江苏省苏州市2024—2025学年上学期九年级数学期中模拟卷（7）

苏州市2024-2025学年第一学期初三数学期中模拟卷（7） （范围：九年级第1、3、4、5、8章 时间：120分钟 满分：130分） 一．选择题（共8小题） 1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．0 2．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方后所得的方程为（　　） A．（x+1）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+1）2＝0 D．（x﹣1）2＝0 3．已知x2﹣3x+1＝0，依据下表，它的一个解的范围是（　　） x 2.5 2.6 2.7 2.8 x2﹣3x+1 ﹣0.25 ﹣0.04 0.19 0.44 A．2.5＜x＜2.6 B．2.6＜x＜2.7 C．2.7＜x＜2.8 D．2.5＜x＜2.8 4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞且k≠1 B．k＞ C．k≥且k≠1 D．k≥ 5．袁隆平海水稻科研团队从甲、乙两种水稻苗中随机抽取部分稻苗测量苗高，算得它们的方差分别为，，则下列对苗高的整齐程度描述正确的是（　　） A．甲更整齐 B．乙更整齐 C．一样整齐 D．无法确定 6．对抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5的描述，其中说法错误的是（　　） A．图象的开口向下； B．图象的对称轴为直线x＝2 C．函数的最小值为5； D．当x＜2时，y随x的增大而增大 7．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位长度，在向上平移2个单位长度后，所得的抛物线的解析式为（　　） A．y＝2（x+1）2+2 B．y＝2（x﹣1）2+2 C．y＝2（x+1）2﹣2 D．y＝2（x﹣1）2﹣2 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c中自变量x的部分取值和对应的函数值y如表所示： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 下列说法中：①函数图象开口向上；②函数图象与y＝﹣3的交点坐标是（0，﹣3）、（2，﹣3）； ③当x＞2时，y随x的增大而增大；④顶点坐标是（1，﹣4）．正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共8小题） 9．已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，则代数式4﹣2a2+6a的值为 　 　． 10．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，5※3＝52﹣5×3＝10．若（x+5）※（3x﹣2）＝15，则x的值为　 　． 11．二次函数y＝x2+4x+6的顶点坐标是 　 　． 12．如图，交警统计了某个时段在一个路口来往车辆的车速（单位：千米/时）情况，则该时段内来往车辆的平均速度是　 　千米/时． 第12题第14题 13．记抛物线C1：y＝（x﹣2）2+3的顶点为A，抛物线C2：y＝ax2+1（a＜0）顶点是点B，且与x轴的正半轴交于点 C．当△ABC是直角三角形时，抛物线C2的解析式为　 　． 14．如图，在正方形ABCD中，AD＝4，点E、F分别为AB、BC上的动点，且AE＝BF，AF与DE交于点O，点P为EF的中点．在整个运动过程中，OP长的最小值为 　 　． 15．若关于x的二次函数y＝3x2﹣2x+m﹣1的值恒为正数，则m的取值范围为 　 　． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B（8，0），点C是△ABO的内心．直线a1、b1分别经过点A、B，且a1∥b1．若直线a1关于AC对称的直线为a2，直线b1关于BC对称的直线为b2，直线a2、b2交于点P，则CP的最大值为 　 　． 第16题 三．解答题（共8小题） 17．（1）计算：； （2）解方程：x2﹣4x+1＝0． 18．用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣4x﹣2＝0； （2）（x﹣1）（x+2）＝10． 19．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且+＝12，求m的值． 20．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元． （1）设每件商品降价x元，则每星期可卖出　 　件； （2）在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 21．近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差/千元2 “美团” ①　 　 6 6 1.2 “滴滴” 6 ②　 　 4 ③　 　 （1）完成表格填空； （2）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由． 22．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛．他们通过摸球的方式决定首场比赛的两个选手：在一个不透明的口袋中放入两个红球和一个白球，这些球除颜色外其他都相同，将它们搅匀，三人从中各摸出一个球，摸到红球的两人即为首场比赛选手．求甲、丙两人成为比赛选手的概率．（请用画树状图或列表等方法写出分析过程并给出结果．） 23．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案： 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 24．如图，二次函数的图象与x轴相交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴相交于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D． (1)求D点坐标； (2)求二次函数的解析式； (3)根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围． 25．对于实数a，b，新定义一种运算“※”：a※，例如：∵4＞1，∴4※1＝4×1﹣12＝3 （1）计算：2※（﹣1）＝　 　；（﹣1）※2＝　 　； （2）若x1和x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根且x1＜x2，求x1※x2的值； （3）若x※2与3※x的值相等，求x的值 26．如图，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于C、D两点，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点D，与直线相交于点E，且CD：DE＝4：3． （1）求点E的坐标和二次函数表达式； （2）过点D的直线交x轴于点M． ①当DM与x轴的夹角等于2∠DCO时，请直接写出点M的坐标； ②当DM⊥CD时，过抛物线上一动点P（不与点D、E重合），作DM的平行线交直线CD于点Q，若以D、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标． 部分参考答案与试题解析↵ 一 .选择题(共8小题)↵ 1.【考点】一元二次方程的定义. 【解答】解：由题意可知m-2≠0 且m²-2=2, 解得m=-2, 故选：A. 【点评】根据一元二次方程的定义，列出关于 m的一元二次方程和一元一次不等式，即可求解。+ 2.【考点】解一元二次方程一配方法. 【解答】解：移项得，x²-2x=1, 配方得，x²-2x+1=1+1,(x-1)²=2. 故选：B.↵ 【点评】本题考查了解一元二次方程--配方法，配方法的一般步骤： (1)把常数项移到等号的右边；+ (2)把二次项的系数化为1;↵ (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.↵ 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.↵ 3.【考点】估算一元二次方程的近似解. 【解答】解：由x=2.6时 ，x²-3x+1=-0.04<0,x=2.7 时，x²-3x+1=0.19>0,↵ 所以当x取2.6c22.7之间的某一个数时，x²-3x+1=0,↵ 即x²-3x+1=0的一个解的范围是2.6<x<2.7. 故选：B.↵ 【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两 边结果煎接近时，说明未知数的值煎接近方程的根.↵ 4.【考点】根的判别式；一元二次方程的定义. 【解答】解：∵关于x的一元二次方程(k-1)x²+2x-2=0 有两个不相等的实数根，↵· · ,解得： ∴k的取值范围是≠1 .故选：A. 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式△>0, 找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键。 5.【考点】方差. 【解答】解：因为 ,所以方差小的为甲，所以甲更整齐.故选：A. 【点评】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数 据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中， 各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定. 6.【考点】二次函数的性质；二次函数的最值. 【解答】解：A、抛物线y=-(x-2)²+5,a=-1 开口方向向下，选项正确，不符合题意；↵ B、抛物线y=-(x-2)²+5 的对称轴为直线x=2,选项正确，不符合题意； C、抛物线y=-(x-2)²+5 的最大值为5,选项不正确，符合题意；↵ D、抛物线y=-(x-2)²+5 开口方向向下，对称轴为直线x=2,当x<2时，y随x的增大而增大， 选项正确，不符合题意.故选：C. 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键。 7.【考点】二次函数图象与几何变换， 【解答】解：∵抛物线y=2x²向右平移1个单位长度，∴平移后解析式为：y=2(x-1)²,↵ ∴再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为：y=2(x-1)²+2, 故选：B.↵ 【点评】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键。 8.【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征. 【解答】解：由表格可知，函数图象开口向上，故①正确，符合题意；↵ 函数图象与y=-3 的交点坐标是(0,-3)、(2,-3),故②正确，符合题意；↵ 当x>2 时，y 随x的增大而增大，故③正确，符合题意；↵ 顶点坐标是(1,-4),故④正确，符合题意；故选：D.↵ 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意， 利用二次函数的性质解答.+ 二.填空题(共8小题)↵ 9.【考点】一元二次方程的解. 【解答】解：∵x=a是方程x²-3x-5=0的根，. ∴a²-3a-5=0,↵ ∴a²-3a=5,∴4-2a²+6a=4-2(a²-3a)=4-2×5=-6. 故答案为-6.↵ 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次 方程的解。 10.【考点】解一元二次方程-因式分解法._ 【解答】解：由题意，得：(x+5)²-(x+5)(3x-2)=15,↵ 整理得，23+3×-20=0,(x+4)(2x-5)=0,解得=-4或.故答案为：-4或 . 【点评】本题考查解一元二次方程，新定义问题，根据题意正确得到方程是解题的关键。↵ 11.【考点】二次函数的性质._ 【解答】解：把二次函数化为顶点式为：y=x²+4x+6=(x+2)²+2;↵ ∴顶点坐标为：(-2,2).故答案为：(-2,2). 【点评】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握二次函数顶点坐标式.↵ 12.【考点】加权平均数；条形统计图. 【解答】解：这些车的平均速度是：(40×2+50×3+60×4+70×5+80×1)÷15=60(千米时);↵ 故答案为：60.↵ 【点评】此题考查了加权平均数及条形统计图的知识，掌握加权平均数的计算公式是解本题的关键. 13.【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求 二次函数解析式. 【解答】解：由y=(x-2)²+3 和y=a²+1(a<0) 知 ：A(2,3) 、B(0,1),↵ ∴AB²=(2-0)²+(3-1)²=8. ∵ 抛物线C₂ 的顶点B(0,1) 在y轴 上 ， ∴抛物线C2的解析式为y=cx²+1. 设点C 坐标为(c,0),↵ ∴AC²=(2-c)²+3²=c²-4c+13,BC²=c²+1. ∵△ABC是直角三角形，则：①当∠ABC=90°时 ，AC²=BC²+AB²,↵ 即c²-4c+13=(c²+1)+8,解得：c=1..C₁ (1,0),↵ 将点C1坐标代入y=a²+1 得：a+1=0; 解得：a=-1,↵ ∴.抛物线C2的解析式为：y=-x²+1, ②当∠BAC=90°时，BC²=AC²+AB²,即 c²+1=(c²-4c+13)+8,解得：c=5,∴C₂(5,0),↵ 将点C2坐标代入y=a²+1得：25a+1=0,解得： ∴抛物线C₂ 的解析式为： 综上，当△ABC为直角三角形时，抛物线C2的解析式为：y=-x+1或1. 故答案为：y=-x²+1 或 + 【点评】考查抛物线与x 轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数性质等知识点，难度较大. 14.【考点】正方形的性质._ 【解答】解：∵∠ADE=∠BAF,∴∠ADE+∠D4F=∠BAF+∠DAF=90°,∴∠EOF=∠AOD=90°, 又∵点P 为EF 的中点，∴,设AE=BF=x, 则BE=4-x, ∴.EF=√BF²+BE²=√x²+(4-x)²=√2(x-2)²+8, ∴当x=2时 ，EF 最小为2√2,即OP最小为√2;故答案为： √2.↵ 【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次函数的最值，根据全 等三角形的判定和性质得到∠EOF=∠AOD=90°,是解题的关键。 15.【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点. 【解答】解：由题知，抛物线的开口向上，又因为二次函数的函数值恒为正数， 所以(-2)²-4×3×(m-1)<0,解得.故答案为： 16.【考点】三角形的内切圆与内心；坐标与图形变化一对 . 【解答】解：作△ABO 的内切圆分别与O4、OB、AB 相切于点D、E、F,↵ ∵点C 是△ABO的内心，∴点C 是△ABO的内切圆的圆心，↵ 连接CD、CE、CF,则CD=CE=CF,CD⊥OA,CELOB,CF⊥AB,↵ ∵∠ODC=∠OEC=∠DOE=90°,∴四边形ODCE 是矩形， ∵OD=OE,∴四边形ODCE是正方形，A(0,6),B(8,0),∠AOB=90°, . ∴.OA=6,OB=8,:AB=√oA²+0B²=√6²+8²=10, ∵AD=AF,BE=BF,∴AD+BE=AF+BF=AB=10, ∴OD+OE=2OD=0A+OB-(AD+BE)=6+8-10=4,↵ ∴CF=CD=OD=2,∴AF=AD=04-OD=6-2=4,↵ 设直线 a1交x 轴于点G,H 为直线b₁ 上一点，↵ ∵a₁#b1,∴∠AGB=∠OBH,∵∠AOG=90°,∴∠OAG+∠OBH=∠OAG+∠AGB=90°,↵ ∵直线a1关于AC对称的直线为a2, 直线b1关于BC对称的直线为b,↵ ∴∠PAC=∠GAC,∠PBC=∠HBC,∵∠BAC=∠OAC,∠ABC=∠OBC,↵ ∴∠PAC-∠BAC=∠GAC-∠OAC,∠PBC-∠ABC=∠HBC-∠OBC,↵ ∴∠PAB=∠0AG,∠PBA=∠OBH,∴∠PAB+∠PB4=∠OAG+∠OBH=90°,∴∠APB=90°,+ 取AB的中点I,连接CI、Pr,则 ∴FI=AI-AF=5-4=1, ∵∠CFI=90°,∴cI=√cF²+FI²=√2²±1²=√5, ∵CP=CI+PI,且CI+PI= √5+5,∴CP≤ √5+5,∴CP的最大值为 √5+5,故答案为： √5+5.↵ 【点评】此题重点考查图形与坐标、三角形的内心的性质、切线的性质、切线长定理、正方形的判 定与性质、勾股定理、平行线的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助 线是解题的关键。 三.解答题(共8小题)↵ 17.【考点】解一元二次方程一配方法；实数的运算；零指数幂. 【解答】解：(1)原式=2 √2- √2+1= √2+1; (2)x²-4x+1=0,x²-4x=-1,x²-4x+4=-1+4, 即 (x-2)²=3.↵ .x-2=±√3,.x₁=2+√3,x₂=2-√3. 【点评】本题考查了一元二次方程和实数的混合运算，是基础知识要熟练掌握.↵ 18.【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程一配方法。 【解答】解：(1)移项得x²-4x=2,↵ 方程配方得：x²-4x+4=2+4, 即 (x-2)²=6,↵ 开平方得：x-2=± √6,解得：x=2+ √6,x₂=2- √6;↵ (2)整理得x²+x-2=10,即 x²+x-12=0,原方程可化为：(x+4)(x-3)=0,↵ ∴x+4=0或x-3=0, 解得：x1=-4,x₂=3. 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法和因式分解法是解题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$