13.2.3　边角边.课件　2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

13.2.3　边角边 第13章　 全等三角形 - 13.2.3　边角边 探究与应用 课堂小结与检测 第13章　全等三角形 探究　“S.A.S.“基本事实 [分类讨论] 1.我们知道如果两个三角形有一组(或两组)对应相等的元素,那么这两个三角形不一定全等.如果两个三角形有三组对应相等的元素(边或角),那么会有哪几种可能的情况? 解:有四种情况:两边一角对应相等、两角一边对应相等、三角对应相等、三边对应相等. 探究与应用 2.如果已知一个三角形的两边及一角,那么有几种可能的情况呢? 解:有两种情况:一种情况是角夹在两条边的中间,形成两边夹一角;另一种情况是角不夹在两边的中间,形成两边一对角. 探究与应用 (1)应用“边角边”判定两个三角形全等时,一定要保证相等的角必须是分别对应相等的两边的夹角,即“两边夹一角”; (2)书写两个三角形全等时,一定要对应顶点放在对应的位置上; (3)“边边角”不是不能证明三角形全等,需分情况讨论,不具有“一般性”,因此并未将其作为基本事实,在此一定要区别“边角边”与“边边角”. 防 易错 探究与应用 [操作发现] 画一个三角形,使三角形的其中两边长分别为2.5 cm和3 cm,一个内角为45°. (1)在你所画的三角形中,长度为2.5 cm和3 cm的两边的夹角是45°的三角形有几种? (2)在你所画的三角形中,45°角的邻边长是3 cm,它所对的边长是2.5 cm的三角形有几种? 解:画图略.(1)1种.　(2)2种. 探究与应用 [概括新知] 1.基本事实:两边及其　　　　分别相等的两个三角形全等.简记为S.A.S.(或边角边). 2.几何语言:如图13-2-11,在△ABC和△DEF中, ∵AB=DE,∠B=∠E,BC=EF, ∴△ABC≌△DEF(S.A.S.).  图13-2-11 夹角 探究与应用 “边边角”不能判定三角形全等 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形           全等.  如图13-2-10所示,在△ABC和△ABD中,虽然有AB=AB, AC= AD, ∠B=∠B,但它们显然不全等. 得 结论 　 图13-2-10 不一定 探究与应用 应用一　利用“S.A.S.”证明三角形全等 例 1 如图13-2-12,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C. 求证:△ABF≌△DCE. 图13-2-12 证明:∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF, 即BF=CE. 在△ABF和△DCE中, ∵AB=DC,∠B=∠C,BF=CE, ∴△ABF≌△DCE(S.A.S.). 探究与应用 应用二　利用三角形全等求线段或角 例 2 如图13-2-13,AB=AC,F,E分别是AB,AC的中点,若∠C=25°,求∠B的度数. 　图13-2-13 解:25° 探究与应用 证明三角形全等找条件时:①用不同的符号标出不同的条件,有利于找缺少的条件;②与边有关的隐含条件有公共边,与角有关的隐含条件有公共角、对顶角. 记 技巧 探究与应用 例 3 如图13-2-14,已知AC=DB,∠ACB=∠DBC. 求证:∠ABE=∠DCE. 图13-2-14 证明:在△ABC和△DCB中, ∵AC=DB,∠ACB=∠DBC,BC=CB, ∴△ABC≌△DCB(S.A.S.), ∴∠ABC=∠DCB, ∴∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB, 即∠ABE=∠DCE. 探究与应用 应用三　应用“S.A.S.”解决实际问题 例 4 (教材练习T3变式)如图13-2-15,小明设计了一种测量零件内径AB的卡钳.在制作卡钳时,他先找来两根钢条AC,BD,并在两根钢条上找到各自的中点M,N,然后将两根钢条的中点M,N重合固定在一起,使AC,BD可以绕固定点M(N)自由转动.若测得CD= 3 cm,则该零件的内径AB=　　　　cm. 在上述过程中,所用到的判定三角形 全等的依据是　 　 　　.  图13-2-15 3 S.A.S.(或边角边) 探究与应用 “倍长中线法”构造三角形全等 【延伸拓展】 【问题提出】倍长中线法是初中数学一种重要的几何证明方法,如图13-2-16①,在△ABC中,AD是BC边上的中线,若延长AD至点E,使DE=AD,连结EC, 可以根据“S.A.S.”证明 △ABD≌△ECD,则AB=EC. 图13-2-16 探究与应用 【解决问题】如图②,在Rt△ABO和Rt△CDO中,AO=OB, OC=OD,连结AC,BD,E是BD的中点.求证:OE=AC. 图13-2-16 探究与应用 证明:如图,延长OE至点F,使得EF=OE,连结BF. ∵E是BD的中点, ∴BE=DE. 在△BEF和△DEO中, ∵EF=EO,∠BEF=∠DEO,BE=DE, ∴△BEF≌△DEO(S.A.S.), 则BF=OD=OC,∠FBE=∠ODE, ∴BF∥OD,∴∠OBF=180°-∠BOD. 探究与应用 ∵∠AOC=360°-∠AOB-∠COD-∠BOD=180°-∠BOD, ∴∠OBF=∠AOC. 在△OBF和△AOC中, ∵OB=AO,∠OBF=∠AOC,BF=OC, ∴△OBF≌△AOC(S.A.S.), ∴OF=AC. ∵OE=OF, ∴OE=AC. 探究与应用 用 通法 “倍长中线法”就是将三角形的中线延长一倍,构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题.即当题目中出现中线(或过中点的线段)时,延长已知中线到某点,使新线段(延长的部分)的长度等于已知中线的长度,再证全等,从而把一些分散的线段集中到一个三角形中来解决问题. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 课堂小结与检测 C [检测] 1.如图13-2-17,已知AB=CB,若根据“S.A.S.”判定△ABD≌ △CBD, 需要补充的一个条件是(　　) A.∠A=∠C 　　　　 B.∠ADB=∠CDB C.∠ABD=∠CBD D.BD=BD 图13-2-17 课堂小结与检测 2.思考:如图13-2-18,把一长一短的两根木棍的一端固定在一起,摆出△ABC,固定住长木棍,转动短木棍,得到△ABD. (1)能直观地看出△ABC与△ABD的形状与大小均不相同,说明这两个三角形不　　　　;  (2)这个实验说明                        .   图13-2-18 全等 如果两个三角形的两边和其 中一边所对的角分别相等,那么这两个三角形 不一定全等 课堂小结与检测 3.如图13-2-19,已知CE=CB,∠1=∠2,AC=DC. 求证:△ABC≌△DEC. 图13-2-19 证明:∵∠1=∠2, ∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE, 即∠ACB=∠DCE. 在△ABC和△DEC中, ∵BC=EC,∠ACB=∠DCE,AC=DC, ∴△ABC≌△DEC. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$