精品解析：甘肃省兰州市第八十一中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年度第一学期期中试卷 九年级数学 本卷满分120分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上； 一、选择题（本题共计12小题，每题3分，共计36分） 1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（　　） A. 当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形 B. 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C. 当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形 D. 当∠DAB＝90°时，四边形ABCD是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,有一个角是直角的平行四边形是矩形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断即可 【详解】A.四边形ABCD是平行四边形,AC=BD, 四边形ABCD是矩形,正确,故本选项错误 B.:四边形ABCD是菱形，AC⊥BD， 四边形ABCD是菱形,正确,故本选项错误; C.四边形ABCD是菱形，AC平分∠BAD， 四边形ABCD是菱形,正确,故本选项错误; D.四边形ABCD是平行四边形,∠DAB=90° 四边形ABCD是矩形,错误,故本选项正确 故选D. 【点睛】此题考查平行四边形的性质，正方形的判定和矩形的判定，掌握判定定理是解题关键 2. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为（　　） A. 5 cm B. 10 cm C. 14 cm D. 20 cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线AC与BD相交于点O， ∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，AB=BC=CD=AD， ∵AC=6cm，BD=8cm， ∴在Rt△AOB中，AO=3cm，BO=4cm，∠AOB=90°， 由勾股定理得：AB==5cm， ∴菱形的周长为4×5=20cm， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解答的关键． 3. 如图，矩形中，交于点，分别为的中点．若，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质和含角的直角三角形的性质得出，进而求出，再依据中位线的性质推知，即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形，交于点，， ， ，即， ， 分别为的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系． 4. 菱形的对角线相交于点O，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线交于点M，连接，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可求解．掌握菱形的性质是本题的关键． 【详解】由题意可得， 四边形是菱形，， ， ，为等边三角形， ， 故选：D． 5. 在“践行生态文明，你我一起行动”主题有奖竞赛活动中，九（1）班共设置“生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛内容，如果参赛同学抽到每一类别的可能性相同，那么小宇和小丽参赛时都抽到“生态知识”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法求概率．首先根据题意列出表格，根据概率公式即可求得答案． 【详解】解： “生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛分别用表示，列表如下， 小宇 小丽 共有中等可能结果，其中小宇和小丽参赛时都抽到“生态知识”的情形有1种， ∴小宇和小丽参赛时都抽到“生态知识”的概率是， 故选：D． 6. 用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，，即， ∴，， ∴． 故选：A． 7. 已知3是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 12或15 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】把x＝3代入已知方程求得a的值，然后求出该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可． 【详解】解：把x＝3代入方程得：， 解得a＝9， 则原方程为， 解得：， 因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长， ①当△ABC的腰为3，底边为6时，不符合三角形三边关系 ②当△ABC的腰为6，底边为3时，符合三角形三边关系，△ABC的周长为6＋6＋3＝15， 综上所述，△ABC的周长为15． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系． 8. 若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第(　　)象限． A. 四 B. 三 C. 二 D. 一 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据方程无实数根，求出m<-1，再判断一次函数的图象经过的象限问题． 【详解】解：∵一元二次方程x2-2x-m=0无实数根， ∴△=4+4m<0， 即m<-1， ∴一次函数的比例系数m+1<0， 图像经过二四象限， 截距m-1<0， 则图象与y轴交于负半轴，图像过第三象限 ∴一次函数y=(m+1)x+m-1的图像不经过第一象限， 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式、一次函数的图象，解题的关键是求出m的取值范围． 9. 如图，菱形的周长为40，面积为80，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．连接，由菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接， 菱形， ， 菱形的周长为40， ， ， 菱形的面积， ， 故选B． 10. 如图，在中，D，E分别为边，上的点，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．利用已知条件证明，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：C 11. 如图，在四边形中，，，，过点作，交于点．若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图，作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴≌， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故选． 12. 如图，在中，，为边上一动点，且于点，于点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，等面积法，解题的关键是要证明，此题根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，进一步得出四边形为矩形，则有，当时，最小，即可解答 【详解】解：连接，如图所示， ， ， 为直角三角形， 则， 又于点，于点， 四边形为矩形， ， 当时，最小，即此时有最小值， ， 即， ， 故选：C 二、填空题（本题共计4小题，每题3分，共计12分） 13. 如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，可得，即可判定四边形是菱形，继而求得答案． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是菱形， 四边形的周长为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质，证得四边形是菱形是解此题的关键． 14. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高度为 1m，那么它的下部应设计的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设雕像的下部高为x m，则上部长为（1-x）m，然后根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设雕像的下部高为x m，则题意得：， 整理得：， 解得： 或 (舍去)； ∴它的下部应设计的高度为. 故答案为. 【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大． 15. 如图所示，一张矩形纸片的长，宽，沿将矩形纸片剪成大小相同的两个小矩形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长x的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得． 【详解】解：剩下的矩形与原矩形相似， ， 一张矩形纸片的长，宽，沿将矩形纸片剪成大小相同的两个小矩形， ， ， 解得：（负数不合题意舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键． 16. 背面完全相同的四张卡片，正面分别写着数字-4，-1，2，3，背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为，再从余下的卡片中随机抽取一张，将卡片上的数字记为，则点在第四象限的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】第四象限点的特征是，所以当横坐标只能为2或3，纵坐标只能是或，画出列表图或树状图，算出满足条件的情况，进一步求得概率即可． 【详解】如下图： -4 -1 2 3 -4 -1 2 3 ∵第四象限点的坐标特征是， ∴满足条件的点分别是： ，共4种情况， 又∵从列表图知，共有12种等可能性结果， ∴点在第四象限的概率为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查概率的求解，要熟悉树状图或列表图的要点是解题关键． 三、解答题（本题共计11小题，共计72分） 17. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，运用合适的解法求解即可，掌握解一元二次方程的常见方法是解题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：移项得：， 配方得：， 即：， 开方得：， ∴； 【小问2详解】 移项得：， 因式分解得：，即， ∴或， 解得：． 18. 已知：a2+2a+b2﹣6b+10＝0，求ab的值. 【答案】-1. 【解析】 【分析】把10分成1和9，利用配方法得到两个完全平方式，根据非负数的和为0求出a、b的值，再计算ab． 【详解】解：∵a2+2a+b2﹣6b+10＝0， ∴a2+2a+1+b2﹣6b+9＝0， ∴(a+1)2+(b﹣3)2＝0 ∵(a+1)2≥0，(b﹣3)2≥0， ∴a+1＝0，b﹣3＝0 ∴a＝﹣1，b＝3． ∴ab＝(﹣1)3＝﹣1． 【点睛】本题考查了配方法、非负数的和及乘方运算．解决本题的关键是利用非负数的性质确定a、b的值． 19. 如图，已知，． （1）若，，．求的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． （1）先求出，根据，得出，代入数据求出结果即可； （2）根据，得出，根据，得出，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 略 20. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∵DF＝BE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）5 【解析】 【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可； （2）根据勾股定理求出BC长，求出AD＝DF，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形BFDE是矩形， ∴∠BFD＝90°， ∴∠BFC＝90°， 在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4， ∴BC＝5， ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∵AB∥DC， ∴∠DFA＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴AD＝DF， ∵AD＝BC， ∴DF＝BC， ∴DF＝5． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 21. “一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为 A、B、C、D 的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，列出所有可能出现的结果． （2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】（1） 方法一：列表如下： x y A B C D A B C D ∴由上表可知，所有等可能出现的结果为：，，，，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有12种． 方法二： ∴所有等可能出现的结果为：，，，，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有12种． （2） 这个游戏公平． 理由如下： 由（1）可知，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现可能性的大小相等． 其中两人恰好是师徒关系的有6种． 故 ， ， ∵， ∴该游戏公平． 【解析】 【分析】（1）利用树状图法或者列表法求解即可； （2）分别求出是师徒关系和不是师徒关系的概率，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查概率，熟练掌握概率的求法，会运用列表法或树状图法求概率是解题关键． 22. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为元时，月销售利润达元． 23. 如图，在中，是的平分线，过D作分别交于点E、F． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，连接，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． 由是的平分线知，， 由知， ∴ ∴ ∴四边形是菱形． （2）的长为 【解析】 【分析】（1）由可证四边形是平行四边形， 再由平分及可得，则，故四边形是菱形． （2）先由勾股定理求得的长，再利用菱形的性质知的长；再设，解可求得的长，再由，利用勾股定理可求得的长，再利用菱形的对角线平分可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴． 由菱形的对角线互相垂直平分的性质知， ，，． 设A，则． 在中， ∴ 解得：．即． ∴ ∴． 24. 某班在学习《利用相似三角形测高》时开展了“测量学校操场上旗杆的高度”的活动．小明将镜子放在离旗杆32m的点C处（即AC＝32m），然后沿直线AC后退，在点D处恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），根据物理学知识可知：法线l⊥AD，∠1＝∠2．若小明的眼睛离地面的高度DE为1.5m，CD＝3m，求旗杆AB的高度．（要有证明过程，再求值） 【答案】旗杆AB的高度为16m． 【解析】 【分析】直接利用已知进而得出△ECD∽△BCA，即可得到，代入数据即可求得旗杆AB的高度． 【详解】∵法线l⊥AD，∠1=∠2， ∴∠ECD=∠BCA， 又∵∠EDC=∠BAC=90°， ∴△ECD∽△BCA， ∴， ∵DE=1.5m，CD=3m，AC=32m， ∴， 解得：AB=16(m)， 答：旗杆AB的高度为16m． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． 25. 已知：如图，D，E，F分别是的边上的点，． （1）求证：． （2）若，，求和． 【答案】（1） 证明：，， ，，， ， ； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）通过两组平行，得到对应角相等，即可证； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，列出比例式即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 又，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 26. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）等腰三角形， 理由如下： 将代入方程，得：， 整理，得：， 即：， ∴， ∴为等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）将代入方程，进行整理即可判断的形状； （2）根据等边三角形三边相等，用表示，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ， 解得：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，以及解一元二次方程，同时考查了等腰三角形的判定和等边三角形的性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 27. 定义：如果三角形的两个内角α与β满足α＋2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”． （1）如图1，中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：为“奇妙三角形”； （2）若为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：是直角三角形； （3）如图2，中，BD平分∠ABC，若为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数． 【答案】（1） 证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD． ∵∠ACB＝80°， ∴∠A＋∠ABC＝100°． ∴∠A＋2∠ABD＝100°． ∴为“奇妙三角形”． （2）证明：∵∠C＝80°， ∴∠A＋∠B＝100°， ∵为“奇妙三角形”， ∴只能∠C＋2∠B＝100°（∠C＋2∠A＝100°）． ∴∠B＝10°（∠A＝10°）． ∴∠C＋∠B＝90°（∠C＋∠A＝90°）， ∴是直角三角形． （3）80°或100° 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义，可得∠ABC＝2∠ABD，由∠ACB＝80°，根据三角形内角和定理可得∠A＋∠ABC＝100°．进而可得∠A＋2∠ABD＝100°，结合新定义即可得证； （2）根据新定义可得只能∠C＋2∠B＝100°（∠C＋2∠A＝100°），则得出∠B＝10°（∠A＝10°），进而得出∠C＋∠B＝90°（∠C＋∠A＝90°），从而得证； （3）方法同（2）分2种情形条件即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵∠A＝40°， ∴∠C＋∠ABC＝140°， BD平分∠ABC， 为“奇妙三角形”，则只有以下两种情形， ①若 ②若 综上所述，∠C的度数为：80°或100°． 【点睛】本题考查了新定义三角形，三角形内角和定理的应用，三角形角平分线的意义，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中试卷 九年级数学 本卷满分120分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上； 一、选择题（本题共计12小题，每题3分，共计36分） 1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（　　） A. 当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形 B. 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C. 当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形 D. 当∠DAB＝90°时，四边形ABCD是正方形 2. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为（　　） A. 5 cm B. 10 cm C. 14 cm D. 20 cm 3. 如图，矩形中，交于点，分别为的中点．若，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 菱形的对角线相交于点O，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线交于点M，连接，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 在“践行生态文明，你我一起行动”主题有奖竞赛活动中，九（1）班共设置“生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛内容，如果参赛同学抽到每一类别的可能性相同，那么小宇和小丽参赛时都抽到“生态知识”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 7. 已知3是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 12或15 D. 15 8. 若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第(　　)象限． A. 四 B. 三 C. 二 D. 一 9. 如图，菱形的周长为40，面积为80，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 10. 如图，在中，D，E分别为边，上的点，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在四边形中，，，，过点作，交于点．若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 12. 如图，在中，，为边上一动点，且于点，于点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共计4小题，每题3分，共计12分） 13. 如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为________． 14. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高度为 1m，那么它的下部应设计的高度为_____． 15. 如图所示，一张矩形纸片的长，宽，沿将矩形纸片剪成大小相同的两个小矩形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长x的值为___________． 16. 背面完全相同的四张卡片，正面分别写着数字-4，-1，2，3，背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为，再从余下的卡片中随机抽取一张，将卡片上的数字记为，则点在第四象限的概率为__________． 三、解答题（本题共计11小题，共计72分） 17. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 18. 已知：a2+2a+b2﹣6b+10＝0，求ab的值. 19. 如图，已知，． （1）若，，．求的长； （2）求证：． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长． 21. “一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为 A、B、C、D 的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，列出所有可能出现的结果． （2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 22. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 23. 如图，在中，是的平分线，过D作分别交于点E、F． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，连接，求的长． 24. 某班在学习《利用相似三角形测高》时开展了“测量学校操场上旗杆的高度”的活动．小明将镜子放在离旗杆32m的点C处（即AC＝32m），然后沿直线AC后退，在点D处恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），根据物理学知识可知：法线l⊥AD，∠1＝∠2．若小明的眼睛离地面的高度DE为1.5m，CD＝3m，求旗杆AB的高度．（要有证明过程，再求值） 25. 已知：如图，D，E，F分别是的边上的点，． （1）求证：． （2）若，，求和． 26. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 27. 定义：如果三角形的两个内角α与β满足α＋2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”． （1）如图1，中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：为“奇妙三角形”； （2）若为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：是直角三角形； （3）如图2，中，BD平分∠ABC，若为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $