13.3.2　等腰三角形的判定课件　2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

13.3.2　等腰三角形的判定 第13章 全等三角形 - 13.3.2　等腰三角形的判定 探究与应用 课堂小结与检测 第13章　全等三角形 探究一　等腰三角形的判定 [问题情境] 如图13-3-10,某地质专家为估测一条东西流向的河流的宽度,他选择以河流北岸上的一棵树(点A)为目标,然后在这棵树正南方的南岸点B处插一面小旗作标志, 再沿南偏东60°方向走一段距离到点 C处时,测得∠ACB=30°.这时,地质专 家测得BC的长度是50米,就可知河流 宽度是50米. 图13-3-10 探究与应用 你知道这样估测河流宽度的根据是什么吗?他是怎么知道BC的长度等于河流宽度的呢? 图13-3-10 解:根据是“等角对等边”.由题意可得∠CAB+∠ACB=60°,∠ACB=30°, ∴∠CAB=∠ACB=30°, ∴AB=BC, ∴测得的BC的长度等于河流的宽度. 探究与应用 [猜想证明] 1.等腰三角形的定义是什么,它可以用来判定等腰三角形吗? 2.我们知道,等腰三角形的两个底角相等,它的逆命题是什么? 解:有两条边相等的三角形是等腰三角形,它既是等腰三角形的定义,也是等腰三角形的一种判定方法. 解:逆命题:如果一个三角形中有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形. 探究与应用 3.已知:如图13-3-11,在△ABC中,∠B=∠C.求证:AB=AC. 图13-3-11 证明:过点A作AD⊥BC于点D, 则∠ADB=∠ADC=90°. 在△ABD与△ACD中, ∵∠B=∠C,∠ADB=∠ADC,AD=AD, ∴△ABD≌△ACD(A.A.S.), ∴AB=AC. 探究与应用 [概括新知] 等腰三角形的判定: (1)定义法:如果一个三角形有　 　　相等,那么这个三角形是等腰三角形;  (2)判定定理:如果一个三角形有　 　 　相等,那么这两个角所对的　　　　也相等(简写成“等角对等边”).  两条边 两个角 边 探究与应用 (1)在未判定出等腰三角形之前,不能用“腰”“底角”“顶角” “底边”这些名词; (2)“等边对等角”与“等角对等边”都是指同一个三角形中边角之间的对应关系. 防 易错 探究与应用 应用一　利用等腰三角形的判定定理进行判定 例1 如图13-3-12,已知D为BA延长线上的一点,AE∥BC,AE平分∠DAC.求证:AB=AC. 图13-3-12 证明:∵AE平分∠DAC, ∴∠DAE=∠CAE. ∵AE∥BC,∴∠DAE=∠B,∠CAE=∠C, ∴∠B=∠C, ∴AB=AC. 探究与应用 例2 如图13-3-13,在△ABC中,BA=BC,D是AB延长线上一点, DF⊥AC于点F,交BC于点E.求证:△DBE是等腰三角形. 图13-3-13 证明:∵BA=BC,∴∠A=∠C. ∵DF⊥AC, ∴∠A+∠D=90°,∠C+∠CEF=90°, ∴∠D=∠CEF. 又∵∠CEF=∠BED,∴∠D=∠BED, ∴DB=EB,∴△DBE是等腰三角形. 探究与应用 例3 如图13-3-14,在△ABC中,BC=10,△AMN的周长为12,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,MN经过点O,分别与AB,AC相交于点M,N,且MN∥BC,则△ABC的周长等于　　　　.  图13-3-14 22 探究与应用 探究二　等边三角形的判定 [猜想证明] 1.根据等边三角形的定义,我们知道三条边都相等的三角形是等边三角形,那么三个角都相等的三角形是等边三角形吗? 解:三个角都相等的三角形是等边三角形. 探究与应用 2.求证:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 解:略 探究与应用 善 归纳 一般三角形与等腰三角形的联系 探究与应用 [概括新知] 等边三角形的判定: (1)定义法:三条边都　　　　的三角形是等边三角形;  (2)判定定理1:三个角都　　　　的三角形是等边三角形;  (3)判定定理2:有一个角等于60°的　　　　三角形是等边三角形.  相等 相等 等腰 探究与应用 应用二　利用等边三角形的性质与判定解决问题 例4 如图13-3-15,已知△ABC是等边三角形,且∠1=∠2=∠3.求证:△DEF为等边三角形. 图13-3-15 证明:∵∠1=∠2,∠FDE=∠1+∠ABD, ∴∠FDE=∠2+∠ABD=∠ABC. ∵△ABC为等边三角形, ∴∠ABC=60°,∴∠FDE=60°. 同理可得∠FED=∠DFE=60°, ∴△DEF为等边三角形. 探究与应用 等边三角形的性质和判定的综合运用 如图13-3-16,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上, DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数; (2)求证:DC=CF. 【延伸拓展】 图13-3-16 解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°. ∵DE∥AB,∴∠B=∠EDC=60°. 探究与应用 ∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°, ∴∠F=90°-60°=30°. (2)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠ACB=60°. ∵DE∥AB,∴∠A=∠DEC=60°,∠B=∠EDC=60°, ∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°, ∴△DEC是等边三角形,∴CE=DC. ∵∠ECD=∠F+∠CEF,∠F=30°, ∴∠CEF=∠F=30°,∴EC=CF, ∴DC=CF. 探究与应用 等边三角形是一个非常特殊的几何图形,它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础,它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件.同时等边三角形又是特殊的等腰三角形,同样具备三线合一的性质,解题时要善于挖掘图形中的隐含条件. 知 重点 探究与应用 [本课时认知逻辑] 课堂小结与检测 B [检测] 1.在△ABC中,若∠A=40°,∠B=70°,则△ABC的形状是 (　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 课堂小结与检测 2.下列三角形不一定是等边三角形的是 (　　) A.有两个内角是60°的三角形 B.三边都相等的三角形 C.有一个角是60°的等腰三角形 D.有两个外角相等的等腰三角形 3.在△ABC中,AB=AC,∠B=60°,BC=2 cm,则AC的长为 　　　　cm.  D 2 课堂小结与检测 4.如图13-3-17,AC和BD相交于点O,且AB∥DC,OC=OD. 求证:OA=OB. 图13-3-17 证明:∵OC=OD,∴∠C=∠D. ∵AB∥DC,∴∠A=∠C,∠B=∠D, ∴∠A=∠B,∴OA=OB. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$