14.1.1　第2课时　勾股定理的证明及简单应用课件　-2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

第2课时　勾股定理的证明及 简单应用 第14章　 勾股定理 - 第2课时　勾股定理的证明及简单应用 探究与应用 课堂小结与检测 第14章　勾股定理 探究　勾股定理的证明及应用 [推理证明] 在上节课中,我们仅仅是通过测量和数格子,探索具体的直角三角形,进而发现了勾股定理,如何证明勾股定理呢?事实上,现在已经有几百种勾股定理的证明方法,这节课我们也将去证明勾股定理. 探究与应用 1.如图14-1-11是四个全等的直角三角形(两直角边分别为a和b,斜边为c)拼成的一个正方形.根据这一图形可以证明勾股定理,请你试一试,写出完整的证明过程. 图14-1-11 探究与应用 证明:题图中大正方形的边长是c,因此大正方形的面积可表示为c2. 大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成,因此大正方形的面积还可以表示为4·ab+(b-a)2. 所以c2=4·ab+(b-a)2. 整理,得a2+b2=c2. 探究与应用 2.用四个全等的直角三角形还可以拼成如图14-1-12所示的图形.与第1题中的方法类似,根据这一图形也能证明勾股定理.请你试一试,写出完整的证明过程. 图14-1-12 证明:题图中大正方形的边长是a+b,因此大正方形的面积可表示为(a+b)2,大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成, 因此大正方形的面积还可以表示为4·ab+c2,所以(a+b)2=4·ab+c2,整理得a2+b2=c2. 探究与应用 [概括新知] “弦图”是勾股定理的一种面积证法,图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积就不会改变.利用面积关系再结合代数变形就可以证明几何命题,这是一种常用的证明方法. 探究与应用 应用一　进行勾股定理的证明 例1 勾股定理是一个基本的平面几何定理,也是数学中最重要的定理之一.勾股定理可以用很多种方法证明.如图14-1-13是美国第20任总统加菲尔德证明勾股定理所用的图形.以a,b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状,使 C,B,D三点在一条直线上.你能利用该图 证明勾股定理吗?写出你的证明过程. 图14-1-13 探究与应用 解:能.证明:∵Rt△ACB≌Rt△BDE, ∴∠CAB=∠DBE. ∵∠CAB+∠ABC=90°, ∴∠ABC+∠DBE=90°, ∴∠ABE=180°-90°=90°, ∴△ABE是一个等腰直角三角形,则S△ABE=c2. 探究与应用 ∵S梯形ACDE=(a+b)2, S梯形ACDE=S△ABC+S△BDE+S△ABE=ab+ab+c2=ab+c2, ∴(a+b)2=ab+c2, 即a2+b2=c2. 探究与应用 学 方法 探索勾股定理的方法 (1)探索勾股定理时找面积相等是关键; (2)由面积之间的等量关系,并结合图形进行代数变形可推导出勾股定理. 探究与应用 应用二　利用勾股定理解决简单问题 例2 如图14-1-14所示,在四边形ABCD 中,∠B=∠D=90°, BC=2,CD=3,AD=4,求AB的长. 图14-1-14 解:如图,连结AC. 在Rt△ACD中,∠D=90°, CD=3,AD=4, 由勾股定理, 得AC2=AD2+CD2=42+32=25, 探究与应用 因为AC>0,所以AC=5. 在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2,AC=5, 由勾股定理,得AB2=AC2-BC2=52-22=21, 因为AB>0,所以AB=. 探究与应用 例3 如图14-1-15,一梯子AB斜靠在一竖直墙面AC上,测得梯子的顶端到地面的距离为8 m,若梯子的顶端沿墙面下滑2 m,此时梯子的底端B滑到了D处,测得BD=2 m,求梯子AB的长度. 图14-1-15 解:由题意可得,∠ACB=90°,AC=8 m,AE=2 m, BD=2 m,∴CE=6 m. 设BC=x m,则CD=(x+2) m, 探究与应用 在Rt△ACB中,AB2=AC2+BC2, 在Rt△ECD中,ED2=EC2+DC2. ∵AB=DE, ∴AC2+BC2=EC2+DC2, 即82+x2=62+(x+2)2,解得x=6, ∴AB2=82+62=100,∴AB=10 m. 故梯子AB的长度为10 m. 探究与应用 勾股定理在三角形及四边形中的应用 (1)添线应用. 应用勾股定理的前提是在直角三角形中,当题目中没有直角三角形时,可以通过作高等方式,把非直角三角形的问题转化为直角三角形的问题,再应用勾股定理求解. 知 应用 探究与应用 (2)借助方程应用. 题目中虽然有直角三角形,但是已知线段的长不全是直角三角形的边长,可以设出直角三角形的边长,通过建立方程,解答这类计算问题. 知 应用 探究与应用 最短距离与勾股定理 如图14-1-16,高速公路的同侧有A,B两个村庄,它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1=2 km,BB1=4 km,A1B1= 8 km.现要在高速公路上A1,B1之间设一个出口P,使A,B两个村庄到点P的距离之和最短, 求这个最短距离和. 【延伸拓展】 图14-1-16 探究与应用 解:作点B关于MN的对称点B',连结AB',交A1B1于点P,连结BP,则AP+BP=AP+PB'=AB',易知点P即为到点A,B距离之和最短的点.过点A作AE⊥BB'于点E,则AE=A1B1=8 km, B'E=B1E+B'B1=2+4=6(km). 由勾股定理,得B'A2=AE2+B'E2=82+62=100, ∴AB'=10 km, 即AP+BP=AB'=10 km. 故出口P到A,B两个村庄的最短距离和是10 km. 探究与应用 解这类题的关键在于运用几何知识正确找到符合条件的点P的位置. 知 关键 探究与应用 [本课时认知逻辑] 勾股定理 课堂小结与检测 D [检测] 1.如图14-1-17,为测量小区内池塘最宽处A,B两点间的距离,在池塘边选定一点C,使∠BAC=90°,并测得AC的长为18 m, BC的长为30 m,则最宽处A,B两点间的距离为(　　) A.18 m 　 　B.20 m 　 　 C.22 m 　 　D.24 m 图14-1-17 课堂小结与检测 2.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图14-1-18,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到长方形AEFG的位置,连结CF,此时∠FAC=90°, AB=a,BC=b,AC=c.请利用直角 梯形BCFG的面积证明勾股定 理:a2+b2=c2. 图14-1-18 课堂小结与检测 证明:∵S梯形BCFG=S△AFG+S△AFC+S△ACB=ab+c2+ab=ab+c2, S梯形BCFG=(FG+BC)·BG=(a+b)(a+b)=a2+ab+b2, ∴ab+c2=a2+ab+b2. 整理,得a2+b2=c2. 课堂小结与检测 3.如图14-1-19,一木杆在离地B处断裂,木杆顶部落在离木杆底部8米处(即AC=8米),已知木杆原长16米,求木杆断裂处B离地面的高度AB. 图14-1-19 解:设木杆断裂处B离地面的高度AB为x米. 由题意,得x2+82=(16-x)2,解得x=6. 答:木杆断裂处B离地面的高度AB为6米. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$