复数学案-2025届高三数学一轮复习

新高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 第五节　复　数 一、课标要求 1.理解复数的基本概念． 2.理解复数相等的充要条件． 3.了解复数的代数表示法及其几何意义． 4.会进行复数代数形式的四则运算． 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 二、 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、及纯虚数 2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数 3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意义，题型较为简单。 主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算。 三、知识梳理 1．复数 (1)定义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，实部a，虚部b. (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类 复数 (3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). (5)模：|a＋bi|＝(a，b∈R). [提醒]　(1)两个虚数不能比较大小． (2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件． 2．复数的几何意义 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法： ＝＝＝＋i(c＋di≠0). (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [常用结论] 1．i的乘方具有周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 2．(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i. 3．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. 四、课堂考点突破 考点一　复数的有关概念 [例1]　（1）（2022·新高考Ⅰ卷）若i（1－z）＝1，则z＋＝（　　） A.－2　　B.－1 C.1　　　D.2 （2）（2024·浙江绍兴模拟）已知复数z满足z（－i）＝2i，其中i为虚数单位，则z的虚部为（　　） A.　　 B.i C.－　　D.－ [答案]　（1）D　（2）A [解析]　（1）由题意知1－z＝＝－i，所以z＝1＋i，则＝1－i，所以z＋＝（1＋i）＋（1－i）＝2. （2）因为z（－i）＝2i，所以z＝＝＝＝－＋i， 所以z的虚部为. 变式训练 1.（2023·全国甲卷）设a∈R，（a＋i）（1－ai）＝2，则a＝（　　） A.－2　　B.－1 C.1　　　D.2 答案：C 解析：因为（a＋i）（1－ai）＝a－a2i＋i－ai2＝2a＋（1－a2）i＝2， 所以解得a＝1. 考点二　复数的几何意义 题型一　复数与点的关系 [例2]　（2023·新高考Ⅱ卷）在复平面内，（1＋3i）（3－i）对应的点位于（　　） A.第一象限　　B.第二象限 C.第三象限　　D.第四象限 [答案]　A [解析]　（1＋3i）（3－i）＝6＋8i，对应的点（6，8）位于第一象限. 题型二　复数模的几何意义（与向量对应） [例3]　（2024·湖北武汉模拟）如图，在正方形OABC中，点A对应的复数是3＋5i，则顶点B对应的复数是（　　） A.－2＋8i　　　B.2－8i C.－1＋7i　　　D.－2＋7i [答案]　A [解析]　由题意得＝（3，5），不妨设C点对应的复数为a＋bi（a＜0，b＞0），则＝（a，b）， 由⊥，＝，得⇒ 即C点对应的复数为－5＋3i， 由＝＋得，B点对应复数为（3＋5i）＋（－5＋3i）＝－2＋8i. 变式训练 2.（2024·河南郑州模拟）复平面内，复数对应的点位于（　　） A.第一象限　　B.第二象限 C.第三象限　　D.第四象限 答案：A 解析：由题意得＝＝＝＝2＋i，即复平面内对应的点为（2，1），在第一象限. 3.（2024·山东青岛模拟）若复数z满足｜z＋1｜＝｜z－i｜，且z在复平面内对应的点为（x，y），则（　　） A.x＝1　　　 B.y＝1 C.x＋y＝0　　D.x－y＝0 答案：C 解析：｜z＋1｜＝｜z－i｜表示点Z到点A（－1，0），B（0，1）的距离相等，即AB的垂直平分线y＝－x. 考点三　复数的代数运算 [例4]　（1）（2023·全国乙卷）设z＝，则＝（　　） A.1－2i　　　B.1＋2i C.2－i　　　 D.2＋i （2）（2023·全国乙卷） ＝（　　） A.1　　　　 B.2 C.　　　　D.5 （3）已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2 023＝（　　） A.1＋i　　　 B.1－i C.i　　　　　D.0 [答案]　（1）B　（2）C　（3）D [解析]　（1）z＝＝＝＝－（2i－1）＝1－2i，则＝1＋2i. （2）｜2＋i2＋2i3｜＝｜2－1－2i｜＝｜1－2i｜＝. （3）法一：∵z＝1＋＝1＋＝i，∴1＋z＋z2＋…＋z2 023＝＝＝＝0. 法二：∵z＝1＋＝1＋＝i，∴1＋z＋z2＋…＋z2 023＝1＋i＋i2＋…＋i2 023＝506×（1＋i－1－i）＝0. 变式训练 4.（2023·全国甲卷）＝（　　） A.－1　　　　　　B.1 C.1－i　　　　　 D.1＋i 答案：C 解析：＝＝＝1－i. 5.（多选）（2024·九省联考测试）已知复数z，w均不为0，则（　　） A.z2＝｜z｜2　　　B.＝ C.＝－　　D.＝ 答案：BCD 解析：对于A，等式左边为复数，右边为模长，不相等，A错误； 对于B，有z·＝｜z｜2，则z＝z·＝·， 即＝，B正确； 对于C，由复数共轭运算性质易知正确，C正确； 对于D，由复数模长运算性质易知正确，D正确. 6.i是虚数单位，则的值为　　　　. 答案： 解析：∵＝＝2－3i， ∴＝｜2－3i｜＝. 五、课后作业 一、单项选择题 1．已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则(　　) A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3 答案　B 解析　因为a＋3i＝(b＋i)i＝－1＋bi， 所以a＝－1，b＝3. 2．已知i是虚数单位，复数z满足z－i＝，则复数z的共轭复数为(　　) A．2 B．－2 C．2i D．－2i 答案　A 解析　因为z－i＝ ＝＝＝2－i， 所以z＝2， 所以复数z的共轭复数为2. 3．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝(2＋ai)i(其中a∈R)为“等部复数”，则复数＋ai在复平面内对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　∵z＝(2＋ai)i＝－a＋2i， 又∵“等部复数”的实部和虚部相等，复数z为“等部复数”， ∴－a＝2，解得a＝－2， ∴z＝2＋2i，∴＝2－2i， 即＋ai＝2－4i， ∴复数＋ai在复平面内对应的点是(2，－4)，位于第四象限． 4．已知复数z1＝a＋i，a∈R，z2＝1－2i，且z1·2为纯虚数，则|z1|等于(　　) A. B．2 C. D. 答案　C 解析　复数z1＝a＋i，z2＝1－2i， 则z1·2＝(a＋i)(1＋2i)＝(a－2)＋(2a＋1)i， 依题意，得 解得a＝2，即z1＝2＋i， 所以|z1|＝＝. 5．已知m，n为实数，1－i(i为虚数单位)是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根，则m＋n等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 答案　D 解析　由1－i是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根， 则1＋i是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根， 则m＝1－i＋1＋i＝2，n＝(1－i)×(1＋i)＝2， 即m＝2，n＝2，则m＋n＝4. 6．已知复数z1与z＝3＋i在复平面内对应的点关于实轴对称，则等于(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 答案　B 解析　因为复数z1与z＝3＋i在复平面内对应的点关于实轴对称，所以z1＝3－i， 所以＝＝＝＝1－i. 7．(2024·沧州模拟)设复数z满足|z－1＋i|＝2，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4 答案　D 解析　复数z满足z＝x＋yi(x，y∈R)， 则|x－1＋(y＋1)i|＝2， ∴(x－1)2＋(y＋1)2＝4. 8．欧拉公式exi＝cos x＋isin x由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中不正确的是(　　) A．对应的点位于第二象限 B．为纯虚数 C.的模为 D．的共轭复数为－i 答案　D 解析　对于A，＝cos ＋isin ＝－＋i，对应的点位于第二象限，故A正确； 对于B，＝cos ＋isin ＝i，为纯虚数，故B正确； 对于C，＝＝＝＝＝，故C正确； 对于D，＝cos ＋isin ＝＋i，所以的共轭复数为－i，故D错误． 二、多项选择题 9．已知i为虚数单位，则下列结论中正确的是(　　) A．i＋i2＋i3＋i4＝0 B．3＋i>1＋i C．若复数z为纯虚数，则|z|2＝z2 D．复数－2－i的虚部为－1 答案　AD 解析　对于A，由虚数的运算性质，可得i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，故A正确； 对于B，虚数不能比较大小，故B不正确； 对于C，当z＝i时，|z|2＝1，z2＝－1，此时|z|2≠z2，故C不正确； 对于D，根据复数的概念，可得复数－2－i的虚部为－1，故D正确． 10．已知复数z1，z2，1为z1的共轭复数，则下列结论中一定成立的是(　　) A．z1＋1为实数 B．|1|＝|z1| C．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 D．|z21|＝|z2z1| 答案　ABD 解析　设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝a＋bi(a，b∈R)，则1＝x－yi， 对于A，z1＋1＝2x∈R，故A正确； 对于B，|z1|＝，|1|＝，∴|1|＝|z1|，故B正确； 对于C，当z1＝3＋4i，z2＝5时，|z1|＝|z2|＝5，但是z1≠±z2，故C错误； 对于D，z21＝(a＋bi)(x－yi)＝(ax＋by)＋(bx－ay)i，|z21|＝＝，z2z1＝(a＋bi)(x＋yi)＝(ax－by)＋(bx＋ay)i，|z2z1|＝＝，∴|z21|＝|z2z1|，故D正确． 三、填空题 11．已知i是虚数单位，则的值为________． 答案　 解析　因为＝＝＝1＋3i， 所以＝|1＋3i|＝＝. 12．写出一个同时满足①②的复数z＝________. ①z3＝；②z∉R. 答案　i(或－i) 解析　因为z∉R，不妨设z＝bi(b∈R，b≠0)， 则(bi)3＝－b3i＝－bi， 解得b＝±1，即z＝±i符合． 13.在复平面内，复数z与对应的点关于虚轴对称，则z＝________. 答案　－1＋i 解析　由题意得＝1＋i， ∵复数z与对应的点关于虚轴对称， ∴z＝－1＋i. 14．(2023·成都检测)已知|z|＝1，则|z－2－2i|(i为虚数单位)的最大值为________． 答案　2＋1 解析　设z＝x＋yi，其中x，y∈R， 由|z|＝1，可得x2＋y2＝1， 根据复数z的几何意义可得复数z表示以原点O为圆心，1为半径的单位圆， 则|z－2－2i|＝|(x－2)＋(y－2)i|＝， 可得|z－2－2i|表示单位圆上的点到点P(2,2)的距离， 因为PO＝2， 所以|z－2－2i|的最大值为PO＋r＝2＋1. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 第五节　复　数 一、课标要求 1.理解复数的基本概念． 2.理解复数相等的充要条件． 3.了解复数的代数表示法及其几何意义． 4.会进行复数代数形式的四则运算． 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 二、 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分 【备考策略】 1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、及纯虚数 2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数 3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意义，题型较为简单。 主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算。 三、知识梳理 1．复数 (1)定义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，实部a，虚部b. (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类 复数 (3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). (5)模：|a＋bi|＝(a，b∈R). [提醒]　(1)两个虚数不能比较大小． (2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件． 2．复数的几何意义 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法： ＝＝＝＋i(c＋di≠0). (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [常用结论] 1．i的乘方具有周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 2．(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i. 3．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. 四、课堂考点突破 考点一　复数的有关概念 [例1]　（1）（2022·新高考Ⅰ卷）若i（1－z）＝1，则z＋＝（　　） A.－2　　B.－1 C.1　　　D.2 （2）已知复数z满足z（－i）＝2i，其中i为虚数单位，则z的虚部为（　　） A.　　 B.i C.－　　D.－ 变式训练 1.（2023·全国甲卷）设a∈R，（a＋i）（1－ai）＝2，则a＝（　　） A.－2　　B.－1 C.1　　　D.2 考点二　复数的几何意义 题型一　复数与点的关系 [例2]　（2023·新高考Ⅱ卷）在复平面内，（1＋3i）（3－i）对应的点位于（　　） A.第一象限　　B.第二象限 C.第三象限　　D.第四象限 题型二　复数模的几何意义（与向量对应） [例3]　（2024·湖北武汉模拟）如图，在正方形OABC中，点A对应的复数是3＋5i，则顶点B对应的复数是（　　） A.－2＋8i　　　B.2－8i C.－1＋7i　　　D.－2＋7i 变式训练 2.（2024·河南郑州模拟）复平面内，复数对应的点位于（　　） A.第一象限　　B.第二象限 C.第三象限　　D.第四象限 3.（2024·山东青岛模拟）若复数z满足｜z＋1｜＝｜z－i｜，且z在复平面内对应的点为（x，y），则（　　） A.x＝1　　　 B.y＝1 C.x＋y＝0　　D.x－y＝0 考点三　复数的代数运算 [例4]　（1）（2023·全国乙卷）设z＝，则＝（　　） A.1－2i　　　B.1＋2i C.2－i　　　 D.2＋i （2）（2023·全国乙卷） ＝（　　） A.1　　　　 B.2 C.　　　　D.5 （3）已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2 023＝（　　） A.1＋i　　　 B.1－i C.i　　　　　D.0 变式训练 4.（2023·全国甲卷）＝（　　） A.－1　　　　　　B.1 C.1－i　　　　　 D.1＋i 5.（多选）（2024·九省联考测试）已知复数z，w均不为0，则（　　） A.z2＝｜z｜2　　　B.＝ C.＝－　　D.＝ 6.i是虚数单位，则的值为　　　　. 五、课后作业 一、单项选择题 1．已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则(　　) A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3 2．已知i是虚数单位，复数z满足z－i＝，则复数z的共轭复数为(　　) A．2 B．－2 C．2i D．－2i 3．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝(2＋ai)i(其中a∈R)为“等部复数”，则复数＋ai在复平面内对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知复数z1＝a＋i，a∈R，z2＝1－2i，且z1·2为纯虚数，则|z1|等于(　　) A. B．2 C. D. 5．已知m，n为实数，1－i(i为虚数单位)是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根，则m＋n等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 6．已知复数z1与z＝3＋i在复平面内对应的点关于实轴对称，则等于(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 7．(2024·沧州模拟)设复数z满足|z－1＋i|＝2，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4 8．欧拉公式exi＝cos x＋isin x由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中不正确的是(　　) A．对应的点位于第二象限 B．为纯虚数 C.的模为 D．的共轭复数为－i 二、多项选择题 9．已知i为虚数单位，则下列结论中正确的是(　　) A．i＋i2＋i3＋i4＝0 B．3＋i>1＋i C．若复数z为纯虚数，则|z|2＝z2 D．复数－2－i的虚部为－1 10．已知复数z1，z2，1为z1的共轭复数，则下列结论中一定成立的是(　　) A．z1＋1为实数 B．|1|＝|z1| C．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 D．|z21|＝|z2z1| 三、填空题 11．已知i是虚数单位，则的值为________． 12．写出一个同时满足①②的复数z＝________. ①z3＝；②z∉R. 13.在复平面内，复数z与对应的点关于虚轴对称，则z＝________. 14．(2023·成都检测)已知|z|＝1，则|z－2－2i|(i为虚数单位)的最大值为________． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$