4.4.3不同函数增长的差异课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.3不同函数增长的差异 2 在前面的学习中，我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大的差异.事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律. 下面先看一个例子. 问题1 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了门票价格，而B地则取消了门票.表4.2-1给出了A，B两景区2001年至2015年的旅客人次以及逐年增加量. 为了有利于观察规律，分别画出A、B景区的游客人次图象. 根据图象，你发现各自有什么规律？ 通过观察图象，发现A景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为10万次）；B景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大. 这两种不同的增长方式有什么特征呢？ 该用怎样的函数去刻画其变化规律？ 这就需要我们研究和掌握不同函数增长的差异. 一:一次函数与指数函数增长的差异 . 提问 选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0，+∞）上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗? 以函数 和 为例.画出两个函数的图像，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况. 引导学生填表： x     0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 1 0 1.414 1 2 2 2.828 3 4 4 5.657 5 8 6 … … 在同一直角坐标系中画出函数图像如下： 增函数的共同特点是函数值y随自变量x的增长而增长，但不同函数在同一区间内的增长快慢是否相同? 提问 师生合作观察研究函数 和 的增长快慢. 虽然函数 和 在区间 上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”. 随着x的增大， 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 的增长速度，尽管在x的一定变化范围内， 会小于2x，但由于 的增长最终会快于 的增长，于是， 总会存在一个x0,当x﹥ x0时，恒有 ﹥ 2x. 总结一次函数和指数函数增长方式的差异. 一般地，指数函数 （a>1）与一次函数y=kx（k>0）的增长差异都与上述情况类似. 即使k的值远远大于a的值， （a> 1）的增长速度最终都会大大超过y=kx（k>0）的增长速度. 二：对数函数与一次函数的比较 二:一次函数与对数函数增长的差异 提问 选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间（0，+∞）上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗? 以函数 和 为例.画出两个函数的图像，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况. 引导学生填表： x     0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 不存在 0 1 1 1.301 2 1.477 3 1.602 4 1.699 5 1.778 6 … … 在同一直角坐标系中画出函数图像如下： 师生合作观察研究函数 和 的增长快慢. 虽然函数 和 在区间 上都单调递增，但它们的增长速度存在明显差异，函数 的增长速度不变，而 的增长速度在变化.随着x的增大，函数 的图像越来越平缓，像与x轴平行一样.函数 的图像离x轴越来越远. 20 21 22 【总一总★成竹在胸】 几种常见函数的增长情况： 常数函数 一次函数 指数函数 对数函数 没有增长 直线上升 指数爆炸 “慢速”增长 解决实际问题的步骤： 实际问题 读懂问题 抽象概括 数学问题 数学问题的解 还原说明 实际问题的解 演算 推理 23 $$