5.2.1三角函数的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2.1三角函数的概念 【素养目标】 1．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(数学建模) 2．理解三角函数的概念．(数学抽象) 3．熟练掌握三角函数值在各象限的符号．(直观想象) 4．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等．(数学运算) 5．通过对三角函数值的符号、诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力．(逻辑推理) 2 【学法解读】 在本节学习中利用坐标系中单位圆给出角的三角函数的定义，由三角函数定义判断出函数值符号，得出其结论“一全正、二正弦、三正切、四余弦”． 3 复习回顾 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ O a b M P c 4 O M P y x 2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 5 根据研究函数的经验，我们选择在坐标系上研究这个 问题.如图，以单位圆的圆心为原点， 以射线OA为 轴的非负半轴，建立直角坐标系.则A(1，0)，P 射线OA从 轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向 旋转角α，终止位置为OP.       一：三角函数的概念 6 【探究】当 时，点P的坐标是什么？当 或 时，点P的坐标又是什么？给定一个角α，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？     P P 【结论】一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无 论是横坐标 还是纵坐标 ，都是唯一确定的.所以，点P的横坐标 和 纵坐标 都是角α的函数.         7 【总结】三角函数可以看成是以实数α(α为弧度)为自变量，以 单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. （1）正弦函数： （2）余弦函数： （3）正切函数：       角 实数 (角的弧度) 三角 函数值 我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数. 8 例1：求 的正弦、余弦和正切值. 【解】在坐标系中作出∠AOB= ，易知∠AOB的 终边与单位圆的 交点坐标为 ，所以             9 10 11 课本第179-180练习1-4 12 13 14 15 + + + + + - - - - - - 记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦 16 例1:求证：角θ为第三象限角的充要条件为 【证明】首先证明充分性，   因为sinθ＜0成立，所以θ角的终边位于第三或者第四象限， 也可能和Y轴的负半轴重合； 又因为cosθ＞0成立，所以θ角的终边位于第一或者第三象限， 所以必要性成立，即充要性成立. 综合可知Θ为第三象限角. 再证明必要性， 因为θ是第三象限角，根据定义有sinθ＜0， cosθ＞0， 17 公式一说明了角和三角函数值的对应关系是多角对一值的关系： 即给定一个角，它的三角函数值只要存在，就是唯一的； 反过来，给定一个三角函数值，却有无数个角与之对应. 诱导公式一 18 19 20 正 正 正 负 负 零 21 22     23 方法归纳 利用诱导公式一进行化简求值的步骤 24   答案：A   25       26 基础自测 × √ × × 27 D 28 B 29 4．已知角α的终边经过P(1,2)，则tanα·cosα等于______. 30 【课堂小结】 31 1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”． (1)同一个三角函数值只能有唯一的一个角与之对应．(　　) (2)sinα，cosα，tanα的值与点P(x，y)在角α终边上的位置无关．(　　) (3)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.(　　) (4)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－eq \f(x,\r(x2＋y2)). (　　) 2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于(　　) A．eq \f(4,5)　　　　　　　 B．eq \f(3,5) C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(4,5) [解析]　r＝eq \r(32＋－42)＝5，∴cos α＝eq \f(－4,5)＝－eq \f(4,5)，故选D． 3．若角α的终边与单位圆相交于点(eq \f(\r(2),2)，－eq \f(\r(2),2))，则sinα的值为(　　) A．eq \f(\r(2),2)　 B．－eq \f(\r(2),2)　 　 C．eq \f(1,2)　 D．－1 [解析]　x＝eq \f(\r(2),2)，y＝－eq \f(\r(2),2)，则sinα＝y＝－eq \f(\r(2),2). [解析]　由三角函数的定义，tanα＝eq \f(y,x)＝2，cosα＝eq \f(x,r)＝eq \f(\r(5),5)，∴tanα·cosα＝eq \f(2\r(5),5). eq \f(2\r(5),5) $$