精品解析：黑龙江省哈尔滨市第一中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

哈尔滨市第一中学校2024－2025学年度上学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟，分值：150分 第Ⅰ卷 选择题（48分） 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个选项是正确的．） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直线方程求出直线的斜率，再得出直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，又倾斜角的范围在之间， 所以直线的倾斜角是. 故选：A. 2. 若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平方关系结合已知即可求出，由此即可得解. 【详解】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6， 所以，，则，，椭圆的标准方程为. 故选：B. 3. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】，， 由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为， 故选：C. 4. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件进行判断 【详解】当时，直线与直线， 即为直线与直线的斜率都是，纵截距不同，则两直线平行，是充分条件； 若直线与直线平行，当时，两直线方程都为，直线重合不符合题意， 当时，两直线平行则斜率相等，截距不相等，解得，是必要条件； 故选：C 5. 设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整理直线的方程，可得直线恒过点，当时，点到的距离最大时，即可求解. 【详解】∵直线：， ∴可将直线方程变形为， 由，解得， 由此可得直线恒过点， 当时，点到的距离最大时， ，则由，得. 故选：A. 6. 设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得点关于直线l的对称点的坐标，则即为的最小值. 【详解】设点关于直线l的对称点为， 则有，解之得，则， 则的最小值为 故选：B 7. 如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形ABCD是正方形，，点是与的交点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用基底表示向量，再将异面直线所成的角，转化为向量夹角的余弦公式，即可求解. 【详解】取的中点，连接，，因为，所以直线与所成角即为与所成的角，所以， 所以， 即，又因为， 所以，所以直线与所成角的余弦值为. 故选：B． 8. 某圆拱桥的拱高为，现有宽，水面以上的高度为米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：）在下列哪个区间内（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】适当建立平面直角坐标系，根据直线与圆的位置关系，结合弦长的求法可得拱桥的水面跨度，进而得解. 【详解】 由题意，建立平面直角坐标系如图所示， 则，，，，， 其中为圆拱桥的圆心．设拱桥所在的圆的方程为， 则， 解得，， 则圆形拱桥的水面跨度为， 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部全对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线过定点，可得，即可根据圆的弦长公式求解. 【详解】设圆心到直线的距离为， 由于直线恒过原点，且，故， 又，即， 故选：BCD． 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B. 直线l的方向向量，平面的法向是，则 C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D. 直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为 【答案】AC 【解析】 【分析】由可判断A；由可判断B；由可判断C；根据线面角的向量公式直接计算可判断D. 【详解】A选项：因为，且不重合，所以，A正确； B选项：因为，所以 所以或，B错误； C选项：因为，所以，C正确； D选项：记直线l与平面所成角为，则， 因为，所以，D错误. 故选：AC 11. 已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（ ） A. 若两圆有3条公切线，则 B. 若两圆公共弦所在的直线方程为，则 C. 若两圆公共弦长为，则 D. 若两圆在交点处的切线互相垂直，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，由两圆有条公切线，则两圆外切，由两圆圆心距与半径关系得；选项B，若两圆相交，由两圆方程作差得公共弦方程，先待定再验证相交可知；选项C，由半弦长、半径及圆心距关系可得；选项D，结合图形，由，可得等量关系求解. 【详解】设圆为圆，圆的圆心为，半径， 设圆为圆，圆的圆心为，半径， . A选项，若两圆有3条公切线，则两圆外切， 所以，A选项正确； B选项，由两式相减并化简得， 则， 此时，满足两圆相交，B选项正确； C选项，由两式相减并化简得， 到直线的距离为， 所以， 即，则解得或，C选项错误. D选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为， 根据圆的几何性质可知， 所以，D选项正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷 非选择题（92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将方程配成圆的标准方程形式，根据圆的标准方程即可求解. 【详解】方程，即 若它表示圆，则，即 故答案为：. 13. 已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为，则Q到平面的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】求出，得到点到平面的距离公式求出答案. 【详解】因为， 所以Q到平面的距离为. 故答案为： 14. 点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的任意一点，若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由斜率公式、点的坐标满足的条件等式可得，结合离心率公式即可求解. 【详解】由题意方程可知，，，设， 所以，，则，整理得：，①， 又，得，即，②， 联立①②，得，即，解得. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明:因为平面，平面，所以； 底面为菱形，所以； 又因为，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】由线面垂直性质定理得，菱形对角线垂直，可证； 建立空间直角坐标系，用平面与平面的法向量，求夹角余弦值，再转换为正弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图：  设，取的中点，连接，则 ，所以平面. 故可以以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为为直线与平面所成的角，所以. 又， 所以，，，，， 则，. 设平面的法向量为， 则， 取，则，则， 又为平面的法向量，设平面与平面所成的角为， ，则， ，即平面与平面所成角的正弦值为. 16. 已知直线和的交点为P． （1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程： （2）若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的一般式方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出已知直线的交点坐标，根据直线的平行关系，即可求得答案； （2）设直线方程的截距式，由题意列出相应方程组，即可求得答案. 【小问1详解】 联立，解得，即， 直线l经过点P且与直线平行， 故设直线l方程为，将代入得， 故直线l方程为； 【小问2详解】 由题意知直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5， 则其在坐标轴的截距不为0，设其方程为， 与两坐标轴的交点分别为，则， 解得或， 故直线m的方程为或， 即或. 17. 已知圆C过点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求AB的垂直平分线方程，联立直线l的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程； （2）根据点关于直线对称的特征列方程可得，利用直线点斜式方程即可得出结果. 【小问1详解】 由，得直线AB的斜率为，线段中点 所以，直线CD的方程为，即， 联立，解得，即， 所以半径， 所以圆C的方程为； 【小问2详解】 由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心， 设点M关于直线的对称点， 则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上， 则有，解得，所以， 所以直线CN即为直线，且， 直线方程为，即. 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的两个焦点分别是，，点M在上，且 . （1）求的标准方程； （2）若直线与交于A，B两点，且的面积为求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知可得，由椭圆的定义可得，根据椭圆中，，的关系可得，即可求解； （2）设，，联立直线和椭圆构成的方程组，根据可得，由韦达定理可得，，再根据，可得或，即可求解. 【小问1详解】 由题意，设的标准方程为， 则，，即，所以， 所以的标准方程为； 【小问2详解】 设，， 由联立得， 由题意，即， ，，显然直线过定点， 所以， 所以，即， 所以，解得或，均满足， 所以或. 19. 已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． （1）求的方程； （2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 【答案】（1） （2） 因为椭圆的方程为，所以， 因为为第一象限上的动点，设，则， 易得，则直线的方程为， ，则直线的方程为， 联立，解得，即， 而，则直线的方程为， 令，则，解得，即， 又，则，， 所以 ， 又，即， 显然，与不重合，所以. 【解析】 【分析】（1）结合题意得到，，再结合，解之即可； （2）依题意求得直线、与的方程，从而求得点的坐标，进而求得，再根据题意求得，得到，由此得解. 【小问1详解】 依题意，得，则， 又分别为椭圆上下顶点，，所以，即， 所以，即，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第一中学校2024－2025学年度上学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟，分值：150分 第Ⅰ卷 选择题（48分） 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个选项是正确的．） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形ABCD是正方形，，点是与的交点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 某圆拱桥的拱高为，现有宽，水面以上的高度为米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：）在下列哪个区间内（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部全对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B. 直线l的方向向量，平面的法向是，则 C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D. 直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为 11. 已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（ ） A. 若两圆有3条公切线，则 B. 若两圆公共弦所在的直线方程为，则 C. 若两圆公共弦长为，则 D. 若两圆在交点处的切线互相垂直，则 第Ⅱ卷 非选择题（92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______． 13. 已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为，则Q到平面的距离为______． 14. 点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的任意一点，若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值． 16. 已知直线和的交点为P． （1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程： （2）若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的一般式方程． 17. 已知圆C过点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的两个焦点分别是，，点M在上，且 . （1）求的标准方程； （2）若直线与交于A，B两点，且的面积为求的值. 19. 已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． （1）求的方程； （2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $