13.2.4　第2课时　角角边课件　2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

第2课时　角角边 第13章　 全等三角形 - 第2课时　角角边 探究与应用 课堂小结与检测 第13章　全等三角形 探究一　“A.A.S.“定理 [推理证明] 我们知道,如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等.如图13-2-27中的两个三角形,利用三角形内角和等于180°,结合“角边角”基本事实,给出下面这个题的证明过程. 已知:如图13-2-27,∠A=∠D, ∠C=∠F,AB=DE. 求证:△ABC≌△DEF. 图13-2-27 探究与应用 证明:∵∠A=∠D,∠C=∠F(已知), ∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和等于180°), ∠D+∠E+∠F=180°(三角形内角和等于180°), ∴∠B=∠E(等式的性质). 在△ABC和△DEF中, ∵∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E, ∴△ABC≌△DEF(A.S.A.). 探究与应用 [概括新知] 1.“A.A.S.”定理:两角分别相等且其中一组等角的          相等的两个三角形全等.简记为A.A.S.(或角角边).  2.几何语言:如图13-2-28,在△ABC和△A'B'C'中, ∵∠A=∠A',∠B=∠B',BC=B'C', ∴△ABC≌△A'B'C'(A.A.S.). 图13-2-28 对边 探究与应用 (1)“角边角”是基本事实,“角角边”是定理; (2)满足“角边角”证明条件的三角形必可以用“角角边”证明; (3)“角角边”是“角边角”的推论,但不可因此认为只要满足“两角一边”相等的两个三角形就全等. 细 琢磨 探究与应用 应用一　利用“A.A.S.”定理证明三角形全等 例 1 已知:如图13-2-29,在△ABC中,AD为BC边上的中线, CE⊥AD,BF⊥AD,垂足分别为E,F. 求证:△CED≌△BFD. 图13-2-29 证明:∵CE⊥AD,BF⊥AD, ∴∠CED=∠BFD=90°(垂直的定义). ∵AD为BC边上的中线, ∴BD=CD(三角形的中线的定义). 探究与应用 在△CED与△BFD中, ∵∠CED=∠BFD(已证), ∠EDC=∠FDB(对顶角相等),CD=BD(已证), ∴△CED≌△BFD(A.A.S.). 探究与应用 探究二　全等三角形对应边上的高、中线和对应角的平分线的关系 [推理证明] 1.我们知道在三角形中有三种特殊的线段,即三角形的高、中线和角平分线,请你证明下面的问题: 已知:如图13-2-30,△ABC≌△A'B'C', AD,A'D'分别是△ABC和 △A'B'C'的高. 求证:AD=A'D'. 图13-2-30 探究与应用 证明:∵△ABC≌△A'B'C', ∴AB=A'B',∠B=∠B'(全等三角形的对应边、对应角相等). ∵AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高, ∴∠ADB=∠A'D'B'=90°. 在△ABD和△A'B'D'中, ∵∠B=∠B',∠ADB=∠A'D'B',AB=A'B', ∴△ABD≌△A'B'D'(A.A.S.), ∴AD=A'D'(全等三角形的对应边相等). 探究与应用 2.由此例可得到全等三角形对应边上的高相等,依此类推,还可以证明全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线分别对应　　　　.  相等 探究与应用 应用二　利用全等三角形对应边上的高、中线和对应角的平分线分别相等进行计算或证明 例 2 如图13-2-31,△ABC≌△A'B'C',AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线.求证:△BAD≌△B'A'D'. 图13-2-31 证明:∵△ABC≌△A'B'C',AD,A'D' 分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线, ∴∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C', AD=A'D', ∴∠BAD=∠B'A'D'. 探究与应用 在△BAD和△B'A'D'中, ∵∠B=∠B',∠BAD=∠B'A'D',AD=A'D', ∴△BAD≌△B'A'D'(A.A.S.). 探究与应用 在全等三角形中,一定要准确理解“对应”二字;另外,“对应边 (角)”与“对边(角)”是不同的概念,要注意辨别. 防 易错 探究与应用 应用三　利用“A.A.S.”解决实际问题 例 3 如图13-2-32是小明和小颖两人玩跷跷板时的示意图,O是跷跷板AB的中点,支柱OE与地面垂直,长度为50 cm,若小明到水平线CD的距离AM为40 cm,求小颖到地面的距离. 图13-2-32 解:由题意,得∠AMO=∠BNO=90°, NF=OE=50 cm,AO=BO. 在△AMO与△BNO中, ∵∠AMO=∠BNO,∠AOM=∠BON,AO=BO, 探究与应用 ∴△AMO≌△BNO(A.A.S.), ∴BN=AM=40 cm, ∴BF=BN+NF=40+50=90(cm). 答:小颖到地面的距离为90 cm. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 课堂小结与检测 D [检测] 1.如图13-2-33,点B,E,C,F在同一直线上,已知∠A=∠D, ∠B= ∠DEF,要直接利用A.A.S.说明△ABC≌△DEF,需补充的条件是 (　　) A.∠ACB=∠F 　　　　 B.AB=DF C.AB=DE 　　　　　 D.AC=DF 图13-2-33 课堂小结与检测 2.如图13-2-34,D,E是△ABC的边BC上的两,AD=AE, ∠ADB= ∠AEC,现要直接用“A.A.S.”定理来证明三角形全等,请你再添加一个条件:　　　 　,使△ABD≌△ACE.  图13-2-34 ∠B=∠C 课堂小结与检测 3.如图13-2-35,在四边形ABCD中, AD∥BC,∠A=90°, CE⊥ BD, 垂足为E,AB=EC.求证:△ABD≌△ECB. 图13-2-35 证明:∵∠A=90°,CE⊥BD, ∴∠A=∠BEC=90°. ∵AD∥BC,∴∠ADB=∠EBC. 又∵AB=EC, ∴△ABD≌△ECB(A.A.S.). 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$