4.3.2(第2课时)等比数列的前n项和-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2等比数列的前n项和 的性质及应用 人教A版 ( 2 0 1 9 ) 选择性必修第二册 已知量 a₁ ,q(q≠1),n a₁ ,an,q(q≠1) a₁,q=1 求 和 公 式 (q≠1) Sn=na₁ 温故知新 等比数列前n项和公式 新知导入 思 考 1.类比等差数列,等比数列{an}的前n 项和 Sn 有什么函数特性? 提示: 1.①等比数列的前n项公式的应用中,注意前n项和公式要分类讨论, 即 q≠1 和q=1时是不同的公式形式,不可忽略q=1的情况. 是一个指数式与一个常数的和 且指数式的系数与常数项互为相反数. 其中A≠0、q≠1 ② 当q=1 时 ,Sn=na₁ 是n的正比例函数. 当q≠1 时,等比数列的前n项和公式是 新知导入 ,上式可写成 Sn=-Aqn+A 它可以变形为 设 拓展 等比数列前n 项和的性质 1数列{an}是等比数列 Sn=Aqn-A(A≠0) 2若等比数列{an}的前n项和为Sn, 则 Sn 、S₂n-Sn 、S₃n-S₂n 成等比数列 (其中Sn 、S2n-Sn 、S₃n-S₂n均不为0,即当q=-1,n为偶数时,上述性质不成立) 3若等比数列{an}的公比为q, 则 Sn+m=Sn+qnSm(m,n∈N*) 4等比数列的项数是偶数时, 等比数列的项数是奇数时, 新知讲解 例10 如图4.3-2,正方形ABCD 的边长为5cm, 取正方形ABCD 各边的中 点E,F,G,H, 作第2个正方形EFGH, 然后再取正方形EFGH 各边的中点I J,K,L, 作第3个正方形JKL, 依此方法一直继续下去. 图 4 . 3 - 2 分析:可以利用数列表示各正方形的面积,根据条件可知,这 是一个等比数列. (1)求从正方形ABCD 开始,连续10个正方 形的面积之和; (2)如果这个作图过程可以一直继续下去,那 么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少? 合作探究 因此,{an} 是以25为首项, 为公比的等比数列. 设{an}的前n项和为Sn (1) 所以,当10个正方形的面积之和 解:设正方形ABCD 的面积a₁ , 后继各正方形的面积依次为 a₂,a₃,…,an,…, 则 a₁=25 由于第k+1 个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点,所以 合作探究 随着n的无限增大, 将趋近于0,Sn将趋近于50. 所以,所有这些正方形的面积之和将趋近于50. ( 2 ) 当n无限增大时,Sn无限趋近于所有四方形的面 积和a₁+a₂+a₃+…+an+…. 而 合作探究 例11去年某地产生的生活垃圾为20万吨,其中14万吨垃圾以填埋方式 处理,6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%,同时, 通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算 请写出从今年起n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式,并计算从今 年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨). 分析: 由题意可知,每年生活垃圾的总量构成等比数列,而每年以环保方式处理 的垃圾量构成等差数列.因此,可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算. 合作探究 解 : 设从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列{an},每年以环 保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列{bn},n 年内通过填埋方式处理 的垃圾总量为Sn(单位:万吨),则 an=20(1+5%)n bn=6+1.5n Sn=(a₁-b₁)+(a₂-b₂)+…+(an-bn) =(a₁+a₂+…+an)-(b₁+b₂+…+bn) =(20 1.05+20 1.05 +…+20 1.05n)-(7.5+9+…+6+1.5n) 当n=5 时 ,S₅ ≈63.5 所以,从今年起5年内,通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨. 合作探究 例12某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率 为8%,且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数 依次为c₁ ,C₂,C₃,... (1)写出一个递推公式,表示Cn+1与cn之间的关系; (2)将(1)中的递推公式表示成Cn+1-k=r(Cn-k )的形式,其中k,r 为常数 ( 3 ) 求S₁0=C₁ +C₂ +C₃ + …+C₁0 的值(精确到1) . 分析:(1)可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头” 建立Cn+1与cn的关系; (2)这是待定系数法的应用,可以将它还原为(1)中的递推公式的形式 通过比较系数,得到方程组; (3)利用(2)的结论可得出解答. 合作探究 Cn+1=1.08cn-100 ( 2 ) 将Cn+1-k=r(Cn-k) Cn+1=rCn—rk+k 比较①②的系数,可得 所以,(1)中的递推公式可以化为 Cn+1-1250=1.08(Cn-1250) 解 : (1)由题意,得C₁=1200, 并且 合作探究 ① 化 成 ② 解这个方程组,得 (3)由(2)可知,数列{Cn-1250} 是以-50为首项,1.08为公 比的等比数列,则 (c₁-1250)+(C₂-1250)+(C₃-1250)+…+(C₁0-1250) 所以 S10=C1+C₂+C3+…+C10 ≈1250 10-724.3=11775.7 ≈11776 . 合作探究 1在数列{an}中 ,an+1=can(c 为非零常数)且前n项和Sn=3n-1+k 则实数k的取值是什么? 提示: 由题知,{an}是等比数列 ∴3n 的系数与常数项互为相反数. 课堂练习 而 3n 的系数为 , (同类巩固 ①若等比数列{an}中 ,Sn=m3n+2, 则m= 1 ②已知等比数列{an}的前n项和 ,则x 的值为 2 ③已知等比数列{an}的前n项和为Sn=3n-2+2a, 则 a 的值为 合作探究 2数列{an}是首项为1,公比为2等比数列,其前n项和为Sn, 若Sn+1=kan-1, 则k=4. 分析:直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式,进一步利用求和公式的 应用求出结果. 解:数列{an}是首项为1,公比为2等比数列 所以,Sn+1=2n+1-1=k2n-1-1 所以k=4 课堂练习 故an=2n-1, 所 以 3(裂项求和) 数列{an},{bn} 满足anbn=1,an=n +5n+6,n∈N*, 则{bn} 的前10项之和为(D) A. B. C. D. 解:数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n +5n+6,n∈N*, 课堂练习 ∴{bn}的前10项之和为: 4(等比数列前n项和性质) 各项均为正数的等比数列{an}中,若S₁0=10,S₂0=30, 求S₃0 解 : 法 一 设{an}的公比为q, 显然q≠1. 由已知条件可列出方程组 两 式 作 商 得 1 +q 0=3 ∴q 0=2 课堂练习 4(等比数列前n项和性质) 各项均为正数的等比数列{an}中,若S₁0=10,S₂0=30, 求S₃0 解:法二 由性质Sn+m=Sn+qnSm 得 S₂0=S₁0+q 0s₁0 即 3 0 = 1 0 + 1 0q 0 ∴q10=2 ∴S₃0=S₂0+q 0S₁0=30+40=70 课堂练习 4(等比数列前n项和性质) 各项均为正数的等比数列{an}中,若S₁0=10,S₂0=30, 求S₃0 解 : 法 三 运用性质Sn、S₂n-Sn、S₃n-S₂n 成等比数列 ∵S₁0、S₂0-S₁0、S₃0-S₂0 成等比数列 而S₁0=10,S₂0=30 ∴(S₂0-S₁0) =S₁0 (S₃0-S₂0) 即(30-10) =10 (S₃0-30) ∴S₃0=70 课堂练习 4(等比数列前n项和性质) 各项均为正数的等比数列{an}中,若S₁0=10,S₂0=30, 求S₃0 解:法四 由 得 所以 ≠ 1) 由已知S₁0=10,S₂0=30 易得q≠ 1 故 课堂练习 得q 0=2 又 解得S₃0=70 ( 1 ) 求q; (2)设{bn}是以2为首项,q 为公差的等差数列,其前n项和为Tn ,当n≥ 2时,试比较Tn与bn 的大小. 解: ( 1 ) 当q=1 时,若S₃=-3, 则应有S₆=-6, 这 矛盾,故q≠1. 由 两式相除,得 解得 5已知{an}是公比为q的等比数列,其前n项和为Sn, 且S₃ =-3, 课堂练习 我 当n≥2 时 , 所以 当2≤n≤9 时 ,Tn>bn 当n=10 时 ,Tn=bn 当n≥11 时 ,Tn<bn (2)设{bn}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Tn ,当n≥ 2时,试比较Tn与bn的大小。 5已知{an}是公比为q的等比数列,其前n项和为Sn, 且S₃ =-3, 课堂练习 解:(2)由题意知 1等比数列前n项和的性质 2例10、11、12 3课堂练习 课堂总结 1 复 习 2等比数列前n项和的性质 3例10、11、12 4课堂练习 板书设计 课本41页习题4.3 (5、6、7) 放作业布置 $$