点，若，则长度是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图， 中，，点在边上，于点，点在边上，连结，已知的值，则可求得以下哪个图形的面积（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 已知中，直径于点，点在上，且，过点作于点，已知的周长为，且，则的半径长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知 则_____． 12. 在一个不透明的袋中装有40个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，佳佳和琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋中红球大约有 _______． 13. 在直角平面坐标系中，二次函数（a，b为常数，），当点在函数图象上，则＝_____． 14. 如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使，则 ______秒 15. 在中，和是两条平行弦，所对的圆心角分别为和，圆O的半径为，则之间的距离是____________________． 16. 如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点，交对角线于点． （1）线段的长为________； （2）________． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 17. 一个二次函数，其图像由抛物线向右平移1个单位所得． （1）写出平移后的抛物线的函数表达式； （2）若将（1）中的抛物线再向上平移个单位后经过点，求k的值． 18. 一个不透明的口袋里装着分别标有数字，，0，2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验时把小球搅匀． （1）从中任取一球，求所抽取的数字恰好为负数的概率为 ； （2）从中任取一球，记下球上的数字，然后把小球放回；再任取一球，记下球上的数字，请用画树状图（或列表法）的方法，求出两球上的两数之积为非负数的概率． 19. 如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图①中的圆上找一点D，使； （2）在图②中的圆上找一点E，使平分； （3）在图③中的圆上找一点F，使平分； 20. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE． （1）求证：AE2＝EF•BE； （2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的长． 21. 已知二次函数：（k是实数）． （1）若，求抛物线与x轴的交点坐标． （2）抛物线与直线经过x轴上同一点，求k的值． （3）当时，函数y的值随x的增大而增大，求k的取值范围． 22. 如图，是的直径，点在上，，垂足为，，分别交，于点，． （1）若的度数为，求的度数； （2）求证：； （3）求证：． 23. 【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 24. 如图，内接于圆O，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，于D交圆O于E，于H，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若平分，延长交于P，，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $