5.1.2 等式的性质 课件 2024-2025学年人教版数学七年级上册

第五章 一元一次方程 5.1.2 等式的性质 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 等式的性质 6. 课堂小结 2. 知识回顾 7. 当堂小练 CONTENTS 3. 新课导入 5. 知识点2 利用等式的性质解方程 8. 拓展与延伸 1. 理解等式的概念，掌握等式的性质； 2. 能利用等式的性质解简单的一元一次方程. 学习目标 知识回顾 1. 什么是方程 含有未知数的等式叫作方程. 2. 什么是方程的解 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解. 3. 什么是解方程 求方程的解的过程，叫作解方程. 新课导入 对比天平与等式，你有什么发现？ 若把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的砝码，则等号成立就可看作是天平保持两边平衡. 等号 等式的左边 等式的右边 新课讲解 知识点1 等式的性质 【探究1】等式的概念 问题1：这些式子有什么特点？ 观察下面式子：，，，. 都是用等号连接而成的式子. 问题2：如果分别用字母、表示式子的左右两边，那么这些式子都可以用式子 来表示. 用等号表示相等关系的式子叫做等式. 我们可以用表示一般的等式. 6 新课讲解 √ √ √ √ √ 练一练 新课讲解 问题1：若，则 . 【探究2】等式的基本事实 问题2：如果，，那 . 即等式具有对称性. 即等式具有传递性. 这说明等式两边可以交换. 这说明相等关系可以传递. 新课讲解 【探究3】等式的基本性质1 问题1：观察天平有什么特性？ 天平两边同时加入相同质量的砝码 天平仍然平衡 天平两边同时拿去相同质量的砝码 天平仍然平衡 9 新课讲解 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数(或式子)，结果仍相等. 如果，那么. 问题2：引入负数后，在有理数的范围内，这条性质还成立吗？你可以用一些具体的数试一试. 成立.如：，. 10 新课讲解 3×3＋1＝5×2； (3×3＋1)×6___5×2×6； (3×3＋1)÷6 ___5×2÷6； (3×3＋1)×(-2) ___5×2×(-2) ； (3×3＋1)÷(-2) ___5×2÷(-2) ； (3×3＋1) ×0___5×2×0. ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 7×8＝20+36； 7×8×___ (20+36) × ； 7×8÷ ___ (20+36)÷； 7×8×(-) ___ (20+36)×(-) ； 7×8÷(-) ___ (20+36)÷(-) ； 7×8×0___ (20+36) ×0. ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【探究4】 11 新课讲解 【探究4】 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 如果，那么； 如果 ，，那么 . 在利用等式的性质2时，一定要注意除数不能为0 12 新课讲解 例 1. 根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果2x=5-x，那么2x+_____ =5； (2)如果m+2n=5+2n，那么m= _____； x 根据等式的性质1，等式两边加x，结果仍相等. 5 根据等式的性质1，等式两边减2n，结果仍相等. (3)如果x=-4，那么_____x=28; (4)如果3m=4n，那么m=_____n. -7 根据等式的性质2，等式两边乘-7，结果仍相等. 根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等. 2 新课讲解 运用等式的性质时应注意的两点： (1)运用等式的性质时，要确定变形的依据是等式的性质1还是等式的性质2. (2)运用等式的性质进行变形时，等式的两边所进行的运算应完全相同，这样才能保证结果仍是等式． 归纳 新课讲解 例 2. 下列说法中，错误的是（ ） A．若a＝b，则a＋2＝b＋2 B．若a＝b，则﹣3a＝﹣3b C．若3a＝2，则a＝ D．若2a＝3b，则 解：A．若a＝b，则a＋2＝b＋2 ，正确，故A不符合题意； B.若a＝b，则﹣3a＝﹣3b，正确，故B不符合题意； C.若3a＝2，则a＝ ，原变形错误，故C符合题意； D.若2a＝3b，则，正确，故D不符合题意. 故选C. C 新课讲解 等式的性质抓“两同”： (1)同一种运算，等式的两边必须都进行同一种运算； (2)同一个数（或式子），等式两边加或减的必须是同一个数（或式子），乘的必须是同一个数，除以的必须是同一个不为0的数． 归纳 16 新课讲解 练一练 1. 根据等式的性质填空： (1)如果x=y，那么x+1=y+_____ ； (2)如果x+2=y+2，那么_____ =y； (3)如果x=y，那么_____ x=5y； (4)如果3x=6y，那么x= _____ y. 1 x 5 2 新课讲解 练一练 2. 下列运用等式的性质变形正确的是(　　) A．若x＝y，则x－5＝y＋5. 　　 B．若a＝b，则ac＝bc. B C．若，则2a＝3b. 　　 D．若x＝y，则. 新课讲解 知识点2 利用等式的性质解方程 【探究】利用等式的性质解方程 问题1：方程是等式吗？ 问题2：能否利用等式的性质进行方程的变形？ 方程是含有未知数的等式. 利用等式的性质可以将方程进行变形. 问题3：能否利用等式的性质解一元一次方程？ 利用等式的性质可以将一元一次方程变形为的形式，即为方程的解. 问题4：如何确定一个数是否为一元一次方程的解？ 将未知数的值代入原方程，看这个值能否使方程左、右两边的值相等. 新课讲解 例 3. 完成求解方程3－x＝4的过程． 解：根据_____________，两边__________， 得3－ x－3＝4____，于是－ x＝____．根据______________， 两边___________，得x＝________． 等式的性质1 同时减3 －3 1 等式的性质2 同时乘－3 －3 【变式】若x＝1是关于x的方程3x＋2a＝7的解，求a的值． 解：将x＝1代入方程3x＋2a＝7，得3＋2a＝7. 两边同时减3，得3＋2a－3＝7－3， 化简，得2a＝4，两边同时除以2，得a＝2. 新课讲解 例 (2)方程两边除以-5，得 . 于是 . 4. 利用等式的性质解下列方程： (1) ； (2) ； (3). 解：(1)方程两边减7，得 x+7-7=26-7. 于是 x=19. (3)方程两边加5，得 x. 化简，得 . 方程两边乘-3，得 x=-27. 新课讲解 一般地，从方程解出未知数的值以后，通常需要代入原方程检验，看这个值能否使方程左、右两边的值相等. 例如，将x=-27代入方程x-5=4的左边，得×(-27)-5=4.方程左、右两边的值相等，所以x=-27是方程x-5=4的解. 新课讲解 1．解以x为未知数的一元一次方程，就是把方程逐步转化为x＝a(a为常数)的形式，等式的性质是转化的重要依据． 2．利用等式的性质解简单的一元一次方程的一般步骤： 第一步：利用等式的性质1，将方程左右两边同时加(或减)同一个数(或式子)，使方程逐步转化为一边只有含未知数的项，另一边只有常数项的形式； 第二步：利用等式的性质2，将方程左右两边同时除以未知数的系数(或乘未知数系数的倒数)，即将未知数的系数化为1，从而求出方程的解. 归纳 系数1通常省略不写！ 23 新课讲解 1. 在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明依据的是等式的哪一条性质． (1)如果，那么x＝_________，依据_____________； (2)如果－2x＝2y，那么x＝________，依据________________； (3)如果x＝4，那么x＝____，依据________________； (4)如果x＝3x＋2，那么x－____＝2，依据_______________． －2y 等式的性质2 －y 等式的性质2 6 等式的性质2 3x 等式的性质1 练一练 新课讲解 练一练 2. 利用等式的性质解下列方程，并检验： (1) x-5=6； (2)0.3x=45； 解：(1)方程两边加5，得x-5+5=6+5，于是x=11. 检验：将x=11代入方程x-5=6的左边，得11-5=6. 方程左右两边的值相等，所以x=11是方程的解. (2)方程两边除以0.3，得x=150. 检验：将x=150代入方程0.3x=45的左边，得0.3×150=45. 方程左右两边的值相等，所以x=150是方程的解. 课堂小结 等式的性质2: 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 等式的性质1： 等式两边加（或减）同一个数(或式子)，结果仍相等. 等式的性质 如果a=b，那么ac=bc；如果a=b (c≠0)，那么 如果a＝b，那么a±c＝b±c. 当堂小练 1. 下列说法错误的是（ ） A.若x=3，则3=x. B.若x=y，y=z，则x=z. C.若ab=1，则a= . D.若2+a=b-3，则4+2a=2b-3. D 2b-6 判断等式的变形是否正确的方法 当等式两边加、减或乘同一个数（或式子）时，变形均正确；当等式两边除以同一个数（或式子)时，要先判断这个数（或式子)是否为0，若确定该数(或式子)不为0，则该变形正确，否则错误. 当堂小练 2. 已知，下列各项中变形正确的是(　B　) A． B． C． D． B 当堂小练 3. 根据等式的基本性质，下列结论正确的是 ( ) A. 若 x＝y，则 z＋2＝y－2 B. 若 2x＝y，则 6x＝y C. 若 ax＝2，则 x＝ D. 若 x＝y，则 x－c＝y－c D 当堂小练 4. 若3a=5b，则下列等式中一定成立的是（ ） A． B．3a＋5b＝0 C．3a－3b＝2b D．3（a－1）＝5（b－1） 解：由3a=5b，得，3a＋5b＝0，3a－3b＝2b，3(a－1)＝5(b－1)＋2，故选C. C 当堂小练 5. 若等式 ac=bc 成立，则下列等式不一定成立的是( ) A.ac +a =bc +a. B.abc =b2c. C.a=b. D.b-ac =b-bc. 两边同时加a, 得ac+a=bc+a. 两边同时乘b, 得abc= b2c. 当c≠0时，两边同时除以c,得a=b; 当c=0时，不能得到a=b. 两边同时乘-1，得-ac=-bc,两边同时加b,得b-ac=b-bc. C 当堂小练 6. 利用等式的性质解方程：. 解：两边加1，得 . 化简，得 2x=4. 两边除以2 ，得 x=2. 利用等式的性质1. 利用等式的性质2 将未知数的系数化为1. 当堂小练 7. 已知是方程的解，那么的值是（　　） A．1 B．0 C．1 D．2 A 8. 若是关于x的一元一次方程的解，则的值是 ． 6 当堂小练 9. 利用等式的性质解方程： （1）5+x=-2 （2）3x+6=31-2x. 解：（1）5+x=-2 5+x-5=-2-5 x=-7； （2）3x+6=31-2x 3x+6+2x-6=31-2x+2x-6 5x=25 x=5． 当堂小练 10. 利用等式的性质解下列方程，并检验： (1)5x+4=0； (2)2-x=3. 解：(1)方程两边减4，得5x+4-4=0-4. 化简，得5x=-4. 两边除以5，得x=- . 检验：将x=- 代入方程5x+4=0的左边，得5×(- )+4=0. 方程左右两边的值相等，所以x=- 是方程的解. (2)方程两边减2，得2- x -2=3-2. 化简，得-x =1. 两边乘-4，得x=-4. 检验：将x=-4代入方程 2-x=3的左边，得2- ×(-4)=2+1=3. 方程左右两边的值相等，所以x=-4是方程的解. 拓展与延伸 已知关于x的方程2是一元一次方程． (1)求的值； (2)若此方程的解与方程的解互为倒数，求的值． 解：(1)因为关于的方程2是一元一次方程， 所以，且，所以. (2)当时，原方程可化为， 解方程得，因为两个方程的解互为倒数， 所以方程的解是， 所以10× +=0，解得． 36 $$