精品解析： 北京市日坛中学教育集团2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

北京市日坛中学教育集团2024—2025学年度秋季学期 初中期中联考 九年级 数学科试题2024.10 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 4. 如图，将绕点顺时针旋转到，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标为( 　　　) A. B. C. D. 6. 已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 18 8 2 0 2 … 当时，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 有最大值为9 D. 当时，随的增大而增大 8. 如图，用一段长为 米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为，另一边的长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，与，与满足的函数关系分别是（　　） A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 正例函数关系，二次函数关系 C. 二次函数关系，正例函数关系 D. 二次函数关系，一次函数关系 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 10. 已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是_________． 11. 若点，在抛物线上，则______．（填、、或） 12. 写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式________________． 13. 若抛物线向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则所得的抛物线的解析式是______． 14. 关于的方程无实数根，则二次函数的图象的顶点在第______ 象限． 15. 若一元二次方程的两个实数根为，，则的值为___________． 16. 某快递员负责为，，，，五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量下表． 小区 需送快递数量 需取快递数量 15 6 10 5 8 5 4 7 13 4 （1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案______（写出小区编号）； （2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案______（写出小区编号）． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解下列方程：； 18. 解方程：． 19. 若是关于的一元二次方程的根，求的值． 20. 已知二次函数． （1）二次函数图象与轴的交点坐标是 　　，轴的交点坐标是 　　，顶点坐标是 　　； （2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数的图象； （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围 　　． 21. 已知抛物线． （1）求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值． 22. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）向左平移3个单位得到的，则点，，的对应点，，的坐标分别为（ ， ），（ ， ），（ ， ）． （2）画出绕点顺时针旋转后得到的． （3）求三角形的面积． 23. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 24. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米． （米） 0.0 1.0 2.0 3.0 4.8 … （米） 1.0 1.75 2.0 1.75 0 … 请解决以下问题： （1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接． （2）请结合表中所给数据或所画图象，写出水柱最高点距离湖面的高度为______米，此时抛物线的解析式为______． （3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过调节水枪高度，使得公园湖中的4人平顶游船能从喷泉下方通过．已知游船宽度为1.6米，顶棚到水面的高度为2米．要求游船从喷泉水柱中间通过时，为避免游船被喷泉淋到，顶棚到水柱的垂直距离均不小于0.5米．求公园应该将水枪高度调节到多少米以上？（备注：水枪调节过程中所喷出的抛物线的形状相同） 25. 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 26. 已知抛物线，若点，，在抛物线上． （1）该抛物线的对称轴为______（用含的式子表示）； （2）若当时，，则的值为______； （3）若对于时，都有，求的取值范围． 27. 在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）根据题意补全图形，并证明：； （2）过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”． 例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成． （1）在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象． （2）函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求的值． （3）已知抛物线，关于直线的“镜面函数”图像上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市日坛中学教育集团2024—2025学年度秋季学期 初中期中联考 九年级 数学科试题2024.10 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答． 【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行解答即可． 【详解】解：A、y=3x-1是一次函数，故此选项不合题意； B、不是二次函数，故此选项不合题意； C、y=3x2+x-1是二次函数，故此选项符合题意； D、y=2x3-1不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 4. 如图，将绕点顺时针旋转到，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，结合旋转的性质得出是解题关键．由旋转的性质可得，然后由求解即可． 【详解】解：根据题意，将绕点顺时针旋转到， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5. 抛物线的顶点坐标为( 　　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标． 【详解】因为y=（x-1）2+3是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，3）． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，此题考查了学生的应用能力． 6. 已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 18 8 2 0 2 … 当时，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出时与时的函数值相同，观察表格发现∶当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大，即可得出当时，x的取值范围． 【详解】解：根据表格可知抛物线经过点， 对称轴为， 设抛物线经过点， 则， 解得∶， 观察表格发现：当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大， 当时，x的取值范围是． 故选∶A． 7. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 有最大值为9 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，则抛物线开口向上，故本选项错误，不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线，故本选项错误，不符合题意； C、函数有最大小值为9，故本选项错误，不符合题意； D、当时，随的增大而增大，故本选项正确，符合题意； 故选：D 8. 如图，用一段长为 米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为，另一边的长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，与，与满足的函数关系分别是（　　） A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 正例函数关系，二次函数关系 C. 二次函数关系，正例函数关系 D. 二次函数关系，一次函数关系 【答案】A 【解析】 【分析】分别列出与的关系式，与的关系式判断即可； 【详解】解：由题意可得： ， ∴与成一次函数关系；与成二次函数关系； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的表达形式；熟练根据题意列出相对应的函数关系式是解题的关键． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称性，根据关于原点对称的两个点的横坐标及纵坐标均互为相反数的特征直接求解即可得到答案，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 10. 已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】解：设该方程的另一个根为a，则根据一元二次方程根与系数的关系可得： ， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 11. 若点，在抛物线上，则______．（填、、或） 【答案】 【解析】 【分析】把，代入抛物线进行计算即可比较大小． 【详解】解：把，代入抛物线， 得，， 所以； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，熟知抛物线上点的坐标适合函数解析式是关键． 12. 写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，写出一个的解析式即可 【详解】解：根据题意， 故符合题意 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了二次函数各系数与函数图象之间的关系，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键． 13. 若抛物线向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则所得的抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：若抛物线向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则所得的抛物线的解析式是， 故答案为：． 14. 关于的方程无实数根，则二次函数的图象的顶点在第______ 象限． 【答案】二 【解析】 【分析】由程无实数根，可知抛物线与x轴没有交点，由二次项系数大于0可知抛物线在x轴的上方，然后结合对称轴即可求解． 【详解】解：∵关于的方程无实数根， ∴二次函数的图象与轴没有交点， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∴抛物线在x轴上方， ∵对称轴为直线， ∴抛物线顶点在第二象限． 故答案为：二． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，以及二次函数与坐标轴的交点问题，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 15. 若一元二次方程的两个实数根为，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 某快递员负责为，，，，五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量下表． 小区 需送快递数量 需取快递数量 15 6 10 5 8 5 4 7 13 4 （1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案______（写出小区编号）； （2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案______（写出小区编号）． 【答案】 ①. A，B，C(答案不唯一) ②. A，B，E 【解析】 【分析】（1）根据三个小区需送快递总数量，需取快递总数量，求解即可； （2）先求出第个小区总收益，再比较，选择收益最多的，且又满足需送快递总数量，需取快递总数量的三个小区即可． 【详解】解：（1）∵A小区需送快递数量15，需取快递数量6，B小区需送快递数量10，需取快递数量5，C小区需送快递数量8，需取快递数量5， ∴若前往A、B、C小区，需取快递数量为， 需取快递数量为， ∴前往A，B，C小区满足条件， 故答案为：A，B，C(答案不唯一)； （2）前往A小区收益为：(元)， 前往B小区收益为：(元)， 前往C小区收益为：(元)， 前往D小区收益为：(元)， 前往E小区收益为：(元)， ∵，，， ∴他的最优方案是前往A、B、E小区收益最大， 故答案为∶A，B，E． 【点睛】本题考查有理数混合运算，有理数比较大小，属基础题目，难度不大． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解下列方程：； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可； 【详解】解：， ∴， ∴或， ∴． 18. 解方程：． 【答案】, 【解析】 【分析】利用公式法可求出方程的解． 【详解】 ∵ ，，， ∴ ∴， ∴,． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法-公式法，利用此方法解方程时，首先将方程化为一般形式，找出a，b及c，然后计算出根的判别式的值，若，则将a，b及c的值代入求根公式即可求出解． 19. 若是关于的一元二次方程的根，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】把代入即可得到，再整体代入即可求值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的根 ∴把代入得： ∴ ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，利用整体求值是解题的关键． 20. 已知二次函数． （1）二次函数图象与轴的交点坐标是 　　，轴的交点坐标是 　　，顶点坐标是 　　； （2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数的图象； （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围 　　． 【答案】（1），；； （2） 如图： ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象； （1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令求得与坐标轴的交点坐标； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象； （3）结合二次函数图象，写出当时对应的y的取值范围． 【小问1详解】 解：令，则， 解得：， ∴二次函数图象与轴的交点坐标是，， 令，解得：， ∴二次函数图象与轴的交点坐标是； ∵， ∴该二次函数图象顶点坐标为； 故答案为：，；；． 【小问2详解】 解：列表： 描点，连线可得图象； 【小问3详解】 解：由图象可知，当时，． 故答案为：． 21. 已知抛物线． （1）求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值． 【答案】 （1）证明：令得：① △ 方程①有两个不等的实数根， 原抛物线与轴有两个不同的交点； （2）m的值为-3或1. 【解析】 【分析】（1）先求得△的值，然后证明△即可； （2）依据此抛物线与直线的一个交点在轴上可得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：（1）略 （2）令：，根据题意有：， 整理得： 解得或． 【点睛】本题主要考查的是抛物线与轴的交点，依据此抛物线与直线的一个交点在轴上得到关于的方程是解题的关键． 22. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）向左平移3个单位得到的，则点，，的对应点，，的坐标分别为（ ， ），（ ， ），（ ， ）． （2）画出绕点顺时针旋转后得到的． （3）求三角形的面积． 【答案】（1）2， （2） 如图，即为所求． （3）6 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换、作图平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质可得答案． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）利用底高求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ∵向左平移 3 个单位得到的， 故答案为： 2，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：三角形的面积． 23. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握根的判别式是解题的关键． （1）根据题意，代入求解即可； （2）求出或，代入方程求解即可． 【小问1详解】 解：依题意得 ； 【小问2详解】 解：为正整数， 或， 当时，方程为的根不是整数， 当时，方程为的根，都是整数， 故． 24. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米． （米） 0.0 1.0 2.0 3.0 4.8 … （米） 1.0 1.75 2.0 1.75 0 … 请解决以下问题： （1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接． （2）请结合表中所给数据或所画图象，写出水柱最高点距离湖面的高度为______米，此时抛物线的解析式为______． （3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过调节水枪高度，使得公园湖中的4人平顶游船能从喷泉下方通过．已知游船宽度为1.6米，顶棚到水面的高度为2米．要求游船从喷泉水柱中间通过时，为避免游船被喷泉淋到，顶棚到水柱的垂直距离均不小于0.5米．求公园应该将水枪高度调节到多少米以上？（备注：水枪调节过程中所喷出的抛物线的形状相同） 【答案】（1） 如图 （2）2； （3）水枪高度调节到1.66米以上 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可； （2）观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解即可； （3）由题意知设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图象可知水珠最高点距离湖面的高度为2米； 根据图象设二次函数的解析式为 将代入得 ∴抛物线的解析式为 故答案为：2；． 【小问3详解】 解：设水枪高度至少向上调节米 由题意知调节后的水枪所喷出的抛物线的解析式为 ∴当横坐标为时，纵坐标的值大于等于 ∴ 解得 ∴水枪高度至少向上调节0.66米 ∴水枪高度调节到1.66米以上． 【点睛】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型． 25. 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当时，小花园的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】（1）由题意知，，且，依题意得，，然后整理后作答即可； （2）由题意知，，然后根据二次函数的图象与性质求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，且，即， 依题意得，， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∵，， ∴当时，y最大，最大值为， ∴当时，小花园的面积最大，最大面积是． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，二次函数解析式，二次函数图象与性质，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数图象与性质，二次函数的最值是解题的关键． 26. 已知抛物线，若点，，在抛物线上． （1）该抛物线的对称轴为______（用含的式子表示）； （2）若当时，，则的值为______； （3）若对于时，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式，即可得出抛物线对称轴； （2）把代入，得，求解即可； （3）分类讨论：当时，当时，当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 把代入，得 ，解得：． 【小问3详解】 解：当时，∵， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵，，， ∴，即点P和点M在对称轴右侧， ∴，不符合题意； 当时，∵， 又∵，，， ∴， ∴点P在对称轴左侧，点M在对称轴右侧，点P到对称轴的距离比点M到对称轴的距离近， ∴，不符合题意； 当时，∵，，，， 若，则点M到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，小于点P到对称轴的距离， ∴， ∵， ∴； 当时，∵，，，， 若，则点M到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离， ∴， ∵， ∴， 综上，或． 【点睛】本题考查抛物线的图象性质，熟练掌握根据抛物线的函数值大小和增减性求参数取值范围是解题的关键． 27. 在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）根据题意补全图形，并证明：； （2）过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 补全的图形如图所示：     证明：∵， ∴， 由旋转的性质可知，即， ∴； （2）， 证明：如图，作于点M，与直线交于点N，     ∴， 由旋转的性质可知， 由（1）可知， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的方向和角度补全图形，再根据已知和旋转的性质求出，，进而可得结论； （2）作于点M，与直线交于点N，利用证明，可得，，然后求出，可得，再利用证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了画旋转图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，能够作出合适的辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 28. 定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”． 例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成． （1）在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象． （2）函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求的值． （3）已知抛物线，关于直线的“镜面函数”图像上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围． 【答案】（1） 如图 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数的“镜面函数”的图象即可； （2）分直线过“镜面函数”图象与直线的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可； （3）根据题意可作出对应的函数图象，再根据二次函数的性质可得出关于的不等式组，解之即可得出结论. 【小问1详解】 解： 略； 【小问2详解】 如图, 对于 当时, ， ∴函数 与y轴的交点坐标为, 当直线经过点 时, ； 此时关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点， 当直线与原抛物线只有一个交点时，则有：， 整理得 此时， 解得， 综上，的值为或； 【小问3详解】 根据题意可知，该抛物线的“镜面函数”为： 函数图象如图所示： 当 时，如图，点关于直线的对称点为 ，关于 的对称点为 若当 时，均满足 则需满足 ， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数的综合应用； 理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $