14.1.2　直角三角形的判定课件　2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

14.1.2　直角三角形的判定 第14章　 勾股定理 - 14.1.2　直角三角形的判定 探究与应用 课堂小结与检测 第14章　勾股定理 探究　直角三角形的判定 [操作发现] 试画出三边长度分别为如下数据的三角形,看看它们是一些什么样的三角形: (1)a=3 cm,b=4 cm,c=5 cm; (2)a=4 cm,b=6 cm,c=8 cm; (3)a=6 cm,b=8 cm,c=10 cm. 解:画图略. 可以发现,按(1)(3) 所画的三角形都是直角三角形,最长边所对的角是直角;按(2)所画的三角形不是直角三角形. 探究与应用 [猜想证明] 由[操作发现]我们可提出猜想:一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,这个三角形是直角三角形. 已知:如图14-1-20,在△ABC中,AB=c,BC=a, AC=b,a2+b2=c2. 求证:∠C=90°. 图14-1-20 探究与应用 证明:如图,作△A'B'C',使∠C'=90°,A'C'=b,B'C'=a,则A'B'2=a2+b2=c2,即A'B'=c. 在△ABC和△A'B'C'中, ∵BC=a=B'C',AC=b=A'C',AB=c=A'B', ∴△ABC≌△A'B'C', ∴∠C=∠C'=90°. 探究与应用 [概括新知] 1.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有关系 　　　　　　,那么这个三角形是直角三角形,且边c所对的角为直角.  2.勾股数:能够成为直角三角形三条边长的三个　　　　,称为勾股数.  a2+b2=c2 正整数 探究与应用 应用一　利用勾股定理的逆定理判定直角三角形 例1 试判断以下以a,b,c为三边长的三角形是不是直角三角形.如果是,那么哪一条边所对的角是直角? (1)a=25,b=20,c=15;(2)a=40,b=9,c=40;(3)a=5,b=12,c=13. 解:(1)∵202+152=252,∴b2+c2=a2, ∴以a,b,c为三边长的三角形是直角三角形,a边所对的角是直角. (2)∵402+92≠402,∴a2+b2≠c2, ∴以a,b,c为三边长的三角形不是直角三角形. (3)∵52+122=132,∴a2+b2=c2, ∴以a,b,c为三边长的三角形是直角三角形,c边所对的角是直角. 探究与应用 例2 如图14-1-21,已知∠C=90°,AB=12,BC=3,CD=4,AD=13,求∠ABD的度数. 图14-1-21 解:在Rt△BCD中,∵∠C=90°,BC=3,CD=4, ∴BD==5. 在△ABD中,∵AD2=132=169, AB2+BD2=122+52=144+25=169, ∴AD2=AB2+BD2, ∴△ABD是直角三角形,且∠ABD=90°. 探究与应用 应用二　辨别一组数是不是勾股数 例3 下列各组数中不是勾股数的是 (　　) A.3,4,5　　　　B.4,5,6　　　　C.5,12,13　　　　D.6,8,10 B 探究与应用 勾股数必须满足的两个条件 (1)三个数都是正整数; (2)较小两数的平方和等于最大数的平方. 知 条件 探究与应用 1.求非直角三角形的面积 如图14-1-22,在△EFG中,EF=15 cm,FG=14 cm,EG=13 cm,求△EFG的面积. 【延伸拓展】 图14-1-22 解:如图,过点E作EH⊥FG于点H. 在Rt△EFH和Rt△EGH中, 由勾股定理,得EH2=EF2-FH2,EH2=EG2-GH2, 所以EG2-GH2=EF2-FH2. 探究与应用 设FH=x,则GH=14-x. 因为EF=15,EG=13, 所以132-(14-x)2=152-x2, 解得x=9, 所以EH==12, 所以S△EFG=FG·EH=×14×12=84(cm2). 故△EFG的面积为84 cm2. 探究与应用 学 方法 当题目中已知为非直角三角形的三边长,可通过作高构造直角三角形,借助勾股定理建立边长之间的关系,进而求得结论. 探究与应用 2.与旋转结合求角度 如图14-1-23,△ABC是等边三角形,P为△ABC内的一点,将△CPB绕点C顺时针旋转60°得到△CDA.若PA=20,PB=12, PC=16,求∠ADC的度数. 图14-1-23 探究与应用 解:如图,连结DP. ∵△CPB绕点C顺时针旋转60°得到△CDA, ∴△CDA≌△CPB,∠DCP=60°, ∴AD=PB=12,CD=CP,∴△CDP为等边三角形, ∴∠CDP=60°,CD=PC=DP=16. ∵122+162=202,∴AD2+DP2=AP2, ∴△ADP是直角三角形,且∠ADP=90°, ∴∠ADC=∠ADP+∠CDP=90°+60°=150°. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 课堂小结与检测 [检测] 1.下列各组数为勾股数的是 (　　) A.5,12,13 　　　 　B.3,4,7 C.4,7.5,8.5 　 　　　D.8,15,16 A 课堂小结与检测 2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,如果三边长满足b2-a2=c2,那么△ABC中互余的一对角是　　　 　　.  3.一个三角形的三边长分别为15,20,25,则这个三角形的面积为　　　　.  ∠A和∠C 150 课堂小结与检测 4.如图14-1-24,在△ABC中,D是BC上的一点,若AB=10,BD=6, AD=8,AC=17,求CD的长. 图14-1-24 解:15 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$