5.1.1任意角课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1.1任意角 【素养目标】 1．了解任意角的概念，能区分各类角的概念．(数学抽象) 2．掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角．(直观想象) 3．理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题．(数学运算) 4．能够根据任意角的概念，结合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限，为以后的学习打好基础．(逻辑推理) 【学法解读】 在本节学习中，学生应用运动的观点来理解角的定义，其关键是抓住角的终边和始边，在学习时提升自己的数学抽象及直观想象等素养． 2 【情境探究】 问题1.当钟表慢了(或快了)一点时,我们会将分针按某个方向转动,把时间调整准确,在调整的过程中,分针转动的方向是否相同? 提示:不同,当钟表慢了,要顺时针转动分针,当钟表快了,要逆时针转动分针. 3 问题2.在跳水比赛中,运动员会做出“转体两周”“向前翻转两周半”等动作,做上述动作时,运动员转体多少度?转过的度数还能用0°到360°的角表示吗? 提示:因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不同,因此运动员“转体两周”的度数可以是顺时针旋转720°或逆时针旋转720°,“向前翻转两周半”可以是顺时针旋转900°或逆时针旋转900°.显然这些角都不在0°～360°,不能用0°到360°的角表示. 4 【一：任意角的定义】 我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺 时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有任何旋转，那么它就 形成了一个零角.零角的始边和终边重合，如果 是零角，那么 .   为了简单起见，在不引起混淆的情况下，角 或∠ 可以简记为       这样，我们就把角的概念推广到了任意角 6 设∠α由射线OA绕端点O旋转而成，∠β由射线OA绕端点O旋转而成.如果它们 的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β. 设α，β是任意角，我们规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β. α β α+β O A 7 我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角. 角α的相反角记为-α，则α-β=α+(-β). 这样，角的减法可以转化为角的加法 8 【定义】我们通常在坐标系内讨论角.为了方便，我们把角的顶点固定在原点，角 的终边始终与 轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这 个角是第几象限的角. 如果角的终边在坐标轴上，那么它就不属于任何一个象限，此时我们称这个角为轴线角.例如90o、180o   9 【探究】把角放在坐标系中之后，给定一个角，就有唯一的 一条终边与之对应。反过来，对于直角坐标系内的 任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？ 【答】不难发现，OB除了可以表示-32°的角之外，还可以表示-392°，-328°等角. 328°=-32°+360°k(这里k= ) -392°=-32°-360°(这时k= ) 设S={β|β=-32°+k·360°，k∈Z} 它们之间有什么关系？ 则-392°，-328°解都是S的元素，角-32°也是S的元素，此时k=0 因此，所有与-32°角终边相同的角，连同-32°在内都是集合S的元素， 反过来，在集合S的任一元素显然与-32°的终边相同 1 -1 -32o与 k个360o的和 10 一般地，所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合 S={β|β=α+k·360°，k∈Z} 即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 11 已知角α＝2 020°. (1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°. [分析]　先求出β，判断角α所在的象限；用终边相同的角表示θ满足的不等关系，求出k和θ. 二：　终边相同的角 例 2 12 13 [归纳提升]　1.把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法． 2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． 14 3．象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示 (1)象限角： 象限角 集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} 15 (2)轴线角： 角的终边的位置 集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z} 终边落在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} 终边落在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} 终边落在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z} 终边落在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 终边落在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z} 终边落在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z} 16 【对点练习】❷ 若将例题中“角α＝2 020°”改为“α＝－315°”，其他条件不变，结果如何？ 17 C 18 19 【解题关键】由θ的4倍角与θ的终边相同列出方程 20 小结: 角的分类 象限角及表示 终边相同角 角的定义与表示 正角,负角,零角 终边相同角应用 判断角在第几象限 特殊终边角 在给定范围内求角 以后解决问题时要意识到任意角为前提条件 提醒: $$