2025年中考数学二轮复习专题：二次函数和相似三角形综合训练

2025年中考数学二轮复习专题：二次函数和相似三角形综合训练 人教版2024—2025学年九年级下册 例1.如图，直线l：y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ＝135°． （1）求∠PBO的度数 （2）证明：△PBO∽△OAQ （3）设AQ＝t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标； 变式：如图，直线l：y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ＝135°．设AQ＝t＞0 当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ＝m，若过点A的二次函数y＝ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①6a+3b+2c＝0；②当m≤x≤m+2时，函数y的最大值等于 （1） 求t的值 （2） 求m的值 （3） 求y＝ax2+bx+c的对称轴 （4）求二次项系数a的值． 变式：如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上，Rt△AOB的两条外角平分线交于点P，且点P在反比例函数y（k＞0）的图象上，PA，PB的延长线分别交x轴、y轴于点C，D，连结CD． （1）求∠APB的度数 （2）连接OP，证明△COP∽△POD （3）若△OCD的面积是9，求OP和k的值 （4）若△OCD的面积是9，设OA＝a，0B＝b，证明：a2+b2＝（6﹣a﹣b）2， （5）若△OCD的面积是9，当点A的坐标是（0，2）时，求点B的坐标 （6）若点P的坐标为（4,4），求△OCD的面积 例2.如图，在平面坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2． （1）求∠OAB的度数； （2）求证：，， （3）求BE•AF的值 （4）求证：△AOF∽△BEO； 变式：当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2． （1）求E和F的坐标（用a和b的代数式表示） （2）证明AE，EF，BF组成一个直角三角形 （3）求S1和S2的值（用a和b的代数式表示） （4）试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 例3．我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“D函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“D点”根据该约定，完成下列各题．若关于x的“D函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件： ①a+b+c＝0；②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0． （1） 比较与0的大小 （2） 求的取值范围 （3） 令t=，用t来表示“D函数”截x轴得到的线段长度 （4）求该“D函数”截x轴得到的线段长度的取值范围． 练习1如果一个函数的图象与直线y＝3x+4有交点，则称该函数为“三高四新函数”，交点为该函数的“新高点”．若关于x的二次函数y＝ax2+（2b+3）x+（c+4）有两个不同的“新高点”，不妨将这两个点设为A（x1，y1），B（x2，y2），且二次函数还满足以下三个条件： ①开口向上；②a+b+c＝0；③a＞2b＞3c． 求：（1）求的取值范围 （2）令，用t来表示表示 （3）求|y1﹣y2|的取值范围 例4.平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，其中a＜0）已知a，b＝c＝0，M、N为抛物线与直线l：y＝kx﹣2k﹣4（k为常数）的两个交点M（x1，y1），N（x2，y2）．，问在抛物线上是否存在一个定点P，使∠MPN＝90°？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 练习2.在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点P（3，4）称为“三高四新”点，经过P（3，4）的函数，称为“三高四新”函数．关于x的二次函数y（x﹣3）2的图象顶点为A，点M（x1，y1）和点N（x2，y2）是该二次函数图象上的点且使得∠MAN＝90°，试判断直线MN是否为“三高四新”函数，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$