精品解析：北京市顺义牛栏山第一中学实验学校　 2024-2025学年 九年级上学期期中考试 数学试卷

2024—2025学年牛栏山一中实验学校九年级第一学期期中考试 数学试卷2024.10 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，29道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、班级、考场号． 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1～10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 中国嫦娥探测器成功在月球背面软着陆，首次实现月球背面与地面站通过中继卫星通信月球距离地球的距离约为，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 3. 内角和为720°的多边形是（　　） A. B. C. D. 4. 抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（ ） A. 开口向上， B. 开口向下， C. 开口向上， D. 开口向下， 5. 已知，那么下列等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移6个单位后，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. 当时，y随x的增大而增大 C. D. 函数图象与x轴交点的横坐标是方程的根 8. 如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有（ ） A. ①②④ B. ②④⑤ C. ①②③④ D. ①②③⑤ 9. 已知二次函数的图象过点，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 10. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共12分，每小题2分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 12. 分解因式：_____． 13. 方程的解为___________． 14. 如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为______． 15. 如图，在中，点E在上，交于点F，若，则的值为______． 16. 如图，在四边形中，，点E在上，，连接并延长交的延长线于点F，连接，．给出下面三个结论： ①是等腰直角三角形；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本题共68分，第17-22题每小题5分，第23题每题5分，第24题每题4分，第25题6分，第26题5分，第27-29题，每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 已知二次函数的图象经过，两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当x___________时，函数y随x的增大而减小． 21. 已知二次函数． （1）用配方法将其化为的形式； （2）该二次函数图象的对称轴为：　　，顶点坐标为　　； （3）在坐标系中画出它的图象； （4）结合图象，当时，y的取值范围是　　． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点． （1）求该函数的解析式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 23. 如图，在中，，于点D． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 某校诗词知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验，他们的10次成绩如下（单位：分）： 整理、分析过程如下，请补充完整． （1）按如下分数段整理、描述这两组数据： 成绩x 学生 甲 0 5 0 0 乙 1 1 4 2 1 1 （2）两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 学生 极差 平均数 中位数 众数 方差 甲 14 83.7 13.21 乙 24 83.7 82 81 46.21 （3）若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛，你会选______（填“甲”或“乙），理由为______． 25. 如图，边长为6的正方形中，E，F，G，H分别是，，，边上的动点，且，点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动（到达点时停止），设运动时间为t（单位：秒）． （1）①当运动停止时，t的值为______； ②设A，H之间的距离为y，则y与t满足______关系（选填“正比例函数”，“一次函数”，“二次函数”） （2）设四边形的面积为S， ①直接写出S的表达式______（用含有t的代数式表示），并写出t的取值范围______； ②S是否可以为20？若可以，请求出此时t的值，若不能，请通过计算说明理由． 26. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求a的值； （2）已知点在该抛物线上，若，求m的取值范围． 28. 已知：和重合，，，现将绕点按逆时针方向旋转角，设旋转过程中射线和线段相交于点，连接． （1）当时，过点，如图1所示，判断和之间的位置关系，不必证明； （2）当时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明； （3）如图3，对旋转角，猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由． 29. 定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．如：min{1，﹣2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1． （1）求min{x2﹣1，﹣2}； （2）已知min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求实数k的取值范围； （3）已知当﹣2≤x≤3时，min{x2﹣2x﹣15，m（x+1）}=x2﹣2x﹣15．直接写出实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年牛栏山一中实验学校九年级第一学期期中考试 数学试卷2024.10 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，29道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、班级、考场号． 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1～10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 中国嫦娥探测器成功在月球背面软着陆，首次实现月球背面与地面站通过中继卫星通信月球距离地球的距离约为，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式，，的值是小数点左移的位数或所有整数为减，由此即可求解． 【详解】解：． 故选：． 【点睛】本题主要考查用乘方表示表示较大，即科学记数法，掌握科学记数法表示形式，理解，的取值是解题的关键． 2. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴以及绝对值，观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论． 【详解】解：A、由图可知，故A选项错误，不符合题意； B、由图可知，，则，故B选项错误，不符合题意； C、由图可知，，则，故C选项正确，符合题意； D、由图可知，，则，故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 3. 内角和为720°的多边形是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形内角和的计算方法（n﹣2）•180°，即可求出边数． 【详解】解：依题意有（n﹣2）•180°＝720°， 解得n＝6， 该多边形为六边形， 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和是解题关键． 4. 抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（ ） A. 开口向上， B. 开口向下， C. 开口向上， D. 开口向下， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次项系数可以判断抛物线的开口方向，根据抛物线函数的顶点式可以直接得到顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴该抛物线的开口向上，顶点坐标是， 故选：A． 5. 已知，那么下列等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可设，据此把代入到四个选项中求解判断即可． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴，，，， ∴，， ∴四个选项中只有D选项中的式子不正确，符合题意， 故选：D． 6. 抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移6个单位后，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键，根据图象的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】由抛物线的图象先向左平移2个单位， 得， 由向下平移6个单位， 得， 故选：B． 7. 二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. 当时，y随x的增大而增大 C. D. 函数图象与x轴交点的横坐标是方程的根 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可得，图象开口向下，对称轴为直线，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：由图象可得：，开口向下，对称轴为直线， ∴，即，故A正确，C错误； 当时，y随x的增大而增大，故B正确； 令时，则有，得出的解就是函数图象与x轴的交点横坐标，故D正确； 故选C． 8. 如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有（ ） A. ①②④ B. ②④⑤ C. ①②③④ D. ①②③⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定方法“两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两组对应边成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；”求解即可． 【详解】解：在和中，， ①， ∴与一定相似，故①正确； ②， ∴与一定相似，故②正确； ③， ∴与不相似，故③错误； ④， ∴与一定相似，故④正确； ⑤， 即， ∴与不相似，故⑤错误； 综上所述，能判定相似的有①②④， 故选：A ． 9. 已知二次函数的图象过点，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据二次函数解析式可推出二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，据此求出三点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数的图象过点，且， ∴， 故选：D． 10. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， 则①②得， ， ， ∵，， ， 解得， 故选：B． 二、填空题（本题共12分，每小题2分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 【答案】x≥8 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： x8≥0， 解得：x≥8． 故答案为：x≥8． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键． 12. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解． 【详解】解：． 13. 方程的解为___________． 【答案】x=5 【解析】 【分析】观察可得最简公分母是x(x+5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解． 【详解】解： 方程的两边同乘x(x+5),得：2x=x+5, 解得：x=5, 经检验：把x=5代入x(x+5)=50≠0. 故答案为：x=5. 【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根. 14. 如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，根据抛物线的对称轴结合点的横坐标，即可求出点的横坐标，此题得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点， ∴点与点关于直线对称， 点的横坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，在中，点E在上，交于点F，若，则的值为______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 16. 如图，在四边形中，，点E在上，，连接并延长交的延长线于点F，连接，．给出下面三个结论： ①是等腰直角三角形；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，由全等三角形的性质得，，而，则，所以，则，可判断①正确；由，且，得，可判断②正确；证明，得，则，所以，可判断③正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ，，， ∴是等腰三角形， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 故①正确； ，且， ， 故②正确； ，， ， ， ，， ∴， ， ， ， 故③正确， 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题（本题共68分，第17-22题每小题5分，第23题每题5分，第24题每题4分，第25题6分，第26题5分，第27-29题，每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，化简二次根式，先化简二次根式，计算零指数幂和负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】-4＜x≤1 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由不等式①得：x≤1， 由不等式②得，x＞-4， ∴不等式组的解集为-4＜x≤1， 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再把所求式子利用单项式乘以多项式的计算法则和完全平方公式先去括号，然后合并同类项化简，再把整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 20. 已知二次函数的图象经过，两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当x___________时，函数y随x的增大而减小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求得二次函数解析式即可； （2）利用二次函数增减性分析得出答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴，解得 二次函数的表达式为 【小问2详解】 ∵，对称轴为， 当时，随的增大而减小 故答案为： 【点睛】此题考查了待定系数法求解函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 21. 已知二次函数． （1）用配方法将其化为的形式； （2）该二次函数图象的对称轴为：　　，顶点坐标为　　； （3）在坐标系中画出它的图象； （4）结合图象，当时，y的取值范围是　　． 【答案】（1） （2）； （3） 作图如下： （4） 【解析】 【分析】（1）依据题意，根据配方法的一般步骤进行计算可以得解； （2）依据题意，由（1）即可判断得解； （3）依据题意，根据函数的解析式得到对称轴，顶点，与坐标轴的交点，即可作图； （4）依据题意，结合图象，根据对称轴是直线，进而可以判断得解． 【小问1详解】 由题意得，，即． 【小问2详解】 由题意，∵抛物线为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． 故答案为：；． 【小问3详解】 由题意，∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，与y轴的交点为，与x轴的交点为，． 【小问4详解】 由（3）图象，对称轴是直线，当时，y取最小值为； 又，当时，；当时，， ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点． （1）求该函数的解析式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解． （2）根据题意结合解出不等式即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入函数解析式得， ，解得， ∴函数的解析式为：， 当时，得， ∴点A的坐标为． 【小问2详解】 由题意得， ，即， 又由，得， 解得， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关键． 23. 如图，在中，，于点D． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，进而问题可求证； （2）根据（1）中相似，然后结合相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∴，即， ∵，， ∴， ∴ 解得：（负根舍去）． 24. 某校诗词知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验，他们的10次成绩如下（单位：分）： 整理、分析过程如下，请补充完整． （1）按如下分数段整理、描述这两组数据： 成绩x 学生 甲 0 5 0 0 乙 1 1 4 2 1 1 （2）两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 学生 极差 平均数 中位数 众数 方差 甲 14 83.7 13.21 乙 24 83.7 82 81 46.21 （3）若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛，你会选______（填“甲”或“乙），理由为______． 【答案】（1）1，4 （2）84.5，86 （3） 甲，理由：两人的平均数相同且甲的方差小于乙，说明甲成绩稳定；两人的平均数相同且甲的极差小于乙，说明甲成绩变化范围小． 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． （1）依据统计图，即可得到甲组数据中落在各分数段的次数； （2）依据中位数和众数的定义进行计算即可； （3）依据平均数、中位数、方差以及众数的角度分析，即可得到哪个学生的水平较高． 【小问1详解】 解：由图可得，甲组数据中落在分数段的有1个，落在分数段的有4个，, 故答案为：1，4； 【小问2详解】 解：甲组数据排序后，最中间的两个数据为：84和85，故中位数， 甲组数据中出现次数最多的数据为86，故众数为86； 故答案为： 84.5，86； 【小问3详解】 略 25. 如图，边长为6的正方形中，E，F，G，H分别是，，，边上的动点，且，点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动（到达点时停止），设运动时间为t（单位：秒）． （1）①当运动停止时，t的值为______； ②设A，H之间的距离为y，则y与t满足______关系（选填“正比例函数”，“一次函数”，“二次函数”） （2）设四边形的面积为S， ①直接写出S的表达式______（用含有t的代数式表示），并写出t的取值范围______； ②S是否可以为20？若可以，请求出此时t的值，若不能，请通过计算说明理由． 【答案】（1）①；②一次函数 （2）①，；②S可以为20，此时或 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定与性质，二次函数与几何应用，勾股定理； （1）①当运动停止时，，代入计算即可； ②根据，可得，即满足一次函数关系； （2）①先证明四边形是正方形，再根据计算即可； ②令，解方程后判断即可． 【小问1详解】 ∵边长为6的正方形， ∴，， ∵点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动， ∴， ∴， ①当运动停止时，秒， 故答案为：； ②∵， ∴y与t满足一次函数关系， 故答案为：一次函数； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是正方形， ∴， 整理得， ∵，， ∴， ∴， ∴S的表达式，t的取值范围， 故答案为：，； ②令得， 整理得， 解得或， ∵， ∴S可以为20，此时或． 26. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 【答案】（1）23.20 m； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式； （2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可． 【小问1详解】 解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：， ∴，， 即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m， 根据表格中的数据可知，当时，，代入得： ，解得：， ∴函数关系关系式为：． 【小问2详解】 设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，， 解得：或， ∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离， 第二次训练时，， 解得：或， ∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用t表示出和是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求a的值； （2）已知点在该抛物线上，若，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质． （1）将点代入抛物线解析式计算即可； （2）抛物线对称轴为，由得到抛物线开口向下，则抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，得到，再分情况去绝对值求解不等式组即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的表达式为， 即， ∴抛物线的对称轴为直线； ∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵点，在该抛物线上，， ∴， 整理得， 当时，，不等式组无解，不符合题意； 当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时， 综上所述，． 28. 已知：和重合，，，现将绕点按逆时针方向旋转角，设旋转过程中射线和线段相交于点，连接． （1）当时，过点，如图1所示，判断和之间的位置关系，不必证明； （2）当时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明； （3）如图3，对旋转角，猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由． 【答案】（1） （2） 补全图形如图所示， （3） （1）中的结论仍然成立， 证明：作， ，垂足分别为点，如图2， 则， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ， ∴， 在和 中， ， ∴ ， ∴， 在和 中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴． 【解析】 【分析】（1）当时,即将绕点按逆时针方向旋转，可得是等边三角形，点是的中点，得到，与是等边三角形，由此可得四边形是平行四边形，根据矩形的证明方法可得平行四边形是矩形，结合矩形的性质即可求解； （2）当时,即将绕点按逆时针方向旋转，可得，是等腰直角三角形，如图所示，过点作，垂足分别为，可证，得到，再证，得到，根据等腰三角形的“三线合一”即可求解； （3）作垂足分别为点，从而证明和全等，再证明和全等，从而得出答案． 【小问1详解】 解：当时, ，理由如下， ∵在中，， ∴，， 当时,即将绕点按逆时针方向旋转， ∴与重合，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，且，即点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是矩形， ∴； 【小问2详解】 解：仍然成立，理由入下， 当时,即将绕点按逆时针方向旋转， ∴，，，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，则， ∵， ∴， 如图所示，过点作，垂足分别为， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且是等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，等要三角形的判定和性质，三角形全等的证明和性质，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 29. 定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．如：min{1，﹣2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1． （1）求min{x2﹣1，﹣2}； （2）已知min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求实数k的取值范围； （3）已知当﹣2≤x≤3时，min{x2﹣2x﹣15，m（x+1）}=x2﹣2x﹣15．直接写出实数m的取值范围． 【答案】（1）min{x2﹣1，﹣2}=﹣2，（2）k≥﹣2，（3）﹣3≤m≤7． 【解析】 【详解】试题分析：（1）比较x2﹣1与﹣2的大小，得到答案； （2）把x2﹣2x+k化为（x﹣1）2+k﹣1的形式，确定k的取值范围； （3）根据当﹣2≤x≤3时，y=x2﹣2x﹣15的值小于y=m（x+1）的值，解答即可． 解：（1）∵x2≥0， ∴x2﹣1≥﹣1， ∴x2﹣1＞﹣2． ∴min{x2﹣1，﹣2}=﹣2， （2）∵x2﹣2x+k=（x﹣1）2+k﹣1， ∴（x﹣1）2+k﹣1≥k﹣1． ∵min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3， ∴k﹣1≥﹣3． ∴k≥﹣2， （3）对于y=x2﹣2x﹣15，当x=﹣2时，y=﹣7， 当x=3时，y=﹣12， 由题意可知抛物线y=x2﹣2x﹣15与直线y=m（x+1）的交点坐标为（﹣2，﹣7），（3，﹣12）， 所以m的范围是：﹣3≤m≤7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $