13.3.1　等腰三角形的性质课件　2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

13.3.1　等腰三角形的性质 第13章 全等三角形 - 13.3.1　等腰三角形的性质 探究与应用 课堂小结与检测 第13章　全等三角形 探究一　等腰三角形的相关概念及其性质 [操作观察] 如图13-3-1,把一张长方形的纸按图13-3-1中虚线对折,并剪去阴影部分,再把剩余部分展开.从剪出的图形观察△ABC的特点,可以发现△ABC是　　　　三角形,即AB=　　　　.  等腰 图13-3-1 AC 探究与应用 [概括新知] 有两条边相等的三角形叫做　　　　三角形,相等的两边都叫做　　 　,另一边叫做　　　　,两腰的夹角 叫做　　　　,腰和底边的夹角叫做　　　　.  图13-3-2 等腰 腰 底边 顶角 底角 探究与应用 [猜想证明] 1.如图13-3-3,把一张等腰三角形纸片ABC对折,让两腰AB, AC重合在一起,折痕为AD. (1)折叠的两部分重合吗?可以得到什么结论? (2)∠B和哪个角可以重合? 可以得到什么结论? 图13-3-3 探究与应用 解:(1)折叠的两部分重合.结论:等腰三角形是一个轴对称图形,折痕AD所在的直线是它的对称轴. (2)∠B与∠C可以重合.结论:等腰三角形的两底角相等. 探究与应用 2.在△ABC中,已知AB=AC.求证:∠B=∠C. 证明:取BC的中点D,连结AD. ∵D是BC的中点,∴BD=CD. 在△ABD与△ACD中, ∵AB=AC,AD=AD,BD=CD, ∴△ABD≌△ACD(S.S.S.), ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). 探究与应用 3.通过上面第2题的证明,你还能发现什么? 解:等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合(三线合一),且均为等腰三角形的对称轴. 探究与应用 [概括新知] 等腰三角形的性质: (1)等腰三角形的两底角　　　　(简写成“等边对等角”);  (2)等腰三角形底边上的　　　　、　　　　及顶角的 　　　　互相重合(简称“三线合一”);  (3)等腰三角形是轴对称图形,顶角的平分线(底边上的中线、底边上的高)所在的直线就是该等腰三角形的　　　　.  注意:“三线合一”是等腰三角形特有的性质,在等腰三角形中,若“三线”知“一线”,则其余“两线”也成立. 相等 高 中线 平分线 对称轴 探究与应用 应用一　利用等腰三角形边或角的性质进行分类讨论 例1 若等腰三角形的一个内角为70°,则另外两个内角的度数分别是 (　　) A.55°,55° B.70°,40°或70°,55° C.70°,40° D.55°,55°或70°,40° D 探究与应用 例2 已知等腰三角形的周长为17 cm,一边长为4 cm,求它的腰长. 解:①若4 cm是腰长,则底边长为17-4-4=9(cm). ∵4+4<9,∴不能组成三角形,故舍去; ②若4 cm是底边长,则腰长为=6.5(cm),4 cm,6.5 cm,6.5 cm能 组成三角形. 综上所述,这个等腰三角形的腰长是6.5 cm. 探究与应用 学 方法 等腰三角形中求角的分类讨论 已知等腰三角形ABC的一个角,如∠A: 探究与应用 应用二　利用等腰三角形“三线合一”的性质解题 例3 如图13-3-4,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的中线,点E在边AC上,且AD=AE.若∠BAC=50°,求: (1)∠BAD的度数; (2)∠ADE的度数. 图13-3-4 解:(1)∵AB=AC,AD是△ABC的中线, ∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形的“三线合一”). ∵∠BAC=50°,∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=25°. 探究与应用 (2)∵AD=AE, ∴∠ADE=∠AED. ∵∠DAE+∠ADE+∠AED=180°, ∴∠ADE=(180°-∠DAE)=×(180°-25°)=77.5°. 图13-3-4 探究与应用 学 方法 等腰三角形中求角的分类讨论 (1)当等腰三角形涉及边的问题,且不确定已知的边是底边还是腰时,要按照“腰”和“底边”两种情况分类讨论;(2)要利用三角形三边关系来判断三角形是否存在,把不合题意的情况舍去. 探究与应用 探究二　等边三角形的概念及其性质 [推理证明] 如图13-3-5,若△ABC是等边三角形,求证:∠A=∠B=∠C=60°. 图13-3-5 证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC. 在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C. 同理∠A=∠C, ∴∠A=∠B=∠C. 在△ABC中,∵∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠A=∠B=∠C=60°. 探究与应用 [概括新知] 1.等边三角形的概念:　　 　　都相等的三角形是等边三 角形.  2.等边三角形的性质: (1)等边三角形的各个角都　　　　,并且每一个角都等于 　　　　°;  (2)等边三角形的三条边都　　　　,三个角都相等,也称为 　 　　　;  三条边 相等 60 相等 正三角形 探究与应用 (3)等边三角形是轴对称图形,有　　　　条对称轴;  (4)等边三角形是特殊的等腰三角形,等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 3 探究与应用 例4 如图13-3-6,△ABC是等边三角形,BD⊥AC于点D,E是BC延长线上的一点,DE=DB.求∠E的度数. 应用三　利用等边三角形的性质解题 图13-3-6 解:∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC,∠ABC=60°. 又∵BD⊥AC, ∴∠DBC=∠ABC=30°. ∵DB=DE, ∴∠E=∠DBC=30°. 探究与应用 添加“三线合一”辅助线解题 如图13-3-7,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证: BD=CE. 【延伸拓展】 图13-3-7 证明:过点A作AG⊥BC于点G. 又∵AB=AC,AD=AE, ∴BG=CG,DG=EG, ∴BG-DG=CG-EG, 即BD=CE. 探究与应用 等边三角形每一条边上的中线、高和其所对角的平分线都互相重合. 知 规律 探究与应用 [本课时认知逻辑] 课堂小结与检测 A [检测] 1.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5,则它的周长为 (　　) A.12　　　B.9　　　C.12或9　　　D.9或7 课堂小结与检测 2.如图13-3-8,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,∠B=40°,则∠BAD等于 (　　) A.100° B.80° C.50° D.40° 3.在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,则∠B的度数为　　　　.  图13-3-8 C 30° 课堂小结与检测 4.如图13-3-9,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,中线AD与角平分线BE相交于点F,求∠AFE的度数. 图13-3-9 解:∵AB=AC,∠BAC=100°, ∴∠ABC=∠C==40°. ∵BE是△ABC的角平分线,∴∠ABE=∠ABC=20°. ∵AB=AC,∠BAC=100°,AD是中线, ∴∠BAD=50°, ∴∠AFE=∠ABE+∠BAD=20°+50°=70°. 课堂小结与检测 应用一 例1　D　[解析] (1)当70°角是顶角时,另两个角相等,都等于×(180°-70°)=55°;(2)当70°角是底角时,另一个底角也是70°,顶角=180°-70°×2=40°.因此另外两个内角的度数分别是55°,55°或70°,40°.故选D. 相关解析 谢 谢 观 看！ $$