13.5.3　角平分线课件　2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

13.5.3　角平分线 第13章 全等三角形 - 13.5.3　角平分线 探究与应用 课堂小结与检测 第13章　全等三角形 探究一　角平分线的性质定理 [问题情境] 如图13-5-15,某地政府要在S区建立一个集贸市场M,使它到公路、铁路的距离相等,这个集贸市场应建于何处? 图13-5-15 解:如图,作∠AOB的平分线OP,满足条件的 点M在射线OP上. 探究与应用 [操作证明] (1)角是轴对称图形吗?它的对称轴在哪里? (2)用折纸的方法作角平分线时,将∠AOB对折,再折成直角三角形,后再展开如图13-5-16所示,观察两个 直角三角形全等吗?两条直角边PE,PD有什 么关系?并说明理由. 图13-5-16 解:(1)角是轴对称图形,角平分线所在的直线 是它的对称轴. 探究与应用 (2)两个直角三角形全等,PE=PD. 理由:由题易知OC是∠AOB的平分线,∴∠AOC=∠BOC. ∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠ODP=∠OEP=90°. 在△OPD和△OPE中, ∵∠POD=∠POE,∠ODP=∠OEP,OP=OP, ∴△OPD≌△OPE(A.A.S.), ∴PE=PD. 探究与应用 (1)角是轴对称图形,但角平分线不是角的对称轴,角平分线所在的直线才是角的对称轴; (2)角平分线的性质定理中的相等“距离”是点到线的“垂线段的长度”相等. 到三角形各边距离相等的点在三角形任意两个内角平分线的交点处,利用分割三角形面积的方法可以求出点到各边的距离. 知 重点 探究与应用 [概括新知] 角平分线的性质定理:角平分线上的点到　　 　　的 　　　　相等.  几何语言:如图13-5-17. ∵BP平分∠ABC,且PD⊥AB于点D, PE⊥BC于点E, ∴PD=PE. 图13-5-17 角两边 距离 探究与应用 应用一　利用角平分线的性质定理进行证明 例1 如图13-5-18,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为E,D,CF=CB.求证:BE=FD. 图13-5-18 证明:∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD, ∴CD=CE,△CBE,△CFD均为直角三角形. 在Rt△CBE和Rt△CFD中, ∵CB=CF,CE=CD, ∴Rt△CBE≌Rt△CFD(H.L.), ∴BE=FD. 探究与应用 运用角平分线的性质定理时,必须写清两个条件: ①指明点在角的平分线上;②两条线段必须是点到角两边的垂线段. 知 关键 探究与应用 探究二　角平分线的性质定理的逆定理 [推理证明] 1.已知:如图13-5-19,PD⊥OA,PE⊥OB,D,E为垂足,PD=PE. 求证:点P在∠AOB的平分线上. 图13-5-19 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△DOP与Rt△EOP中, ∵PD=PE,OP=OP, ∴Rt△DOP≌Rt△EOP, 探究与应用 ∴∠AOP=∠BOP, ∴OP是∠AOB的平分线, 即点P在∠AOB的平分线上. 探究与应用 2.根据上述两个定理,我们就能证明:三角形的三条角平分线交于一点. 已知:如图13-5-20,AD,BE是△ABC的角平分线,AD,BE相交于点O. 求证:∠ACB的平分线也过点O. 图13-5-20 证明:连结CO,延长CO交AB于点F,过点O作OH ⊥AC于点H,作OG⊥BC于点G,作OI⊥AB于点I. ∵AD是∠BAC的平分线,且点O在AD上, 探究与应用 ∴OH=OI. ∵BE是∠ABC的平分线,且点O在BE上, ∴OG=OI,∴OH=OG. 又∵OH⊥AC,OG⊥BC, ∴CF是∠ACB的平分线, ∴∠ACB的平分线也过点O. 探究与应用 [概括新知] 1.角平分线的性质定理的逆定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的　　 　　上.  几何语言:如图13-5-21. ∵PD⊥AB,PE⊥BC,且PD=PE, ∴点P在∠ABC的平分线上. 2.三角形的三条角平分线交于一点,并且该点到三角形三边的距离都相等. 图13-5-21 平分线 探究与应用 应用二　利用角平分线的性质定理的逆定理进行证明 例2 如图13-5-22,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,BF,CE交于点D,且BD=CD.求证:点D在∠BAC的平分线上. 图13-5-22 证明:∵BF⊥AC,CE⊥AB,∴∠CFD=∠BED=90°. 在△BDE和△CDF中, ∵∠BED=∠CFD,∠BDE=∠CDF,BD=CD, ∴△BDE≌△CDF(A.A.S.),∴DE=DF. 又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴点D在∠BAC的平分线上. 探究与应用 应用三　利用角平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题 例3 如图13-5-23所示,AB,AC,BC是某公园三条两两相交的小路,管理人员为了方便游人休息,打算修建一个小亭子,使小亭子到三条小路的距离相等.请你用尺规作图的方法为工作人员选好位置.(要求:设计两种方案供工作人员 选择) 图13-5-23 探究与应用 解:(方案不唯一)如图,方案一:分别作∠CAB,∠ABC的平分线,相交于点P,则点P就是小亭子的位置. 方案二:分别作∠BAE,∠ABF的平分线,相交于点P',则点P'就是小亭子的位置. 探究与应用 (1)遇到角的平分线,常作的辅助线是取角平分线上的点向角的两边作垂线; (2)实际问题中若提到诸如“到三条路的距离相等”的语句,需作角的平分线解决. 得 技巧 探究与应用 求点到三角形各边的距离 如图13-5-24,在△ABC中,∠B=90°,AB=7,BC=24,AC=25. (1)△ABC内是否有一点到各边的距离相等?如果有,请作出这一点,并说明理由; (2)求这点到各边的距离. 【延伸拓展】 图13-5-24 探究与应用 解:(1)△ABC内有一点到各边的距离相等.如图,作∠BAC,∠ACB的平分线,它们的交点P即为符合要求的点. 理由:作PE⊥AB,PF⊥BC,PG⊥AC,垂足分别为E,F,G. ∵AP是∠BAC的平分线,∴PE=PG. ∵CP是∠ACB的平分线, ∴PF=PG,∴PE=PF=PG. (2)连结BP,设PE=PF=PG=x. ∵S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP, 探究与应用 ∴AB·BC=AB·x+BC·x+AC·x, ∴7×24=(7+24+25)·x, 解得x=3, 即这点到各边的距离为3. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 课堂小结与检测 A [检测] 1.如图13-5-25,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥ OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为 (　　) A.6 　 　 B.5 　　　 C.4 　　　 D.3 图13-5-25 课堂小结与检测 2.如图13-5-26,PD⊥OA,PE⊥OB,D,E为垂足,PD=7 cm,当PE=　　　　cm时,点P在∠AOB的平分线上.  图13-5-26 7 课堂小结与检测 3.如图13-5-27,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为　　　　.  图13-5-27 15 课堂小结与检测 4.如图13-5-28,已知E是∠AOB的平分线上的一点,EC⊥OA, ED⊥OB,垂足分别为C,D,连结CD. 求证:∠ECD=∠EDC. 图13-5-28 证明:∵E是∠AOB的平分线上的一点, EC⊥OA,ED⊥OB, ∴DE=CE,∴∠ECD=∠EDC. 课堂小结与检测 应用二 例2　[解析] 要证点D在∠BAC的平分线上,需证DE=DF,可先证△BDE≌△CDF. 证明:∵BF⊥AC,CE⊥AB, ∴∠CFD=∠BED=90°. 在△BDE和△CDF中, 相关解析 ∵∠BED=∠CFD,∠BDE=∠CDF,BD=CD, ∴△BDE≌△CDF(A.A.S.),∴DE=DF. 又∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴点D在∠BAC的平分线上. 应用三 例3　[解析] 要使小亭子到AB,AC边的距离相等,根据角平分线的性质定理的逆定理,可知小亭子应在∠CAB的平分线上;要使小亭子到AB,BC边的距离相等,则小亭子应在∠ABC的平分线上,所以分别作∠CAB和∠ABC的 平分线,便可确定符合要求的小亭子的位 置.另一种方案类似. 解:(方案不唯一)如图,方案一:分别作∠CAB,∠ABC的平分线,相交于点P,则点P就是小亭子的位置. 方案二:分别作∠BAE,∠ABF的平分线,相交于点P',则点P'就是小亭子的位置. 谢 谢 观 看！ $$