精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2025届高三上学期期中考试数学试题

齐市普高联谊校高三期中考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 是虚数单位，复数（ ） A. －1 B. 1 C. D. 2. 若数列的前项和，则等于（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 3. 已知函数为在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列为等比数列， ，则 （ ） A. B. C. 2 D. 6. 设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（ ） A. 15或16 B. 13或14 C. 16或17 D. 14或15 7. 我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数函数，则下列结论正确的是（    ） A. 若，则恰有个零点 B. 若恰有个零点，则的取值范围是 C. 若恰有个零点，则的取值范围是 D. 若，则恰有个零点 二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数的图像的对称中心是， C. 函数的递增区间是， D. 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位而得到 11. 正方形的边长为4，是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点，，则（ ） A. 最大值为1 B. 最大值为2 C. 存在使得 D. 最大值是8 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 已知单位向量满足，则方向上的投影向量为________. 13. 已知，则的最小值为______． 14. 设函数，则不等式的解集为 __________. 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数． （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）求在的最大值和最小值． 16. 已知数列满足. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 在锐角中，内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 18. 已知函数和 （1）若函数是定义域上的严格减函数，求的取值范围. （2）若函数和有相同的最小值，求的值 （3）若，是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列 19. 定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”. （1）已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列. （2）已知. （i）证明：数列为“线性数列”. （ii）记，数列的前项和为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 齐市普高联谊校高三期中考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 是虚数单位，复数（ ） A. －1 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将原式上下同乘以进行分母实数化即可求解. 【详解】由题意可得 故选：C. 2. 若数列的前项和，则等于（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据与关系求解即可. 【详解】. 故选：C. 3. 已知函数为在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分段函数在上单调递增，需要每一段都单调递增，并且在断开处也要满足增函数的定义，由此列出不等式求解即可. 【详解】当时，恒成立， 此时在单调递增； 当时，，当且仅当时，在单调递增； 因为在上单调递增，此时还需满足，解得， 综上所述：，故选：B. 4. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系得到，再由及两角差的正切公式计算可得. 【详解】解：因为，所以， 所以，又， 所以. 故选：D 5. 已知数列为等比数列， ，则 （ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质与通项公式即可得解. 【详解】因为为等比数列，则公比， 所以，又， 所以 ，解得， 又，而恒成立， 所以，则，故. 故选：C. 6. 设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（ ） A. 15或16 B. 13或14 C. 16或17 D. 14或15 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知及等差数列的通项公式、前n项和公式求基本量，结合及数列单调性确定取最小值时的值. 【详解】由，， 所以，数列的公差，且， 所以，且数列单调递增， 故取最小值时，的值为15或16. 故选：A 7. 我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，求得，再结合已知及余弦定理，求得的值，代入已知公式，即可求解. 【详解】由题意，因为，所以， 即， 又由，所以， 由因为，所以，所以，即， 因为， 由余弦定理可得，解得， 则的面积为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和两角和与差的正弦函数公式的化简求值的综合应用，意在考查推理与运算能力，属于中档试题. 8. 已知函数函数，则下列结论正确的是（    ） A. 若，则恰有个零点 B. 若恰有个零点，则的取值范围是 C. 若恰有个零点，则的取值范围是 D. 若，则恰有个零点 【答案】D 【解析】 【分析】令，可得或，求函数的导数，根据导数判断函数的单调性与取值情况，做出函数图像，数形结合可得解. 【详解】令， 则，解得或， 当时，，由，得；由，得， 则在上单调递减，在上单调递增，， 当时，，当时，取最大值，最大值为， 故的大致图象如图所示， 由图可知，有且仅有个实根. 当时，恰有个零点，故A选项错误； 由恰有个零点，则恰有个实根，且， 则或或，则B选项错误； 由恰有个零点，得恰有个实根，则或或，则选项错误； 当时，有个实根，则恰有个零点，故D单调正确； 故选：D. 二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图象得，解得，再由解得，再代值即可求解. 【详解】由图象可知，，则, 故，解得， 所以， 由得， 解得，即， 又因为， 所以， 所以， 故. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数的图像的对称中心是， C. 函数的递增区间是， D. 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位而得到 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角函数的周期性、对称性、单调性及图象变换的概念判断各选项． 【详解】对于A，时，，时，，不是函数的周期，A错； 对于B，，，因此函数图象对称中心是，，B正确； 对于C，，，，， 是增函数，在上是增函数，在上是减函数，因此原函数的增区间是，C正确； 对于D，函数的图像向右平移个单位得图象的函数解析式为，D正确． 故选：BCD． 11. 正方形的边长为4，是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点，，则（ ） A. 最大值为1 B. 最大值为2 C. 存在使得 D. 最大值是8 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题设条件，建立平面直角坐标系，把数量积问题转化为坐标运算来解决，结合三角函数的性质即可对选项进行判定． 【详解】以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示：设，， ，，，，， ，，， ，， ，解得， ，则，， ，时，取最大值1，正确； ，其中，，为锐角， 当即时，取最大值，故B错误； 若，则有， 整理得，得，即， 故不存在满足条件的值，即不存在符合条件的点，C错误； 由于， ，时，的最大值为8，D正确． 故选：AD． 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 已知单位向量满足，则方向上的投影向量为________. 【答案】 【解析】 【分析】先由题意结合向量模长公式求出，再根据投影向量公式即可求解. 【详解】，因为，所以， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为：. 13. 已知，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，，通过指数式与对数式互化用表示出，再借助基本不等式进行求解即可. 【详解】令，，则，， ， 令，，则，当且仅当，即时等号成立， ，即. 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 14. 设函数，则不等式的解集为 __________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式分析得为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，不等式等价于，求解即可. 【详解】函数，定义域为， ，函数为偶函数， 当时，在上单调递增， 则在上单调递减， 不等式，则有，解得且， 所以不等式解集为. 故答案为： 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数． （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）求在的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为，， （2）的最小值，最大值. 【解析】 【分析】（1）由三角函数恒等变换化简，由周期公式即可求得最小正周期；利用整体法求得对称轴方程， （2）先求出的范围，再由正弦函数的性质求最值． 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为． 令，，解得，， 所以函数图象的对称轴方程为，， 【小问2详解】 当时，，则，进而可得， 当时，即时，取最小值，时，即时，取最大值. 16. 已知数列满足. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） 由， 所以是首项、公比均为3的等比数列，故 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）通过构造思想，等式两边同时加1，即可证得等比数列，再求通项公式即可； （2）利用错位相减法直接求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）有，则， 所以， 两式相减，得 所以. 17. 在锐角中，内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理，正弦定理，同角三角函数的商数关系，两角和的正弦公式及诱导公式得，根据，即可得出，进而求解； （2）由余弦定理得，根据平面向量的线性运算得，进而得出，根据正弦定理，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式得出，结合，正弦函数的性质即可求解． 【小问1详解】 因为，由余弦定理得， 由正弦定理得， 又是锐角三角形，所以， 所以，所以， 又，所以． 【小问2详解】 由余弦定理可得， 又，所以 ， 由正弦定理可得，所以， ， 所以， 由题意得解得，则， 所以，所以， 所以，所以线段长的取值范围为． 18. 已知函数和 （1）若函数是定义域上的严格减函数，求的取值范围. （2）若函数和有相同的最小值，求的值 （3）若，是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列 【答案】（1） （2）1 （3）存在 【解析】 【分析】（1）求导，然后根据导函数不大于零恒成立，转化为最值求解即可； （2）分别求出两函数的最值，根据最值相等构造函数，求导研究函数单调性，进而可得的值； （3）求导研究函数和的单调性，及最值，设出其交点，进而求出三个不同的交点，根据等式可证明等差数列. 【小问1详解】 恒成立， 因为， 所以， 则的取值范围为； 【小问2详解】 定义域为， ，， 若，则，单调递增，无最小值， 故， 当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 故， 的定义域为， ，， 令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 故， 函数和有相同的最小值 ， ， 化为， 令，， 则， ， 恒成立， 在上单调递增， 又，仅有此一解， ； 【小问3详解】 （2）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增， 设， 则，当时，， 所以函数在上单调递增，因为， 所以当时，恒成立，即在时恒成立， 所以时，， 因为，函数在上单调递增，，函数在上单调递减， 所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为,， 此时可作出函数和的大致图象， 由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时， 直线必经过点,，即， 因为，所以，即， 令得， 解得或，由，得， 令得，解得或，由，得， 所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时， 从左到右的三个交点的横坐标依次为，，， 因为，所以， 所以，，成等差数列． 存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键点是找到两函数的交点对应的相关等式，才能求出3个交点时的横坐标. 19. 定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”. （1）已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列. （2）已知. （i）证明：数列为“线性数列”. （ii）记，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1）证明:因为为“线性数列”，所以， 所以，即，解得， 所以， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）（i）证明:因为，则， 令，即，解得，所以， 因为， 所以，所以数列为“线性数列”； （ii）证明:因为，则， 所以 ， 因为，，所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，则，即可求出、，从而得到，结合等比数列的定义证明即可； （2）（i）首先求出，令，求出、，再计算即可证明； （ii）由（i）可得，利用裂项相消法求出，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点点睛：本题解答关键是理解“线性数列”的定义，第二问的第一小问关键是，从而计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $