4.3.2(第1课时)等比数列的前n项和-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2等比数列的前n项和 人教A版(2019) 选择性必修第二册 ■■■ 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么. 发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒， 第3个格子里放上4颗麦粒....依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里 放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉 得这个要求不高，就欣然同意了. 新知导入 已知一干颗麦粒的质量约为40g, 据查，2016 — — 2017年 度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实 现他的诺言. 新知导入 如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列 它的首项是1,公比是2,求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总 和就是求这个等比数列前64项的和. 新知讲解 一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢? 设等比数列{an}的首项为a₁ , 公比为q, 则{an}的前n项和是 Sn=a₁+a₂+a₃+…+an 根据等比数列的通项公式，上式可写成 Sn=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁qn-1 ① 用公比q乘①的两边，可得 qSn=a₁q+a₁q²+…+a₁qn-1+a₁qn ② ① - ②得 Sn-qSn=a₁—a₁qn 即 (1-q)Sn=a₁(1-qn) 等比数列前n项和公式推导—— “错位相减法” 合作探究 等比数列前n 项和公式推导——“错位相减法” 因为an=a₁qn-1 所以，公式(1)还可以写成 当q≠1 时，等比数列的前n项和公式 合作探究 (1) (2) Sn=a₁+a₂+a₃ 十 … +an =a₁+q(a₁+a₂+a₃ 十 … +an-1) =a₁+qSn-1=a₁+q(Sn 一an) →(1-q)Sn=a₁-anq (结论同上) 等比数列前n 项和公式推导——“方法二” 合作探究 等比数列前n 项和公式推导——“方法三“ 合作探究 当q=1 时 ，Sn=na₁ 注 ： 1.在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的 讨论(q=1 或q≠1). 2. 当 q≠1时，若已知a₁ 及q, 则用公式(1)较好， 若已知an及q, 则用公式(2)较好 新知讲解 (1) (2) 264-1 这个数很大，超过了1.84×1019 如果一干颗麦粒的质量约为40g, 那么以上这些麦粒的总质量超过 了7000亿吨，约是2016—2017年度世界小麦产量的981倍.因此，国 王根本不可能实现他的诺言. 下面，解决本课开头提出的问题. 由 a₁=1 ,q=2,n=64,可 得 新知讲解 例7已知数列{an}是等比数列. (1) , 求S₈; (2)若a₁=27, ,q<0, 求S₈; (3)若a₁=8, 『 ,求n. 合作探究 (1)因为 ,所以 解： 『 (2)若a₁=27, ,q<0, 求S₈; (3)若a₁=8, [ ,求n. ( 2 ) 由a₁=27, ,可得 又由q<0, 得 所以 例7已知数列{an}是等比数列. 合作探究 解： 解： ( 3 ) 把a₁=8, 整理，得 解得n=5. 例7已知数列{an}是等比数列. 合作探究 ,求n. (3)若a₁=8, 代入 得 『 例8已知等比数列的首项为-1,前n项和为Sn. 整理，得 所以 合作探究 解 ： 若q=1, 则 当q≠1 时，由 ,求公比q. 所以q≠1 得 即 ● 例9已知等比数列{an}的公比q≠-1, 前 n项和为Sn, 证明Sn,S₂n-Sn,S₃n-S₂n 成等比数列，并求这个数列的公比 证明： 当q=1 时 ，Sn=na₁ S₂n-Sn=2na₁-na₁=na₁ S3n-S₂n=3na₁-2na₁=na₁ 所以Sn,S₂n-Sn,S₃n-S₂n 成等比数列，公比为1. 合作探究 所以 因为qn 为常数，所以 Sn,S ₂n-Sn,S₃n -S₂ n 成等比数列，公比为qn. 例9已知等比数列{an}的公比q≠-1, 前 n项和为Sn, 证明Sn,S₂n-Sn,S₃n-S₂n 成等比数列，并求这个数列的公比. 证明： 当q≠-1 时 ， 合作探究 (2)1-2+4-8+16—… ·+ q=1, 不能用求 和公式 答：(1)错 应改为 ( 3 ) 错 ， 应改为5n (2)错 应改为 课堂练习 1判断下列计算是否正确 2n) -2) 2在等比数列{an}中： (1)若a₁=1,a₅=16, 且q>0, 求S₇ . (2)若 ,求a₁ 和公比q. 解：(1)∵{an}为等比数列且a₁=1,a₅=16 ∴a₅=a₁q⁴∴q⁴=16 ∴q₁=2,q₁=-2 (舍去) 课堂练习 解：(2)①当q≠1时， 又 即 解得 舍去) ∴a₁=6 ②当q=1 时 ，S₃=3a₁ 2在等比数列{an}中：(2)若 ,求a₁ 和公比q. 课堂练习 综上得 或 (1)求{an}的通项公式及前n项和Sn (2) ,求{bn}的前n项和Tn. 分 析 (1)直接利用等比数列的性质求出数列的公比，进一步求出通项公式和求和公式； (2)利用(1)的结论，进一步求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出 数列的和. 由 , 可 得 所 以 3已知等比数列{an}满足 课堂练习 (1)设数列{an } q ,且 解 课堂练习 3已知等比数列{an}满 ,且 (2) ,求{bn}的前n项和Tn · 解：(2)由(1)可得 则 (1)首项为 的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*) 且-2S₂,S₃,4S₄ 成等差数列 所以S₃+2S₂=4S₄-S₃, 整理得2a₄=-a₃, 所以 所以 4已知首项为 的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*), 且 -2S₂,S₃,4S₄ 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； 课堂练习 解： 4已知首项为 的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*), 且 -2S₂,S₃ ,4S₄ 成等差数列。 课堂练习 证明：(2)由(1)得 故 课堂练习 ∴当n为奇数时， (n∈N*) 成立 . 当n为奇数时， 综上， 已知量 首 项 a₁ 、公比q和项数n 首 项 a₁ 、末项an和公比q 求和公式 课堂总结 2例题 3课堂练习 1等比数列前n项和公式 1引入 2等比数列前n项和公式推导 3例题讲解 4课堂练习 板书设计 课本40页习题4.3 (3、4) 放作业布置 $$