14.1.3　反证法课件　2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

14.1.3　反证法 第14章　 勾股定理 - 14.1.3　反证法 探究与应用 课堂小结与检测 第14章　勾股定理 探究　反证法的含义及其步骤 [操作发现] 我们已经知道,当一个三角形的三边长a,b,c(a≤b≤c)有关系a2+b2=c2时,这个三角形一定是直角三角形.那么,如果此时a2+b2≠c2,这个三角形是否一定不是直角三角形呢? 探究与应用 请你画出图形,再按要求回答: 画出以如下各组数为边长的三角形,算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方,再观察它们的图形,你发现了什么? (1)a=1.0 cm,b=2.4 cm,c=2.6 cm; (2)a=2 cm,b=3 cm,c=4 cm; (3)a=2 cm,b=2.5 cm,c=3 cm. 探究与应用 解:画图略.我们可以发现,第一组恰好满足a2+b2=c2,由勾股定理的逆定理可知,组成的三角形是一个直角三角形,与所画图形一致.而另外两个三角形的较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方,所画图形都不是直角三角形. 探究与应用 [猜想证明] 1.根据上面的操作,你能得出什么结论?你能从已知条件出发,直接经过推理,证明你得出的结论吗? 解:当一个三角形的三边长a,b,c(a≤b≤c)有关系a2+b2≠c2时,这个三角形不是直角三角形.从已知条件出发直接经过推理证明比较困难. 探究与应用 2.证明:(1)假设它是一个直角三角形; (2)根据勾股定理,一定有a2+b2=c2,与已知条件a2+b2≠c2矛盾; (3)因此假设不成立,即它不是一个直角三角形. 探究与应用 [概括新知] 反证法: 1.概念:像[猜想证明]中的证明方法叫做“反证法”,用反证法不是直接证明结论,而是间接地去否定与结论相反的一面,从而得出事物真实的一面,它是一种间接的证明方法. 探究与应用 2.步骤: (1)假设结论的　　 　是正确的;  (2)通过　　　　　,推出与　　　　　、已证的　 　　、 　 　 　或　　 　　相矛盾;  (3)从而说明　 　　　不成立,进而得出　　　　　正确.  反面 演绎推理 基本事实 定理 定义 已知条件 假设 原结论 探究与应用 运用反证法证明时,常见结论的否定类型 知 类型 结论词 否定类型 是 不是 都是 不都是 大（小）于 不大（小）于 能 不能 相等 不相等 探究与应用 知 类型 结论词 否定类型 至少有一个 一个也没有 至少有n个 最多有(n-1)个 最多有一个 至少有两个 负数 非负数 探究与应用 应用　利用反证法进行证明 例1 求证:在一个三角形中,至少有一个内角大于或等于60°. 证明:假设△ABC中没有一个内角大于或等于60°, 则∠A<60°,∠B<60°,∠C<60°, ∴∠A+∠B+∠C<180°, 这与三角形的内角和等于180°矛盾. 故在一个三角形中,至少有一个内角大于或等于60°. 探究与应用 例2 用反证法证明: 如图14-1-25,在△ABC中,已知∠C是直角.求证:∠B一定是锐角. 图14-1-25 证明:假设∠B不是锐角,则∠B是直角或钝角. 若∠B是直角,则∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形的内角和等于180°矛盾; 若∠B是钝角,则∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形的内角和等于180°矛盾. 综上所述,假设不成立,所以∠B一定是锐角. 探究与应用 用反证法证明简单的事实 用反证法证明:等腰三角形的底角是锐角. 【延伸拓展】 证明:假设等腰三角形的底角不是锐角,则有两种情况: (1)当底角是直角时,此时三个内角的和大于180°, 这与三角形的内角和等于180°矛盾, 所以底角是直角不成立; 探究与应用 (2)当底角是钝角时,此时三个内角的和大于180°, 这与三角形的内角和等于180°矛盾, 所以底角是钝角不成立, 所以假设不成立, 所以等腰三角形的底角是锐角. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 课堂小结与检测 B [检测] 1.用反证法证明命题“在△ABC中,∠A,∠B的对边分别为a,b,若∠A<∠B,则a<b”应假设 (　　) A.a>b 　　B.a≥b 　　C.a=b 　　D.a≤b 课堂小结与检测 2.用反证法证明:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角不互补,那么这两条直线不平行. 已知:如图14-1-26,直线l1,l2被l3所截,∠1+∠2≠180°. 求证:l1与l2不平行. 图14-1-26 课堂小结与检测 证明:假设l1　　　l2,  则∠1+∠2　　　　180°(两直线平行,同旁内角互补),  这与　　　　　　　相矛盾,故　　　　不成立.  所以　　　　　　　　.  图14-1-26 ∥ = ∠1+∠2≠180°　 假设 l1与l2不平行 课堂小结与检测 3.用反证法证明“在一个三角形中,外角最多有一个是锐角”. 证明:假设一个三角形中的外角至少有两个是锐角,则有两种 情况: (1)当三角形中的外角有两个角是锐角时,根据三角形的外角与其相邻的内角互补,知与这两个角相邻的两个内角一定是钝角,则这两个角的度数和一定大于180°,这与三角形的内角和定理相矛盾,所以三角形中的外角有两个角是锐角不成立; 课堂小结与检测 (2)当三角形中的外角有三个角是锐角时,根据三角形的外角与其相邻的内角互补,知与这三个角相邻的三个内角一定是钝角,则三角形的内角和大于180°,这与三角形的内角和定理相矛盾,所以三角形中的外角有三个角是锐角不成立.故在一个三角形中,外角最多有一个是锐角. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$