4.2.2等差数列的前n项和第1课时课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和 (第1课时) 人教A版(2019) 选择性必修第二册 ■■ 1+2+3+4+...+100=? 其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁 的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： (1+100)+(2+99)+...+(50+51)=101×50=5050 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1,2,3,…,n,...① 前100项的和的问题. 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 新知导入 思考 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗? 答：高斯在计算中利用了 a₁+a₁00=a₂+a₉9 =…=a₅o+as₁ 这一特殊关系 即上节课例5性质的应用 若{an}是等差数列，p,q,s,t∈N*,且p+q=s+t. 则ap+aq=as+at 你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗? 1,2,3,…,n,...① 对于数列①,设an=n 新知讲解 将上述方法推广到一般，可以得到： 新知讲解 所以，对于任意正整数n, 都有 当n 是奇数时，有 当n 是偶数时，有 于是有 思考 在求前n个正整数的和时，要对n 分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否 设法避免分类讨论? 如果对公式 作变形，可得 2Sn=2(1+2+3+…+n)=n(n+1) 它相当于两个Sn相加，而结果变成n个 (n+1) 相加. 受此启发，我们得到下面的方法： 合作探究 Sn=1+ 2 十 3 十 … +n Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+1 将上述两式相加，可得 2Sn=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+…+(1+n) 合作探究 所以 上述方法的妙处在于将1+2+3+…+ n “倒序”为n +(n -1)+(n-2)+…+1, 将两式相加，得到n 个相同的数(即n+1) 相加，从而把不同数的求和转化 为n 个相同的数求和. 1+ n根 第1层1根 第2层2根 n层 第n层n根 1+n 根 观察左图，从几何上体会 倒序求和的方法. 探究 上述方法的妙处在哪里? 合作探究 合作探究 探究 上述方法能够推广到求等差数列{an}的前n项和吗? 对于等差数列{an},因 为 a₁+an=a₂+an-1=…=an+a₁ 由上述方法得到启示，我们用两种方式表示Sn Sn=a₁+a₂+…+an ① Sn=an+an-1+…+a₁② ①+②,得 2 Sn=(a₁+an)+(a₂+an-1)+…+(an+a₁) =n(a₁+an) 由此得到等差数列{an}的前n项和公式 把等差数列的通项公式an=a₁+(n-1)d 代入公式(1),可得 (1) 新知讲解 (2) 公式记忆——类比梯形面积公式记忆 Q₁ n a₁- (n-1d an=a₁+(n-1)d 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用 公式 合作探究 等差数列的前n项和公式 合作探究 思考 1.等差数列前n项和Sn的公式(1)和公式(2)有什么共同点和不同点： 提示：共同点是两个公式均为等差数列的求和公式，均需知道a₁,n. 解题时根据已知条件决定选用哪个公式. 注：①两个公式一共涉及a₁,an,Sn,n,d 五个量.通常已知其中三个，可求得其余 两个，而且方法就是解方程(组),这也是等差数列的基本问题形式之一 ②当已知首项a₁ , 末项an, 项 数n时，用公式 .用此公式时，有时要结合 等差数列的性质，如a₁+an=ak+an-k+1, 从而有 还需知道an, 还需知道d, 不同点是 d 提示：相等，表示等差数列前n项的平均数. 3.不从公式(1)出发，你能用其他方法得到公式(2)吗? 提示：从等差数列前n项和的定义及通项公式入手 Sn=a₁+a₂+a₃+…+an =a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)+…+[a₁+(n-1)d] 合作探究 思考 2. 等差数列中， 相等吗?表示什么意义? 例6已知数列{an}是等差数列. ( 1 ) 若a₁=7,a₅=101, 求S₅0 ; (2)若a₁=2, ,求S₁0; ( 3 ) 若 [ ,Sn=-5, 求 n. 分析： (1)可以直接利用公 和； (2)可以先利用a₁ 和a₂ 的值求出d,再利用公式 d求和； (3)已知公式 中的a₁ , 合作探究 ( 1 ) 若a₁=7,a₅o=101, 求S₅0 ; ( 2 ) 若a₁=2, ,求S₁0; 解： (1)因为a₁=7,a₅o=101, 根据公式 所以 根据公式 ,可得 合作探究 (2)因为a₁=2, ,可得 整理，得 n²-7n-60=0 解得 n=12, 或n=-5 (舍去) 所以 n=12 合作探究 (3) 解： ,Sn=-5, 求n. ,Sn=-5 代入 ] 得 门 十 例7 已知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和是1220.由这 些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗? 分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式(2)后，可得到两个关于a₁与d的 二元一次方程，解解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得a₁ 和d. 解 ： 由题意，知 S10=310,S₂0=1220. 把它们代入公式 得 解方程组，得 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差. 合作探究 探究 已知数列{an}的前n项和为Sn=pn²+qn+r, 其 中 p,q,r 为常数，且 p≠0. 任取若干组p,q,r, 在电子表格中计算a₁ ,a₂,a₃,a₄,a ₅ 的值 (图4.2-3给出p= 1,q =2,r=0 的 情 况 ) , 观察数列{an}的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论. D 图4.2-3中的电子表 格 A 列 中 AI,A2,A3 分别表示p,g,r 的值， B 列 、C 列中分别是相应 的S, 和an 的值. 图4.2-3 提示：观察C列，显然，{an}是等差数列。 合作探究 C 3 5 7 9 11 13 B 3 8 15 24 35 48 A 1 2 0 2 3 4 5 6 7 合作探究 思考： 已知数列{an}的前n 项和为Sn=pn²+qn+r, 其 中p,q,r 为常数，且p≠0. 那么这个数列一定是等差数列吗?若是，则它的首项与公差分别是多少? 分析：∵当n>1 时 ， an=Sn-Sn-1=pn²+qn+r-p(n-1)²-q(n-1)-r =2pn-p+q 当n=1 时 ，a₁=S₁=p+q+r 又 ∵ 当n=1 时 ，a₁=2p-p+q=p+q ∴当且仅当r=0 时 ，a₁ 满足an=2pn-p+q 故只有当r=0 时，该数列才是等差数列， 此时，首项a₁=p+q, 公 差d=2 p(p≠0) 当 r≠0 时 ，a₁ 不满足an=2pn-p+q, 此时，数列不是等差数列. 结论： 数列{an}是等差数列→ Sn=p n²+q n(p、q 为常数) 合作探究 1(改编例7)已知一个等差数列{an} 前10项的和是310,前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n项和吗? 解法1:由题意知 解法2: S10=310,S20=1220. 设 Sn=An²+Bn 则 课堂练习 ∴Sn=3n²+n ∴Sn=3n²+n 解得： 得 ： 于是 1 课堂练习 2在等差数列{an}中 ， (1)已知a₆=10,S₅=5, 求ag; (2)已知a₂+a₄=48, 求 S₅ . 解： (1)法1:∵a₆=10,S₅=5 ∴a₁+5d=10,5a₅+10d=5 得a₁=-5,d=3 ∴ag=a₆+2d=16 法2: S₆=S₅+a₆=15 即 3(a₁+10)=15 ∴a₁=-5, ∴ag=a₆+2d=16 课堂练习 2在等差数列{an}中 ， (2)已知a₂+a₄=48, 求S₅ . 解 ： ( 2 ) 法 1 ∵a₂+a4=a₁+a₅ ∴a₁+a₅=48 法2: ∵a₂+a₄=a₁+d+a₁+3d=48 ∴a₁+2d=24 ∴S₅=5a₁+10d=5(a₁+2d)=5×24=120 3 已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an · (1)Sn=2n²+3n+2; (2)Sn=3n-1. 解 ： ( 1 ) 当n=1 时 ，a₁=S₁=7, 当n≥2 时 ， an=Sn-Sn-1 =(2n²+3n+2)-[2(n-1)²+3(n-1)+2] =4n+1 又 a₁=7 不适合上式， 所 课堂练习 3 已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an · (1)Sn=2n²+3n+2; (2)Sn=3n-1. 解 ： ( 2 ) 当n=1 时 ，a₁=S₁=2, 当n≥2 时 ，an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=2×3n-1 显然，a₁ 适合上式 . 所以an=2×3n-1(n∈N*). 注： (1)已知Sn求an, 其方法是an=Sn-Sn-1(n≥2), 这里常常因为忽略条件“n≥2” 而出错 (2)在书写an 的通项公式时，务必验证n=1 是否满足an(n≥2) 的情形.如果不满足， 则通项公式只能用 表示 . 课堂练习 4若等差数列{an}的前n 项和为Sn=An²+Bn, 则该数列的公差为 2A 解法1:数列{an}的前n项和为Sn=An²+Bn 所以当n≥2 时， an=Sn-Sn-1=An²+Bn=A(n-1)²-B(n-1)=2An+B-A, 当n=1 时满足，所以d=2A. 解法2 设d为数列{an}的公差， 所以 ,得d=2A. 课堂练习 ● 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用 公式 课堂总结 1等差数列的前n项和公式 2例题巩固 1等差数列的前n项和公式 2例题巩固 3课堂练习 板书设计 课本25页习题4.2 3,4 方作业布置 $$