4.5.2用二分法求方程的近似解课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.2用二分法求方程的近似解 课标阐释 思维脉络 1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图.(逻辑推理) 2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.(数学运算) 3.了解用二分法求方程近似解具有一般性.(数学抽象) 2 3 探究点一 二分法概念的理解   A. B. C. D. D 4   解题感悟 判断一个函数能否用二分法求其零点近似值的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用. 6   ACD   7 2. （多选）下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求函数零点近似值的有( ) A. B. C. D. BCD 8 二：转化与化归思想在二分法中的应用 例3求 的近似值(精确度0.01). 解 设x= ,则x3-2=0.令f(x)=x3-2, 则函数f(x)零点的近似值就是 的近似值. 以下用二分法求其零点的近似值. 由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.用二分法逐步计算,列表如下: 9 区间 中点 中点函数值 (1,2) 1.5 1.375 (1,1.5) 1.25 -0.046 9 (1.25,1.5) 1.375 0.599 6 (1.25,1.375) 1.312 5 0.261 0 (1.25,1.312 5) 1.281 25 0.103 3 (1.25,1.281 25) 1.265 625 0.027 3 (1.25,1.265 625) 1.257 812 5 -0.010 0 (1.257 812 5,1.265 625)     由于区间(1.257 812 5,1.265 625)的长度为 1.265 625-1.257 812 5=0.007 812 5<0.01, 所以 的近似值可以取1.265 625. 10 要点笔记 1.求根式的近似值,实质上就是将根式转化为方程的无理根,再转化为函数的零点,通过二分法求解. 2.二分法思想的实质是一种逼近思想,所求值与近似值间的差异程度取决于精确度ε. 11 变式训练2求 的近似值(精确度0.1). 解 设x= ,则x3-3=0.令f(x)=x3-3,则函数f(x)零点的近似值就是 的近似值.由于f(1)=-2<0,f(2)=5>0,因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间. 用二分法逐次计算,列表如下: 因为区间(1.437 5,1.5)的长度为0.062 5<0.1,所以 的近似值可以取1.437 5. 区间 中点 中点函数值 (1,2) 1.5 0.375 0 (1,1.5) 1.25 -1.046 9 (1.25,1.5) 1.375 -0.400 4 (1.375,1.5) 1.437 5 -0.029 5 (1.437 5,1.5)     12 二分法求函数零点时,区间等分次数的确定 典例 已知函数f(x)在(1,2)内有1个零点,用二分法求零点的近似值时,若精确度小于0.01,则至少计算中点函数值(　　) A.5次 B.6次 C.7次 D.8次 13 解析 设对区间(1,2)二等分n次,初始区间长度为1, 因为6=log264<log2100<log2128=7,所以n≥7, 则至少计算中点函数值7次.故选B. 答案 B 14 方法点睛 使用二分法求函数零点时,区间(a,b)的等分次数n与精确度ε的关系是 <ε,可以通过该关系以及指数、对数的运算求n. 15 变式训练用二分法求方程x2=2的正实根的近似解(精确度0.001)时,如果我们选取初始区间是[1.4,1.5],则要达到精确度至少需要计算的次数是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 C 解析 设至少需要计算n次,则 <0.001,所以2n>100.因为26=64,27=128,所以要达到精确度至少要计算n=7次,故选C. 16 1．(题型1)下列函数中能用二分法求零点的是 (　　) A　　　　　 B 　　　　　C　　　　　D　 【答案】C 第四章　指数函数与对数函数 数学　选择性必修　第一册　配人教A版 | 自 学 导 引 | | 课 堂 互 动 | | 素 养 达 成 | 课后提能训练 【解析】在A和D中，函数虽有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点．在B中，函数无零点．在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点． 第四章　指数函数与对数函数 数学　选择性必修　第一册　配人教A版 | 自 学 导 引 | | 课 堂 互 动 | | 素 养 达 成 | 课后提能训练 2．(题型2)某同学用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中，设f(x)＝3x＋3x－8，且计算f(1)＜0，f(2)＞0，f(1.5)＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为 (　　) A．f(0.5) B．f(1.125) C．f(1.25) D．f(1.75) 【答案】C 第四章　指数函数与对数函数 数学　选择性必修　第一册　配人教A版 | 自 学 导 引 | | 课 堂 互 动 | | 素 养 达 成 | 课后提能训练 3．(题型1)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实数根，下一个有根区间是 (　　) A．[2，2.5] B．[2.5，3] C．[2，2.25] D．[2.75，3] 【答案】A 【解析】令f(x)＝x3－2x－5，f(2)＝－1＜0，f(3)＝16＞0，f(2.5)＝5.625＞0，f(2)f(2.5)＜0，所以由零点存在定理可知下一个有根区间是[2，2.5]．故选A． 第四章　指数函数与对数函数 数学　选择性必修　第一册　配人教A版 | 自 学 导 引 | | 课 堂 互 动 | | 素 养 达 成 | 课后提能训练 4．(题型2)某方程有一无理根在区间D＝(1，3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分________次后，所得近似值可精确到0.1. 【答案】5 第四章　指数函数与对数函数 数学　选择性必修　第一册　配人教A版 | 自 学 导 引 | | 课 堂 互 动 | | 素 养 达 成 | 课后提能训练 5．(题型3)判定方程3x－x2＝0在区间[1，2]内是否有实数解，若有，求出精确度为0.01的近似解；若没有，请说明理由． 解：方程3x－x2＝0在区间[1，2]内没有实数解，理由如下： 设f(x)＝3x－x2，则f(1)＝2>0，f(2)＝5>0， 又根据函数y＝3x，y＝x2增长速度可知，当x∈[1，2]时，3x－x2>0恒成立， 故不存在x∈[1，2]，使3x－x2＝0. 所以方程3x－x2＝0在区间[1，2]内没有实数解． 第四章　指数函数与对数函数 数学　选择性必修　第一册　配人教A版 | 自 学 导 引 | | 课 堂 互 动 | | 素 养 达 成 | 课后提能训练 【总一总★成竹在胸】 用二分法求解方程的近似解： 1.确定区间[a,b],验证f(a)*f(b)<0,给定精确度ε 2.求区间(a,b)的中点c 3.计算f(c); (1)若f(c)=0,则x1就是函数的零点 (2)若f(c)<0,则令b= c(此时零点x0∈(a,c)) (3)若f(c)>0,则令a= c(此时零点x0∈(c,b)) 4.判断是否达到精确度ε,即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b);否则得复2～4. 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子．可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除了． 问题：你知道他是如何做到的吗？ 【解析】因为f(1)<0，f(1.5)>0，所以第二次应计算的函数值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋1.5,2)))＝f(1.25)． 【解析】由eq \f(3－1,2n)<0.1，得2n－1>10，所以n－1≥4，即n≥5. $$