必修一综合测试-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

必修一综合测试 一、单选题 1．在中，已知，则以下四个结论错误的是（    ） A．最大值 B．最小值1 C．的取值范围是 D．为定值 2．设,,,则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（    ） A．9 B．8 C．6 D．4 4．函数 的定义域是 (     ) A． B．或 C． D． 5．下列函数中，在区间上为增函数的是(　　) A． B． C． D． 6．用二分法求方程在内的近似解，则近似解所在的区间为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在的奇函数，且在上单调递增，若，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 10．如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，则下列说法正确的是（    ） A．该函数的周期是16 B．该函数图象的一条对称轴是直线x＝14 C．该函数的解析式是y＝10sin＋20(6≤x≤14) D．这一天的函数关系式也适用于第二天 11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒位于点，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足，），则下列叙述正确的是（    ） 图1                 图2 A．筒车转动的角速度. B．当筒车旋转100秒时，盛水筒对应的点的纵坐标为 C．当筒车旋转100秒时，盛水筒和初始点的水平距离为6 D．筒车在秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为6 三、填空题 12．奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则 ． 13．若点在直线上，则的最小值是 . 14．如图是函数的部分图像，则的单调递增区间为 ． 四、解答题 15．设为三角形的三边，求证： 16．已知. (1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程的近似解（精确到0.1） (2)设，求证：. 17．已知函数能表示为奇函数和偶函数的和． (1)求和的解析式； (2)利用函数单调性的定义，证明：函数在区间上是增函数； (3)令（），对于任意，都有，求实数的取值范围． 18．已知集合为非空数集，，. (1)若集合，直接写出集合及； (2)若集合，，且，求证：; (3)若集合,且，求集合A中元素的个数的最大值． 19．已知， ， ，且，求证： . 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D C A B B B ACD AB 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】将题干条件化简可得，即； A选项将化简为，利用A的范围求出其最大值； B选项将化简为，利用A的范围求出其最小值； C选项将化简为，利用A的范围求出其取值范围； D选项利用将化简得到其为定值2. 【详解】因为，所以， 因为， 所以，即， 因为，所以， 由，可得，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故A正确； ， 因为，可得，所以， 故B错误； ， 因为，可得，所以， 所以，故C正确； ， 故D正确； 故选：B. 2．D 【分析】根据,,的单调性,分别判断的大概范围,即可得出大小. 【详解】解:由题知,,, 因为在定义域内单调递减, 所以, 即, 因为在定义域内单调递增, 所以, 即, 因为在定义域内单调递增, 所以, 即, 综上:. 故选:D 3．D 【分析】先由的最小值为0，得到，再由的解集为，得到的根为，从而利用韦达定理即可求解. 【详解】因为开口向上，最小值为， ， 则， 的解集为，所以是的两个不等实根， 即是的两个不等实根， 所以，则， . 故选：D. 4．C 【分析】根据函数的解析式列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题设可得，即， 故选：C． 5．A 【分析】逐个求出各个函数在上的单调区间后可得正确的选项. 【详解】对于A，函数的增区间为，所以在上一定是增函数． 对于B，函数的减区间为， 对于C，函数的减区间为， 对于D，在为减函数，在为增函数，故选A. 【点睛】本题考查函数单调区间的求法，注意复合函数单调区间的判断方法是“同增异减”. 6．B 【分析】令函数，将方程在内的近似解，转化为在内的零点，利用零点存在定理求解. 【详解】令， 由方程在内的近似解， 即是在内的零点. 因为单调递增，且， 所以函数的零点在内， 又因为， 所以. 所以函数的零点在内. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数与方程，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7．B 【分析】根据奇函数将化简一下，再根据是定义在上的增函数，建立不等式组进行求解即可． 【详解】是奇函数 等价为， 在上单调递增,且是奇函数， 在上单调递增， ，即 解得：． 故选：B 8．B 【分析】根据补集的定义和运算即可求解. 【详解】由题意知，， 又， 所以. 故选：B. 9．ACD 【分析】由条件可得，即可判断A，由作差法即可判断B，由基本不等式即可判断C，由二次函数的值域即可判断D 【详解】显然，故，A正确； 因为，则， 即，故B错误； ，且，故由均值不等式知，C正确； ，D正确. 故选：ACD 10．AB 【解析】根据图象得出该函数的周期，可判断A选项的正误；根据图象可知该函数在取得最大值，可判断B选项的正误；结合图象求出该函数的解析式，可判断C选项的正误；第二天的函数关系与第一天的情况不一定一样，所以，可判断D选项的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A选项，由图象可知，该函数的最小正周期为，A选项正确； 对于B选项，该函数在取得最大值，所以，该函数图象的一条对称轴是直线，B选项正确； 对于C选项，由图象可得，解得，， 图象经过点，，. ，，则，， 所以，函数解析式为，C选项错误； 这一天的函数关系式不一定适用于第二天，要具体情况具体分析，所以，D选项错误. 故选：AB 【点睛】解题关键，根据函数关系图，进行数形结合的分析即可，难度属于基础题 11．ACD 【分析】根据题意求函数的解析式，结合正弦函数逐项分析判断. 【详解】对于A：由题意可知：，且，解得， 即筒车转动的角速度，A正确； ∵，则，故， 且，解得， 故， 对于B：令，则， 故B错误； 对于C：当筒车旋转100秒时， 盛水筒对应的点的横坐标为， 所以盛水筒和初始点的水平距离为，故C正确； 对于D：若，则， 可得，所以， 即盛水筒最高点到轴的距离的最大值为6，故D正确； 故选：ACD. 12． 【分析】双对称性可以推出周期性，利用周期性改变自变量的大小，利用奇偶性调自变量的符号，即可求解 【详解】由函数为偶函数可得，， 又， 故 所以， 即 所以 故该函数是周期为8的周期函数． 又函数为奇函数，故，． 所以． 故答案为： 13． 【分析】点在直线上，所以，所以，再指出等号成立的条件即可． 【详解】根据题意，点在直线上， 所以， 所以，当且仅当，时取得等号． 故答案为：． 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，使用时要注意基本不等式的使用条件，本题属于基础题． 14．， 【分析】运用三角函数的周期公式及五点法求得、的值，结合同增异减求得其单调递增区间. 【详解】由图知，，解得：， 所以，解得：， ①当时，， 则，，解得：，， 又因为， 所以无解，故舍去； ②当时，， 则，，解得：，， 又因为， 所以， 综述：且， 所以， ，， 解得：，， 所以的单调递增区间为，. 故答案为：，. 15．证明见解析 【分析】利用分析法即可求证． 【详解】要证明： 需证明： 需证明: 需证明 是的三边，且， 成立． 16．(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）先说明的单调性，再由，，应用二分法求近似解； （2）由题设可得，进而有，且，转化为证，结合（1）即可证结论. 【详解】（1）由解析式知：在上递增， ，， ，则， ，则， 又，且，， 所以更接近于零点，故方程的近似解为. （2）由题设， 故，且， 要证，只需，即， 由（1）知，显然成立， 综上，，得证. 17．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性，列式，解方程组，即可得答案； （2）根据函数单调性的定义，即可证明结论； （3）结合函数单调性，将不等式恒成立转为函数最值问题，即对于任意成立，即得对于任意成立，结合对数函数性质，继而转化为对于任意成立，结合解不等式以及函数单调性，即可求得答案. 【详解】（1）因为分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且①， 所以，即②， 联立①②解得，； （2）设，则， ， 因为，所以，，，， 故， 所以，所以， 故在上单调递增． （3）由（2）知，函数在上为增函数， 当时，， 由于对于任意，使得， 所以对于任意成立， 即对于任意成立， 又需满足，对于任意成立，则， 由，可得，所以． 式可化为， 即对于任意成立，即成立， 即对于任意成立， 因为，所以对于任意成立， 即任意成立，而，所以， 又，可得，所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：函数的奇偶性以及单调性的应用，解答的难点在于第3问，根据函数不等式恒成立求解参数范围，解答时要结合函数的单调性将不等式恒成立转化为函数最值问题解决. 18．(1)，0，，，; (2)证明见解析; (3)1348. 【分析】（1）根据题目定义，直接得到集合及； （2）根据两集合相等即可找到的关系； （3）通过假设集合，，，，，，，求出相应的及，通过建立不等关系求出相应的值． 【详解】（1）根据题意，由，， 则，0，，，； （2）由于集合，，且， 所以中也只包含四个元素，即，，，， 剩下的，所以； （3）设，， 满足题意，其中，, 则， ∴，， ∴， ∵，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为， ∴， ∴， ∴， 实际上当{675，676，，2022}时满足题意，证明如下： 设，，，，2022}，， 则，，，，4044}，，1，2，，}， 依题意有，即， 故的最小值为675，于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值是1348． 【点睛】新定义点睛： “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 19．证明见解析 【分析】用代替，可以得到是关于的分式，若我们令 是一个函数，且联想到这时，我们可以构造函数，而又可以化为，而函数在是增函数，从而便可求解. 【详解】构造函数， 令，所以，则， 因为， 则，所以， 则，即， 所以函数在是增函数， 又因为，所以，即， 故原不等式成立. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$