精品解析：山西省吕梁市离石区多校2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试卷

2024-2025学年度八年级上学期期中综合评估 数学 说明：共三大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填表中） 1. 巴黎奥运会比赛中，中国健儿勇于拼搏，生动诠释了奥林匹克精神和中华体育精神．下列巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 等腰三角形“三线合一” D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 3. 如图，平分，，是上的动点，若，则的长不可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则（ ） A. B. C. D. 5. 近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（ ） A. AB，BC两边垂直平分线的交点处 B. AB，BC两边高线的交点处 C. AB，BC两边中线的交点处 D. ∠B，∠C两内角的平分线的交点处 6. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则的度数和为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（ ） A. B. C. D. 8. 信息课上，小文同学利用计算机软件绘制了美丽的蝴蝶，如图，在绘图过程中，小文建立平面直角坐标系，先画出一半图形，利用对称性画出另一半．若图中点A的坐标为，则其关于y轴对称的点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点A，，，在同一直线上，于点，于点，连接，交于点，且为的中点．若，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，一直角三角形的斜边与另一直角三角形的直角边在同一直线上，则的大小为______． 12. 如图，，与相交于点，若，，则的长为______． 13. 已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为______． 14. 《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图1中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图2为某蝶几设计图，其中和为大三斜组件（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点A关于直线对称，连接，．若，则______°． 15. 如图，（和是对应角），，若，，当时，与之间的数量关系为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）已知的三边长是，，，若，，且三角形的周长是小于15的奇数．求边长的值． （2）图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风箏的骨架图如图2所示，，，，，求的度数． 17. 如图，在正五边形中，连接，求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出关于轴对称的． （2）请画出关于轴对称的． （3）若内部一点在中的对称点为，在中的对称点为，请直接写出点，的坐标． 19. 数学课上，老师提出下列问题：如图，在中，是锐角，于点D，且，，，求的长．小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，过程如下： 证明：如图1，在线段上取一点E，使，连接． ，， 垂直平分， ，（依据1） ．（依据2） ， ． 又， ， ， ，（依据3） ， ． （1）上述解题过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指的是什么？依据1： ．依据2： ．依据3： ． （2）看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法：证明：如图2，延长到点E，使，连接．……请根据小亮的思路写出完整的解题步骤． 20. 如图，在中，为边上的一点，，为外部一点，，且，连接，与交于点． （1）求证：． （2）若，求的度数． 21. 如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点． （1）求证：是的垂直平分线． （2）若的面积为，，，求的长． 22. 综合与实践 【问题情境】 如图1，这是一个圆形喷水池，水池的中心处有一喷水装置，数学活动小组计划使用皮尺测量水池的直径，但因喷水装置阻挡，无法直接测量，该如何准确测量呢？（水池边缘厚度忽略不计） 【方案设计】方案一：如图2，先在水池边上取A，两点，使得A，，三点共线，再在水池外取一点，测得，的长，在射线，上分别取点，，使得，，最后测得的长，便可求出的长． 方案二：如图3，先在水池边上取A，两点，使得A，，三点共线，过点作的垂线，在上取，两点，使．接着过点作的垂线，交的延长线于点，最后测得的长，便可求出的长． 【问题解决】 （1）理论上，方案一是否可行？请说明理由． （2）理论上，方案二是否可行？请说明理由． （3）小明同学提出，在方案二中，并不一定需要，，只需要即可，小明的想法是否可行？请说明理由． 23. 综合与探究 如图1和图2，在中，，．点从点A出发沿匀速移动，到达点时停止，点在边上随点移动，且始终保持，设点移动的路程为． （1）若点在上，当 时，点与点A的距离最短． （2）如图3，当点在上时，若经过的两条角平分线与的交点，求四边形的周长．（用含有的式子表示） （3）当点在上时，在点的运动过程中，能否使得？如果能，写出的值，并给予证明；如果不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度八年级上学期期中综合评估 数学 说明：共三大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填表中） 1. 巴黎奥运会比赛中，中国健儿勇于拼搏，生动诠释了奥林匹克精神和中华体育精神．下列巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“如果一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意； 故选B． 2. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 等腰三角形“三线合一” D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC，BE＝CE， ∴AE⊥BC， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 3. 如图，平分，，是上的动点，若，则的长不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键；过点P作于点E，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：过点P作于点E，如图所示： ∵平分，，， ∴， ∴； 故选A． 4. 如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得三角形全等，然后根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 5. 近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（ ） A. AB，BC两边垂直平分线的交点处 B. AB，BC两边高线的交点处 C. AB，BC两边中线的交点处 D. ∠B，∠C两内角的平分线的交点处 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可直接进行求解． 【详解】解：因为决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，所以高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处， 理由是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 故选A． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 6. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则的度数和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用多边形的外角和为即可得出答案．本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为是关键． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键．利用三角形内角和以及角平分线的定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， 两锐角的角平分线、交于点F， ，， ， ， 故选：A． 8. 信息课上，小文同学利用计算机软件绘制了美丽的蝴蝶，如图，在绘图过程中，小文建立平面直角坐标系，先画出一半图形，利用对称性画出另一半．若图中点A的坐标为，则其关于y轴对称的点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称点的坐标特征，直接利用关于关于y轴对称点的性质（横坐标互为相反数，纵坐标不变）即可得出答案． 【详解】解：∵图中点A的坐标为， ∴其关于y轴对称的点B的坐标为． 故选：A． 9. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，结合即可求得答案． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵每本书长，厚度为， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，点A，，，在同一直线上，于点，于点，连接，交于点，且为的中点．若，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转全等三角形解决问题．分别证明，，可得结论． 【详解】解：，， ， 是的中点， ， 在和中， ， ∴，故①正确， ， ，， ，故②正确， ， 在和中， ， ∴， ，，故③正确，④错误； 综上所述：正确的个数有3个； 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，一直角三角形的斜边与另一直角三角形的直角边在同一直线上，则的大小为______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角板中角度的计算，先根据三角板的特点得到，再由三角形外角的性质即可得到． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，，与相交于点，若，，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；由题意易得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为3． 13. 已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为______． 【答案】15 【解析】 【分析】分类讨论另一边可能的情况，再利用三角形的三边关系检验能否构成三角形，最后算出周长即可． 【详解】若等腰三角形的另一边长为3，此时三边分别为3，3，6，因为，不能构成三角形； 若等腰三角形的另一边长为6，此时三边分别为3，6，6，因为，能构成三角形，三角形周长为：； 故答案为：15． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题关键是牢记三角形任意两边之和大于第三边． 14. 《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图1中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图2为某蝶几设计图，其中和为大三斜组件（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点A关于直线对称，连接，．若，则______°． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质、全等三角形的性质，熟练掌握性质，找出对应边和对应角是解题的关键．由点与点关于直线对称求出，再由和求出和，进而计算出，最后利用三角形内角和即可求解． 【详解】解：点与点关于直线对称，， ∴，， ∵和为两个全等的等腰直角三角形， ，， ， ，， ，即是等腰三角形， ． 故答案为：19． 15. 如图，（和是对应角），，若，，当时，与之间的数量关系为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、等边对等角、平行线的性质等知识点，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 根据，，，可知，，结合和等腰三角形性质可得，，将展开为即可解答． 【详解】解：∵（和是对应角），， ∴，， ， ∵， ∴，， ， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）已知的三边长是，，，若，，且三角形的周长是小于15的奇数．求边长的值． （2）图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风箏的骨架图如图2所示，，，，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边关系及全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形三边关系及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，并且，然后问题可求解； （2）由可得，根据可证，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，该三角形的周长为， ∵三角形的周长是小于15的奇数， ∴， ∴c为的奇数， ∴； （2）， ，即， 在与中， ， ∴， ． 17. 如图，在正五边形中，连接，求证：． 【答案】 证明：如图： ∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和公式以及等边对等角，平行线的判定，先根据正五边形得出，，则，再结合，即可作答． 【详解】略 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出关于轴对称的． （2）请画出关于轴对称的． （3）若内部一点在中的对称点为，在中的对称点为，请直接写出点，的坐标． 【答案】（1） 解：所作如图所示： （2） 解：所作如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形——轴对称变换，解题的关键是掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征．关于轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数． （1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （3）根据关于坐标轴对称的点的坐标特征求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 数学课上，老师提出下列问题：如图，在中，是锐角，于点D，且，，，求的长．小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，过程如下： 证明：如图1，在线段上取一点E，使，连接． ，， 垂直平分， ，（依据1） ．（依据2） ， ． 又， ， ， ，（依据3） ， ． （1）上述解题过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指的是什么？依据1： ．依据2： ．依据3： ． （2）看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法：证明：如图2，延长到点E，使，连接．……请根据小亮的思路写出完整的解题步骤． 【答案】（1）垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；在同一三角形中，等边对等角；在同一三角形中，等角对等边 （2） 证明：如图2，延长到点E，使，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， 垂直平分， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质． （1）在线段上取一点E，使，连接，证明垂直平分，推出，利用三角形的外角性质求得，据此求解即可； （2）延长到点E，使，连接，推出，得到，根据，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 证明：在线段上取一点E，使，连接． ，， 垂直平分， ，（垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等） ．（在同一三角形中，等边对等角） ， ． 又， ， ， ，（在同一三角形中，等角对等边） ， ． 故答案为：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；在同一三角形中，等边对等角；在同一三角形中，等角对等边； 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，为边上的一点，，为外部一点，，且，连接，与交于点． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角： （1）先证明，再利用即可证明； （2）根据等边对等角得到，根据全等三角形的性质得到，据此根据平角的定义可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点． （1）求证：是的垂直平分线． （2）若的面积为，，，求的长． 【答案】（1） 证明：是的角平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， ∵， 是的垂直平分线； （2）6 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质得到，再由“”证，得，然后再结合即可得出结论； （2）由列式计算即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：结合图形，得， ， ，， ， 解得：， 即的长为6． 22. 综合与实践 【问题情境】 如图1，这是一个圆形喷水池，水池的中心处有一喷水装置，数学活动小组计划使用皮尺测量水池的直径，但因喷水装置阻挡，无法直接测量，该如何准确测量呢？（水池边缘厚度忽略不计） 【方案设计】方案一：如图2，先在水池边上取A，两点，使得A，，三点共线，再在水池外取一点，测得，的长，在射线，上分别取点，，使得，，最后测得的长，便可求出的长． 方案二：如图3，先在水池边上取A，两点，使得A，，三点共线，过点作的垂线，在上取，两点，使．接着过点作的垂线，交的延长线于点，最后测得的长，便可求出的长． 【问题解决】 （1）理论上，方案一是否可行？请说明理由． （2）理论上，方案二是否可行？请说明理由． （3）小明同学提出，在方案二中，并不一定需要，，只需要即可，小明的想法是否可行？请说明理由． 【答案】（1） 方案1可行． 理由如下： 在和中， ， ∴， ， 即量出的距离就是的长； （2） 方案2可行． 理由如下： ，， ， 在和中， ， ∴， ， 即量出的距离就是的长； （3） 小明的想法可行，理由如下： ， ， 在和中， ， ∴， ， 即量出的距离就是的长． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据证明即可得出； （2）根据证明即可得出； （3）根据平行线的性质可得，然后根据证明即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 综合与探究 如图1和图2，在中，，．点从点A出发沿匀速移动，到达点时停止，点在边上随点移动，且始终保持，设点移动的路程为． （1）若点在上，当 时，点与点A的距离最短． （2）如图3，当点在上时，若经过的两条角平分线与的交点，求四边形的周长．（用含有的式子表示） （3）当点在上时，在点的运动过程中，能否使得？如果能，写出的值，并给予证明；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）10 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据垂线段最短和等腰三角形的性质得到点P为的中点，进而可求解； （2）先证明，根据平行线的性质和角平分线的性质得到，，再根据等腰三角形的判定与性质得到，进而求解即可； （3）根据三角形的外角性质得到，根据全等三角形的判定，当时，，进而求解． 【小问1详解】 解：当点在上时，由垂线段最短知，当时，点与点A的距离最短， ∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为：10； 【小问2详解】 解：如图3，当点在上时， ∵， ∴， ∴，，，， ∵经过的两条角平分线与的交点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴四边形的周长 ； 【小问3详解】 解：存在， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、垂线段最短、平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $