4.5.3函数模型的应用课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.3函数模型的应用 学习目标 （1）能明确教科书例题中的数量关系，认识指数函数模型； （2）能利用教科书中的例题数据，求解并检验数学模型； （3）利用已知函数模型解决实际问题，初步体验数学建模 的基本步骤，提升学生的数学建模素养。 [激趣诱思] 兔子是一种可爱的动物,尤其受小朋友的喜爱.但是这么可爱的兔子曾使澳大利亚人伤透了脑筋.1859年,有人从欧洲带了几只兔子来到澳大利亚,由于澳大利亚有茂盛的牧草,而且没有兔子 的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至20世纪50年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子,澳大利亚人才算松了一口气. 兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢?原来在理想的环境中,种群数量呈指数增长;在有限制的环境中,种群数量为对数增长. 一:指数函数模型 例1一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 ,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 . (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? 分析可建立指数函数模型求解. 反思感悟 1.本题涉及平均增长率的问题,求解可用指数函数模型表示,通常可以表示为y=N·(1+p)x(其中N为原来的基础数,p为增长率,x为时间)的形式. 2.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题,都常用到指数函数模型. 变式训练1为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2020年在其扶贫基地投入100万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上每年投入的资金比上一年增长10%. (1)写出第x年(2021年为第一年)该企业投入的资金数y(单位:万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域; (2)该企业从第几年开始(2021年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元? (参考数据lg 0.11≈-0.959,lg 1.1≈0.041,lg 11≈1.041,lg 2≈0.301) 解 (1)第一年投入的资金数为100(1+10%)万元,第二年投入的资金数为100(1+10%)+100(1+10%)10%=100(1+10%)2万元, 第x年(2021年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式为y=100(1+10%)x万元, 其定义域为{x∈N*|x≤10}. (2)由100(1+10%)x>200,可得1.1x>2,即 即企业从第8年开始(2021年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元. 二：拟合函数模型的应用题 例3为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料,如下表所示: 年序 最大积雪深度x/cm 灌溉面积y/hm2 1 15.2 28.6 2 10.4 21.1 3 21.2 40.5 4 18.6 36.6 5 26.4 49.8 6 23.4 45.0 7 13.5 29.2 8 16.7 34.1 9 24.0 45.8 10 19.1 36.9 (1)描出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的数据点(x,y); (2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并作出其图象; (3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25 cm,则可以灌溉的土地面积是多少? 解 (1)数据点分布如图1所示. (2)从图1中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y hm2和最大积雪深度x cm满足线性函数模型y=a+bx(a,b为常数,b≠0). 取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8), 解得a≈2.4,b≈1.8. 这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图象如图2,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系. (3)由(2)得当x=25时,y=2.4+1.8×25=47.4,即当最大积雪深度为25 cm时,可以灌溉土地47.4 hm2. 反思感悟 对于此类实际应用问题,关键是先建立适当的函数关系式,再解决数学问题,然后验证并结合问题的实际意义作出回答,这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是: (1)能够根据原始数据、表格,描出数据点. (2)通过数据点,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,滴“点”不漏,那么这将是个十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况一般是不会发生的.因此,使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了. (3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式. (4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供 依据. 变式训练3某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离,他在每个测试点投篮30次,得到投篮命中数量y(单位:个)与测试点投篮距离x(单位:米)的部分数据如下表: 为了描述球员在测试点投篮命中数量y与投篮距离x的变化关系,现有以下三种y=f(x)函数模型供选择:①f(x)=ax3+b,②f(x)=-x2+ax+b,③f(x)=abx. (1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由,同时求出相应的函数解析式; (2)在第(1)问的条件下,若函数f(x)在闭区间[0,m]上的最大值为29,最小值为4,求m的取值范围. x 3 5 6 8 y 25 29 28 20 解 (1)由表中数据可知,f(x)先单调递增后单调递减,∵f(x)=ax3+b与f(x)=abx都是单调函数,∴不符合题意; ∵f(x)=-x2+ax+b先单调递增后单调递减,∴符合题意. (2)由(1)知f(x)=-x2+10x+4,故对称轴为x=5, ∴f(x)在(-∞,5]上单调递增,在(5,+∞)上单调递减,∵f(0)=4,f(5)=29,∴m≥5, 又f(x)=-x2+10x+4=4时,x=0或10,∴m≤10. 综上所述,5≤m≤10,故m的取值范围是[5,10]. 化学中的对数型函数问题 典例 溶液酸碱度是通过pH刻画的,pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升. (1)根据上述pH的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系; (2)国家标准规定,饮用纯净水的pH范围应该在[5,7].食品监督部门检测到某品牌纯净水中[H+]=10-7摩尔/升,问该品牌纯净水是否符合国家标准? 【规范答题】 解 (1)设[H+]为x,pH为y. 因为对数函数 y=lg x 在(0,+∞)上是增函数,所以y=-lg x在(0,+∞)上是减函数. 故当溶液中氢离子的浓度增加时,溶液的pH减小;当溶液中氢离子的浓度减小时,溶液的pH增加. (2)当x=10-7时,y=-lg(10-7)=7∈[5,7]. 故当[H+]=10-7摩尔/升时,该品牌纯净水符合国家标准. 变式训练在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位mol/L,记作[H+])和氢氧根离子的物质的量浓度(单位mol/L,记作[OH-])的乘积等于常数10-14.已知pH的定义为pH=-lg[H+],健康人体血液的pH保持在7.35~7.45,那么健康人体血液中的 可以为(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)(　　) 答案 C 解析 ∵pH=-lg[H+]∈(7.35,7.45), 且[H+]·[OH-]=10-14, 又∵7.35<-lg[H+]<7.45, ∴-7.45<lg[H+]<-7.35, ∴-0.9<2lg[H+]+14<-0.7, C C B 本节课我们尝试利用已知函数模型解决实际问题，通过运算 推理求解模型，并将得到的函数模型用于描述实际问题的变化规律，从而解决有关问题，感受了利用函数模型解决实际问题的过程。 你能归纳出利用已知函数模型解决实际问题的基本过程吗？ 课堂小结 $$