2024-2025学年北师大版九年级数学上册期中模拟卷

九年级期中模拟测试卷 一 、单选题（本大题共10小题，共30分） 1.（3分）依据所标数据度数为所在角的度数，数字为所在边的长度，下列平行四边形不一定是菱形的是 A. B. C. D. 2.（3分）将方程 配方后，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3.（3分）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和两名女同学表现优异若从以上三名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是 A. B. C. D. 4.（3分）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为 A. B. C. D. 5.（3分）在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论不一定成立的是 A. B. C. D. 6.（3分）如图，在正方形外侧，作等边，则为 A. B. C. D. 7.（3分）如图，电路上有三个开关和一个小灯泡，合上任意两个开关，小灯泡发光的概率为 A. B. C. D. 8.（3分）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 9.（3分）用因式分解法解方程，若将左边分解后有一个因式是，则的值是 A. B. C. D. 10.（3分）如图，在中，，是的中点，，交的延长线于点若，，则的长为 A. B. C. D. 二 、填空题（本大题共5小题，共15分） 11.（3分）已知方程是关于的一元二次方程，则______ . 12.（3分）如图，中，，点是边的中点，，则的长为 ______ 13.（3分）一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数是______. 14.（3分）如图，已知菱形的对角线，的长分别是，，，垂足为点，则的长是_____ 15.（3分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，则的值为 ______ . 三 、解答题（本大题共9小题，共75分） 16. （8分）解方程：  ；  17.（8分）如图，是以为底的等腰三角形，是边上的高，点、分别是、的中点．     求证：四边形是菱形； 如果四边形的周长为，两条对角线的和等于，求四边形的面积． 18.（9分）如图，在正方形中，，与相交于点．  求证：≌；  求的度数． 19.（10分）已知关于x的一元二次方程x2+（2a+1）x+a2＝0． 19-1.若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； 19-2.若方程有两个相等的实数根，求a的值，并求出这两个相等的实数根． 20.（10分）为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念，东营市某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动每人只参加一个活动，九年级某班全班同学都参加了志愿服务，班长为了解志愿服务的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：     求该班的人数； 请把折线统计图补充完整； 求扇形统计图中，网络文明部分对应的圆心角的度数； 小明和小丽参加了志愿服务活动，请用树状图或列表法求出他们参加同一服务活动的概率． 21.（10分）如图，已知，，，垂足为．  求证：≌；  只需添加一个条件，即______，可使四边形为矩形．请加以证明． 22.（10分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：  （1）当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利多少元？  （2）在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？ 23.（10分）商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． 求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ 商场决定用不超过14000元从厂家购进A、B两种型号的空气净化器共10台，且B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数的2倍，问商场有几种进货方案？如果这10台空气净化器在进价的基础上都加价销售并售完，采用上面哪一方案利润最大． 为了增大B型空气净化器的销量，电器商社决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天电器商社销售B型空气净化器的利润为3200元，请问电器商社应将B型空气净化器的售价定为多少元？ 答案和解析 1.【答案】A; 【解析】 根据菱形的判定方法、勾股定理逆定理、等腰三角形判定方法求解． 【详解】由已知条件不能得证为菱形，本选项符合题意； B. 根据勾股逆定理，，所以对角线互相垂直，故四边形为菱形，本选项不符合题意； C. 邻边相等，为菱形，本选项不符合题意；     D. 由等角对对边知一组邻边相等，为菱形，本选项不符合题意； 故选： 此题主要考查菱形的判定，勾股定理逆定理，等腰三角形判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解答该题的关键． 2.【答案】A; 【解析】 【分析】 将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】 解： ． 故选A． 【点睛】 本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本题的关键． 3.【答案】D; 【解析】解：列表如下： 男 女 女 男 男，女 男，女 女 女，男 女，女 女 女，男 女，女 共有种等可能的结果，其中刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果有种，  刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率为  故选：  列表可得出所有等可能的结果数以及刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果数，再利用概率公式可得出答案．  此题主要考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 4.【答案】C; 【解析】解：把代入关于的一元二次方程得：  ，  ，  故选：  先根据一元二次方程解的定义，把代入关于的一元二次方程得关于的方程，解方程即可．  此题主要考查了一元二次方程解的定义，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的基本步骤． 5.【答案】A; 【解析】解：四边形是矩形，对角线与相交于点，  ，，，但与不一定相等，  符合题意，而、、不符合题意，  故选：  由矩形的性质得，，，但与不一定相等，可判断符合题意，于是得到问题的答案．  此题重点考查矩形的定义和性质，正确理解和应用矩形的性质是解答该题的关键． 6.【答案】C; 【解析】解：在正方形外侧，作等边，  ，，，  ，  ，  ，  故选：  先根据已知条件推出是等腰三角形，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求解．  此题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等，解答该题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7.【答案】C; 【解析】解：根据题意列表如下： 共有种等可能的情况数，其中合上任意两个开关，小灯泡发光的有种，  则合上任意两个开关，小灯泡发光的概率是  故选：  根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．  此题主要考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 8.【答案】C; 【解析】解：根据题意得，  解得  故选：  根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．  此题主要考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 9.【答案】C; 【解析】解：根据题意得：，  ，，解得：，则  故选  根据题意得到，即可求出的值．  此题主要考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键． 10.【答案】A; 【解析】解：方法：在中，，，，  由勾股定理得，  是的中点，  ，  设，  由勾股定理得，  解得，  在中，．  方法：三角形的面积，  是中点，  的面积面积，  中，，，，  由勾股定理得，  是的中点，  ，  ．  故选：．  方法：根据勾股定理可求，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出，的长，设，根据勾股定理得到关于的方程，解方程可求，进一步求出的长．  方法：由，易求三角形的面积，由是中点，从而得到的面积是面积的一半，从而得到．  此题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，正确的理解题意是解答该题的关键． 11.【答案】; 【解析】解：方程是关于的一元二次方程，  ，  解得，  故解得，  故答案为：  根据一元二次方程的定义即可得到答案．  此题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解答该题的关键． 12.【答案】; 【解析】解：在中，  ，点为斜边的中点，  ，  ，    故答案为：  根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可得答案．  此题主要考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 13.【答案】; 【解析】 根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 所以这个不透明的盒子里大约有个除颜色外其他完全相同的小球． 故答案为 此题主要考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 14.【答案】; 【解析】 先根据菱形的性质及勾股定理求得的长，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，记对角线的交点为， 四边形是菱形，对角线，的长分别是，， ，，， ， ， ， 解得： 故答案为： 此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得利用勾股定理求出的长是解题关键． 15.【答案】; 【解析】解：关于的一元二次方程的两根为，，  ，，  ，  解得：，  经检查，，是方程的解；  关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，  ，  解得：，  --舍去．  故答案为：  利用根与系数的关系结合可得出关于的方程，解之可得出的值，由方程的系数结合根的判别式可得出关于的不等式，解之即可得出的取值范围，进而可确定的值，此题得解．  此题主要考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出值是解答该题的关键． 16.【答案】; 【解析】  利用提公因式法把方程变形，进而解出方程；  利用配方法解出方程．  此题主要考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、配方法解一元二次方程的一般步骤是解答该题的关键． 17.【答案】解：，点，分别是，的中点， 中，， 中，， ， ， ， 四边形是菱形． 菱形的周长为， ，  如图    设，，则， ，① 于， 中， ， ， 即②， 把②代入①可得：， ， 菱形的面积为．; 【解析】 此题主要考查的是菱形的判定与性质，等腰三角形的性质有关知识． 根据直角三角形斜边上的中线的性质，得出，，再根据，点，分别是，的中点，即可，进而判定四边形是菱形； 设，，则，进而得，再根据，，得到，据此可得，进而得到菱形的面积． 18.【答案】证明：四边形是正方形，  ，，  在和中，，  ≌；  由知，≌，  ，  ，  ．; 【解析】利用正方形的性质得出，，即可得出结论；  利用的结论得出，进而求出，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．  此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出≌是解本题的关键． 19.【答案】  ;；  ; 【解析】 【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式直接进行求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式求解a的值，然后代入进行求解一元二次方程即可． (1)小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程x2+（2a+1）x+a2＝0有两个不相等的实数根， ， 解得： ， 即当 时，方程有两个不相等的实数根； (2)小问详解： 解：∵方程有两个相等的实数根， ， 解得： ， 即当 时，方程有两个相等的实数根； 把 代入原方程得： ， 即 ， 解得： ． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及解法，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式及解法． 20.【答案】解：该班全部人数：人；    ，折线统计如图所示：    ；  分别用“，，，”代表“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个服务活动，列表如下：    则所有可能有种，其中他们参加同一活动有种，  所以他们参加同一服务活动的概率．; 【解析】此题主要考查折线图、扇形统计图、列表法等知识，解答该题的关键是记住基本概念，属于中考常考题型．  根据参加生态环保的人数以及百分比，即可解决问题；  社区服务的人数，画出折线图即可；  根据圆心角百分比，计算即可；  用列表法即可解决问题；    21.【答案】解：在和中，，  ≌；  答案不唯一; 【解析】证明：见答案  解：添加，可使四边形为矩形；理由如下：  ，，  四边形是平行四边形，  ，  ，  由得：≌，  ，  四边形为矩形；  故答案为：答案不唯一．  由证明≌即可；  先证明四边形是平行四边形，再由全等三角形的性质得出，即可得出结论．  该题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键． 22.【答案】解：（1）每箱应降价x元，依据题意得总获利为：（120-x）（100+2x），  当x=20时，（120-x）（100+2x）=100×140=14000元；    （2）要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价x元，依据题意列方程得，  （120-x）（100+2x）=14400，  整理得-70x+1200=0，  解得=30，=40；  ∵要求每箱饮料获利大于80元，  ∴x=30  答：每箱应降价30元，可使每天销售饮料获利14400元．; 【解析】（1）此题利用的数量关系：销售每箱饮料的利润×销售总箱数=销售总利润，由此列出算式后代入20即可求解；  （2）利用上题得到的算式进一步得到方程求解即可解答． 23.【答案】解：设每台B型空气净化器的进价为x元，则每台A型净化器的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， ． 答：每台B型空气净化器的进价为1200元，每台A型空气净化器的进价为1500元． 设A型空气净化器购进x台，则B型空气净化器台． 由和 解得x的范围， 可取4，5，6三种方案． 当时，元． 设B型空气净化器的售价为x元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：． 答：电器商社应将B型空气净化器的售价定为1600元．; 【解析】设一台B型空气净化器的进价为x元，则一台A型空气净化器的进价为元，利用用7 500元购进A型空气净化器和用6 000元购进B型空气净化器的台数相同可列方程，然后解方程检验确定x的值，再计算即可； 设A型空气净化器购进x台，则B型空气净化器台．根据A、B两种型号的空气净化器的总费用不超过14000元，“B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数的2倍”列出不等式并解答； 设B型空气净化器的售价为x元，根据“利润为3200元”列出方程并解答． 第  页，共  页 学科网（北京）股份有限公司 $$