安徽省合肥市2024-2025学年沪科版数学九年级上册期中复习精选练习　二次函数与反比例函数、相似形　

2024-2025安徽省合肥市沪科版九年级上学期期中二次函数与反比例函数、相似形（前两章节）复习精选练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在与中，，下列一定能使的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）对于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．点在它的图象上 B．y随x的增大而减小 C．它的图象在第一、三象限 D．当时， 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）若点，，都在抛物线上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，二次函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（      ） A．   B．   C．   D．   5．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则x的取值范围是（      ） A．或 B．或 C．或 D． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点D在线段上，请添加一条件使，则下列条件中不正确的是（      ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线（a，h是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，抛物线中的自变量x与函数值y的部分对应值如表所示： x … 0 1 3 4 … … 6 … 下列结论正确的是（    ） A．此抛物线有最大值 B．当时，y随x的增大而增大 C．点A的坐标是，点B的坐标是 D．抛物线的对称轴是直线 8．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，点D，E，F分别在的边上，， ，，M是的中点，连结并延长交于点N，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，垂足为D，F为线段上一点，若，则为（    ）    A． B． C．1 D． 10．（20-21九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（）    A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．（2019·湖南永州·二模）若二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ． 12．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 8 3 0 0 ．．． 则满足方程 的解是 ． 13．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，平面直角坐标系中，点O为原点，四边形为矩形，且点和点B都在反比例函数的图像上，矩形的边与x轴交于点D，则（1）k的值为 ；（2）的值为 ． 14．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，中，，D是边上一点，O是的中点，过点C作的平行线交的延长线于E，与交于点F． （1）若，则：= ； （2）连接，若，且，则：= ． 三、解答题 15．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象有一交点．求a的值及反比例函数的解析式． 16．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，这是一条以y轴为对称轴，原点O为顶点的抛物线，且经过点．    (1)求这个函数的解析式． (2)写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标，并求出的面积． 17．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在中，，，，由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)面积可能是为吗？为什么？ (2)在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，与相似？并说明理由． 18．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与双曲线交于C、D两点，与x轴交于点A． (1)①填空：点A的坐标是_______； ②过点C作轴，垂足为B．若，求双曲线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，若，求点C和点D的坐标． 19．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）发射装置距离地面15米的点处，向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图象如图所示，物体从发射到落地的运动时间为3秒． (1)求此函数的解析式； (2)求发射的物体到达最高点时距地面的高度． 20．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，、为边上的两个动点，． (1)若（即、重合），则 °时，； (2)若，，则与相似吗？为什么？ (3)当和满足怎样的数量关系时，？请说明理由． 21．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）我们规定二次函数的“负相关函数”为． (1)写出二次函数的“负相关函数”； (2)若点在二次函数的图象上，证明点在它的“负相关函数”的图象上； (3)已知，，若是的“负相关函数”，垂直于轴的直线与和分别相交于，两点，当点在点上方时，求线段的最大值． 22．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）抛物线与x轴交于点和． (1)求该抛物线的解析式； (2)若抛物线与y轴交于点C，连接BC.点P是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t． ①求的最大值及此时点M的坐标； ②过点C作于点H，若，求点P的坐标． 23．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线 经过点 ，对称轴为直线． (1)求、的值； (2)抛物线与轴交于B、C两点（C在B的右侧），点D是抛物线的顶点． (ⅰ)点E是抛物线上一动点，且位于直线的上方，过点E作的垂线交于点F，求长度的最大值； (ii)在直线上是否存在点G，使得？ 若存在，请求出点G的坐标，若不存在，请说明理由 参考答案： 1．D 【分析】本题考查相似三角形的判定条件：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）夹角相等，对应边成比例，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法，并结合题意逐一判断即可得到答案． 【详解】解：根据题意可画图如下：    ∵， ∴或可证得，故A、B选项都不符合题意； 可证得，故D选项符合题意． 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质．反比例函数的图象时位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；时位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大．根据这个性质逐项判定则可． 【详解】解：A、把代入，得， 点在它的图象上，正确，故此选项不符合题意； B、， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小，原说法错误，故此选项符合题意； C、， ∴它的图象在第一、三象限，正確，故此选项不符合题意； D、∵当时，， ， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴当时，，正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，先将二次函数一般式化为顶点式，得出抛物线开口向下，对称轴为直线，再根据二次函数的增减性和对称性求解，即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，在处有最大值， 到的距离为，到的距离为， ， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，分和两种情况根据二次函数和一次函数的性质判断正误即可． 【详解】解：当时，二次函数对称轴，在y轴右侧，一次函数经过第一、三、四象限；当时，二次函数对称轴，在y轴左侧，一次函数经过第一、二、四象限； 故选项A、C、D不合题意，选项B符合题意． 故选：B． 5．B 【分析】此题考查了根据反比例函数和一次函数图形，求出自变量取值范围，根据图象，找出使一次函数图象低于反比例函数图象时自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，当或时，， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查添加条件证明三角形相似，根据相似三角形的判定方法，两组对应角对应相等，和两组对应边对应成比例，夹角相等，进行判断即可． 【详解】解：在和中，， 要使，只需，，或或即可； 当时， ∵， ∴，能使； 综上：只有选项A不能证明； 故选A． 7．C 【分析】此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，由表格数据获取信息是解题的关键． 利用当和3时，，得出抛物线的对称轴是直线，判断D选项；根据对称轴和表格用待定系数法求得解析式，求出函数最值，即可判断A选项；根据解析式与对称轴得出函数增减性，可判定B选项；根据解析式，求出二交y轴交点A坐标，再根据对称性求出点B坐标，即可判定C． 【详解】解：当和3时，，得出抛物线的对称轴是直线， 故D选项错误，不符合题意； ， ∴ 把代入得， 解得：， 抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y有最小值，最小值为， 故A选项错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小，故B选项错误，不符合题意； 当时，， 当时，， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， 故C选项正确，符合题意． 故选：C． 8．D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质；先证明结合中点的含义可得，再证明，从而可得答案． 【详解】解：如图，记与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D 9．A 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．过点D作交于点H，先证为的中位线，得，再证和相似，得，则，据此可得出答案． 【详解】解：过点D作交于点H，如图： ∴，    在中，， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10．C 【分析】根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， ∴， 解得； 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， 解得； 由上可得，的长为或， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键． 11．且 【分析】根据二次函数与一元二次方程的根的判别式的关系结合二次函数的定义解答． 【详解】解：根据题意可得：且， 解得：且； 故答案为：且． 【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，熟知抛物线与x轴有两个交点，则对应方程的判别式是解本题的关键． 12．， 【分析】二次函数与轴交点的横坐标是对应方程的根，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意得 当时，， 当时，， 抛物线与的交点为，， 的根为，； 故答案：，． 【点睛】本题考查了二次函数与对应方程之间的关系，理解此关系是解题的关键． 13． 【分析】根据待定系数法即可得出的值，过点，作轴，轴于点，点，过点作轴，垂足分别为，先证明，得出，设点，即，，则，求出的值，则求出的长度，然后证明，根据全等三角形的性质可得，进而得出结论． 【详解】解：将点代入中， 得， ∴反比例函数解析式为， 过点，作轴，轴于点，点，过点作轴，垂足分别为， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，即， ∴， ∴， 解得或（即为点） ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识点解题是关键． 14． // // 【分析】（1）首先可证得，可得，再可证得，即可得答案； （2）首先可证得垂直平分，，再由可得，由，可得，再由可得，即可得答案． 【详解】解：（1）是的中点， ， ， ， 在和中， ，      ， ， ， 即：=1：2； （2）是的中点，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ：=4：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是证． 15．， 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． 利用一次函数解析式求出点的坐标，利用点的坐标求出反比例函数解析式即可． 【详解】解：把代入一次函数，得 ， ， 把代入，得 ， 反比例函数解析式为：． 16．(1) (2)9 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握坐标系内求三角形面积的方法． （1）设抛物线解析式为，把代入求解． （2）求得点的坐标，即可得到轴，，由求解． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 函数的解析式为． （2）点关于轴的对称点为， ∴轴，， ． 17．(1)不可能，理由见解析 (2)存在，时间t为或秒时，使得与相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理． （1）作于点H，先根据勾股定理求出的长，再根据，可得，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时，结合相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：不可能； 如图，作于点H， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∵， ∴面积不可能是为； （2）解：理由如下∶ ①当时，则， ∴， 解得∶． ②当时，则， ∴， 解得； 答∶存在，时间t为或秒时，使得与相似． 18．(1)①；② (2)， 【分析】（1）①将代入，解得，，则；②设，（其中），则，根据，计算求出值，进而可得双曲线的函数表达式； （2）由（1）知，，由勾股定理得，，解得，或（舍去），则；将代入，解得，则，联立，整理得，，解得，或，将代入得，，进而可得． 【详解】（1）①解；将代入得，，解得，， ∴， 故答案为：； ②解：设，（其中），则， ∴， 解得，， ∴； （2）解：由（1）知，， 由勾股定理得，， 解得，或（舍去）， ∴； 将代入得，，解得， ∴， 联立，整理得，，解得，或， 将代入得，， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，直线与坐标轴交点，坐标与图形，勾股定理．熟练掌握联立方程求交点坐标是解题的关键． 19．(1) (2)20 【分析】（1）由函数图象可知，将其代入，求出的值即可； （2）将所求抛物线配方后求出顶点坐标即可求出最大值． 【详解】（1）由图象可知，点的坐标为点的坐标为 ， 把代入得， ， 解得，， 所以，抛物线的解析式为： （2） ∴抛物线的顶点B的坐标为， ∵ ∴抛物线开口向下， ∴二次函数有最大值20， ∴发射的物体到达最高点时距地面的高度为20米． 20．(1) (2)结论：．证明见解析 (3)结论：．理由见解析 【分析】（1）根据等角的余角相等可得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形即可证明； （2）根据有三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个角都是可得，推得，，根据三角形的内角和是可求得，推得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形即可证明； （3）根据等边对等角可得，推得，根据相似三角形的对应角相等可得，推得，根据三角形的内角和是可求得，即可求解． 【详解】（1）当时，． 理由：如图： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）结论：． 理由：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）结论：． 理由：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了等角的余角性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟练掌握相似三角形的对应角相等和三角形的内角和定理是解题的关键． 21．(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的性质及新定义的理解， ()根据新定义可得； () 将点代入得 ，即，从而得证； ()求出 的“负相关函数”，计算，根据，可求得的值，从而确定，设点的坐标为，则点的坐标为，得到即可求出的最大值， 根据新定义得出负相关函数的解析式及表示出线段的解析式是解题的关键． 【详解】（1）由题意可知，二次函数的“负相关函数”为； （2）∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∴在它的“负相关函数”的图象上； （3）∵， ∴的“负相关函数”为， ∵， ∴， ∵是的“负相关函数”， ∴，， 解得，， ∴， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵当点在点上方， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， 的最大值， ∴线段的最大值为． 22．(1) (2)①当时，PM取得最大值2，此时点M的坐标为；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出点C的坐标，再求出直线的解析式，则，，从而推出，由此求解即可； ②先由，得到，进而证明，得到，则，证明是等腰直角三角，得到，再由，推出，由，求出，则． 【详解】（1）解：把、代入得 ∴，即， ∴ ∴抛物线的解析式为：； （2）解：①令得， ∴， 设直线BC的解析式为， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为：， ∵P的横坐标为t，轴， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值2，此时； ②∵、， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴     ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知二次函数的相关知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 23．(1)， (2)(ⅰ) (ii)或 【分析】（1）可得，即可求解； （2）（ⅰ）过作轴，交轴于，交直线于，可证，从而可得，可求直线的解析式为，设，，，可求，， ，从而可求，即可求解； （ⅱ）①取的中点，过作交于，连接、，过作轴交于，可求，，，可证为直角三角形，从而可证，可得，从而可求，，即可求解；②作线段关于对称的线段交直线于，设，由，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 答：，； （2）解：（ⅰ）如图，过作轴，交轴于，交直线于，   ， ， ， ， 由（1）得 ， 当时，， 解得：，， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 设， ，， ， ，， ， ， ()， ， ； 故长度的最大值． （ii）①如图，取的中点，过作交于，连接、，过作轴交于，   ，， ， ， 即：， 是抛物线的顶点， 当时， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 为直角三角形， ， ， ， ， ， 解得：， ，， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； ②如图，作线段关于对称的线段交直线于，   ， ， ， 设， ， 整理得：， 解得：，， 当时，， 不合题意，舍去， ， ， ； 故的坐标或． 学科网（北京）股份有限公司 $$