精品解析：2024-2025学年北师大版九年级数学上册期中考试一

九年级（上）半期考试试题（一） 数学 考试时间：120分钟 总分：150分 A卷（共100分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如果两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. 或 D. 3. 关于双曲线，下列说法正确的是（ ） A. 必经过点 B. 图象位于一、三象限 C. 随的增大而增大 D. 图象关于原点成中心对称 4. 如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则值为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程x2－4x＋3＝0，下列配方正确的是（ ） A. （x－2）2＝7 B. （x＋2）2＝7 C. （x＋2）2＝1 D. （x－2）2＝1 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. 且 B. C. D. 且 7. 菱形的两条对角线长分别是12和16，则此菱形的周长是（ ） A. 40 B. 50 C. 24 D. 32 8. 反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数经过点，如果，那么（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，于D，，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 11. 在某一时刻，测得一根高为m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为______________m． 12. 已知点都在反比例函数的图象上，则m的值为________． 13. 在一个不透明的袋子里有50个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此估计袋中红球的个数为________． 14. 如图，在四边形中，，平分，若，则度数是___________． 三、解答题（共54分） 15 计算与解方程： （1）计算： （2）解方程： 16. 若关于的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根，求的取值范围及的非负整数值. 17. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线 后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．再用皮尺分别测量 ，观测者目高的长．利用测得的数据可以求出这棵树的高度． 已知于点，于点于点米，米．米，米，求这棵树的高度（的长）． 18. 为了解今年初三学生的数学学习情况，某校对上学期的数学成绩作了统计分析，绘制得到如下图表．请结合图表所给出的信息解答下列问题： 成绩 频数 频率 优秀 45 b 良好 a 0.3 合格 105 0.35 不合格 60 c （1）该校初三学生共有多少人？ （2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图． （3）初三（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出当时，与的大小； （3）连接，求的面积． 20. 在中，平分交于E． （1）若，求的长； （2）如图1，F是的中点，连接交于O，若，，求； （3）如图2，F是的中点，连接交于O，若，，求． B卷（共50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 21. 已知一元二次方程的一个根为，则c的值为__________． 22. 有六张正面分别标有数字，0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，则抽取的卡片上的数字为不等式组的解的概率为__． 23. 如图，在中，，，，则的值为___________． 24. 如图，在矩形中，，点P是边上一动点，连接，将沿翻折得到，过点A作于点E，直线与直线相交于点F，若，则长为___________． 25. 如图，直线y＝﹣x+b与x、y轴的正半轴交于点A，B，与双曲线y＝﹣交于点C（点C在第二象限内），点D，过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若＝，则b的值为_____． 二、解答题（共30分） 26. 某淘宝服装店购进一批甲、乙两种款式时尚T恤衫，甲种款式共用了元，乙种款式共用了元，甲种款式的件数是乙种款式件数的倍，甲种款式每件进价比乙种款式每件进价少元． （1）甲、乙两种款式的T恤衫各购进了多少件？ （2）该网店在两种服装进价的基础上都提高销售，一段时间后，甲种款式全部售完，乙种款式还剩一半，商家决定对余下的乙种款式按标价的五折出售，售完后共获利元，求m的值． 27. 如图，在中，，，点为延长线上一点，连接，作于，交于点，作于，交于点Q． （1）求证：； （2）点E在的延长线上，且，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，延长交于F，当时，求的值 28. 如图，一次函数（）的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数（）的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，已知CM=1． （1）求的值； （2）若，求反比例函数解析式； （3）在（2）的条件下，设点P是x轴（除原点O外）上一点，将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级（上）半期考试试题（一） 数学 考试时间：120分钟 总分：150分 A卷（共100分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如果两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 根据相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴它们的周长比为：， 故选：B． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是因式分解法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解法． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ，． 故选：． 3. 关于双曲线，下列说法正确的是（ ） A. 必经过点 B. 图象位于一、三象限 C. 随的增大而增大 D. 图象关于原点成中心对称 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，解题的关键是熟知反比例函数的图象与性质． 【详解】解：、当时，，不过点，原选项不符合题意； 、由双曲线知：，图象位于第二、四象限，原选项不符合题意； 、由双曲线知：，在每一象限内，随的增大而增大，原选项不符合题意； 、图象关于原点成中心对称，原选项符合题意； 故选：． 4. 如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵∥∥，， ∴===， 故选D． 5. 用配方法解方程x2－4x＋3＝0，下列配方正确的是（ ） A. （x－2）2＝7 B. （x＋2）2＝7 C. （x＋2）2＝1 D. （x－2）2＝1 【答案】D 【解析】 【分析】方程移项后，两边加上4变形即可得到结果． 【详解】方程移项得：x2-4x＝−3， 配方得：x2-4x＋4＝-3+4，即（x-2）2＝1． 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且． 故选A． 7. 菱形的两条对角线长分别是12和16，则此菱形的周长是（ ） A. 40 B. 50 C. 24 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键；因此此题可根据菱形的对角线互相垂直且平分再结合勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，由题意得： ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴， ∴菱形的周长为； 故选：A． 8. 反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别对k进行分类讨论，然后结合反比例函数和一次函数的图象性质进行分析即可． 【详解】解：当时，那么， 则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 当时，那么， 则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质等知识内容，正确掌握反比例函数和一次函数的图象性质是解题的关键． 9. 已知函数经过点，如果，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．先根据函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据判断出点所在的象限，进而可得出结论． 【详解】解：∵函数中， ∴函数图象在一三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵， ∴点在第三象限， ∴． 故选：B． 10. 如图，在中，，于D，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、二次根式的除法，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共16分） 11. 在某一时刻，测得一根高为m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为______________m． 【答案】15 【解析】 【详解】解：根据同时同地物高与影长成正比． 设旗杆高度为x米， 由题意得，， 解得x=15． 故答案为15． 12. 已知点都在反比例函数的图象上，则m的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图形上点的坐标特征，明确同一反比例函数图象上的点的横纵坐标的积相等，都等于反比例函数的比例系数是解答该题的关键． 根据同一反比例函数图象上点的横纵坐标的积为定值解答即可． 【详解】解：点都在反比例函数的图象上， ， 解得． 故答案为：8 13. 在一个不透明的袋子里有50个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此估计袋中红球的个数为________． 【答案】20 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：设盒子中有红球x个， 由题意可得：=0.4， 解得：x=20， 故答案为：20． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 14. 如图，在四边形中，，平分，若，则的度数是___________． 【答案】##150度 【解析】 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，解题的关键是证明三角形． 证明，得出，根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共54分） 15. 计算与解方程： （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【小问1详解】 解： 或 ，； 【小问2详解】 或 ，． 16. 若关于的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根，求的取值范围及的非负整数值. 【答案】k≤2；0，1，2． 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围后，再确定k的非负整数值． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根， ∴△=42﹣4×1×2k=16﹣8k≥0， 解得k≤2． ∴k的非负整数值为0，1，2． 【点睛】考点： 一元二次方程的根的判别式. 17. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线 后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．再用皮尺分别测量 ，观测者目高的长．利用测得的数据可以求出这棵树的高度． 已知于点，于点于点米，米．米，米，求这棵树的高度（的长）． 【答案】这棵树的高度为米 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出 ，再根据对应边成比例解答即可． 【详解】解：过点作水平线交于点，交于点，如图， ∵是水平线，都是铅垂线， 米，米，米， (米)， 又根据题意，得 ， ， ，即 ， 解得：米， (米)， 答：这棵树的高度为米． 18. 为了解今年初三学生的数学学习情况，某校对上学期的数学成绩作了统计分析，绘制得到如下图表．请结合图表所给出的信息解答下列问题： 成绩 频数 频率 优秀 45 b 良好 a 0.3 合格 105 0.35 不合格 60 c （1）该校初三学生共有多少人？ （2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图． （3）初三（一）班数学老师准备从成绩优秀甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）300人（2）b=0.15，c=0.2；（3） 【解析】 【详解】分析：(1)利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初四学生总数; (2)利用(1)中所求,结合频数÷总数=频率,进而求出答案; (3)根据题意画出树状图,然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率. 详解：（1）由题意可得：该校初三学生共有：105÷0.35=300（人）， 答：该校初三学生共有300人； （2）由（1）得：a=300×0.3=90（人）， b==0.15， c==0.2； 如图所示： （3）画树形图得： ∵一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种， ∴P（抽到甲和乙）==． 点睛：此题主要考查了树状图法求概率以及条形统计图的应用,根据题意利用树状图得出所有情况是解题关键. 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出当时，与的大小； （3）连接，求的面积． 【答案】（1）一次函数与反比例函数的表达式分别为 （2）当时，；当时，；当时， （3）4 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，函数与不等式的关系，三角形面积公式，是解题的关键． （1）把代入，，即可求出一次函数的解析式和反比例函数的解析式； （2）根据得时，；时，；时，，即可； （3）联立两函数解析式求出点B的坐标，求出一次函数与y轴的交点，根据，即可求出答案 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于 ∴，． ∴． ∴一次函数与反比例函数的表达式分别为． 【小问2详解】 ∵与相交于， ∴当时，； 当时，； 当时，． 【小问3详解】 联立， 解得或 ． ∴点B的坐标为． 设直线与y轴交于点C， 令，则． ∴． ∴． ∴ ． 20. 在中，平分交于E． （1）若，求的长； （2）如图1，F是的中点，连接交于O，若，，求； （3）如图2，F是中点，连接交于O，若，，求． 【答案】（1）1 （2）1 （3）11 【解析】 【分析】（1）根据平行线性质和角平分线证明，得出，即可求解； （2）延长交于点G，连接，根据F是的中点，得出，证明，得出，证明，得出 ，结合，，得出，即可得，再根据即可求解； （3）根据F是的中点，得出 ，延长交于点H，证明，得出，，即可得，从而得出，即可得出． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：延长交于点G，连接， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵F是的中点， ∴ ， 延长交于点H， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，平行线得性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线． B卷（共50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 21. 已知一元二次方程的一个根为，则c的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】该题主要考查了二次根式的运算，一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程解的定义． 将代入求解即可． 【详解】解：将代入得： ， 即， 解得：， 故答案为：1． 22. 有六张正面分别标有数字，0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，则抽取的卡片上的数字为不等式组的解的概率为__． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先解出不等式组，可得到不等式组的整数解为2，3，4，再由概率公式即可求解． 【详解】解：不等式组， 解不等式①，得： ， 解不等式②，得： ， ∴不等式组的解集为， 不等式组的整数解为2，3，4， 抽取的卡片上的数字为不等式组的解的概率． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了计算概率，解一元一次不等式组，求出不等式组的整数解是解题的关键． 23. 如图，在中，，，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形及特殊角的三角函数值，能够根据题意构建含有特殊角的直角三角形是解决本题的关键． 由题目中它的邻补角是一个特殊角，考虑延长、构造含有的直角三角形（图见详解）即、．通过的正弦函数值、余弦函数值求得、、的值，再根据勾股定理计算得到的值．进而在、中求得、的值，即可得到的值． 【详解】解过点作交的延长线于，交的延长线于． ， ． 又，． ． ． ． ． ． ． 故答案为：． 24. 如图，在矩形中，，点P是边上一动点，连接，将沿翻折得到，过点A作于点E，直线与直线相交于点F，若，则的长为___________． 【答案】2或 【解析】 【分析】根据矩形的性质和翻折性质证明，，得出，，设，则，再分为当点在线段上时，和当点在的延长线上时，列出等式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 根据翻折可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 当点在线段上时， 由可得， ∴， ∴， ∴， 即，解得：（舍去）或， 当点在的延长线上时， 由可得， 则， ∴， ∴， 即， 解得：（舍去）或， 综上所述，的长为2或． 【点睛】该题主要考查了矩形的性质、翻折性质、相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是分类讨论和画出对应的图形． 25. 如图，直线y＝﹣x+b与x、y轴的正半轴交于点A，B，与双曲线y＝﹣交于点C（点C在第二象限内），点D，过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若＝，则b的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性得到BC＝AD，设BC＝AD＝a，用a表示出点C和得D的坐标，根据梯形面积公式、三角形面积公式求出a、b的关系，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，解方程求出b． 【详解】解：由题意点B的坐标为（0，b），点A的坐标为（b，0）， ∴OA＝OB＝b， ∵直线y＝﹣x+b关于直线y＝x对称，反比例函数y＝﹣关于y＝x对称， ∴BC＝AD， 设BC＝AD＝a，则C（﹣a，b+a），D（b+a，﹣a）， ∵=, ∴＝， 整理得，12a2+17ab﹣14b2＝0， 解得，a1＝b，a2＝﹣b（舍去）， 则D（b，﹣b）， ∴b×（﹣b）＝﹣4， 解得，b1＝3，b2＝﹣3（舍去）， ∴b＝3， 故答案：3． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 二、解答题（共30分） 26. 某淘宝服装店购进一批甲、乙两种款式时尚T恤衫，甲种款式共用了元，乙种款式共用了元，甲种款式的件数是乙种款式件数的倍，甲种款式每件进价比乙种款式每件进价少元． （1）甲、乙两种款式的T恤衫各购进了多少件？ （2）该网店在两种服装进价的基础上都提高销售，一段时间后，甲种款式全部售完，乙种款式还剩一半，商家决定对余下的乙种款式按标价的五折出售，售完后共获利元，求m的值． 【答案】（1）甲种款型的T恤衫购进件，乙种款型的T恤衫购进件 （2） 【解析】 【分析】（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进件，根据“甲种款式每件进价比乙种款式每件进价少元”列出方程，解方程并检验即可得到答案； （2）分别求出甲种款式的T恤衫进价为元件，乙种款式T恤衫的进价为元件，根据售完后共获利元列出方程，解方程即可得到答案． 此题考查了分式方程和一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进件， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲种款型的T恤衫购进件，乙种款型的T恤衫购进件； 【小问2详解】 ∵， ， ∴甲种款式的T恤衫进价为元件，乙种款式T恤衫的进价为元件， ∴甲种款式的T恤衫获利元， 乙种款式的T恤衫获利元， 又∵售完后共获利元， ∴， ∴． 答：m的值为． 27. 如图，在中，，，点为延长线上一点，连接，作于，交于点，作于，交于点Q． （1）求证：； （2）点E在的延长线上，且，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，延长交于F，当时，求的值 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用证明，可得； （2）如图2，连接，证明，可得； （3）设，，则，，作辅助线，构建直角三角形和相似三角形，证明和，得，设，，，再证明，可得结论． 【小问1详解】 证明：如图1，，， ， ， ， ，， ∴为中点， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图2，连接， 由（1）知：是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：，即， 设，，则， 在中，由勾股定理得， 如图3，过作，交的延长线于， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 由（2）知：， ， ， ∵， ∴， ∴， ， 设，，，则， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，解本题的关键是利用比例的条件设未知数表示一些线段的长，作出辅助线是解本题的难点，是一道比较难的中考常考题． 28. 如图，一次函数（）的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数（）的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，已知CM=1． （1）求的值； （2）若，求反比例函数的解析式； （3）在（2）的条件下，设点P是x轴（除原点O外）上一点，将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）；（3）点Q的坐标为（2+，﹣2+）或（2﹣，﹣2﹣）或（﹣2，﹣2）． 【解析】 【分析】（1）根据点M的坐标代入反比例关系：中，可得结论； （2）根据△ACM∽△ADN，得，由CM=1得DN=4，同理得N的坐标，代入反比例函数式中可得k2的值； （3）如图2，点P在x轴的正半轴上时，绕P顺时针旋转到点Q，根据△COP≌△PHQ，得CO=PH，OP=QH，设P（x，0），表示Q（x+4，x），代入反比例函数的关系式中可得Q的两个坐标； 如图3，点P在x轴的负半轴上时； 如图4，点P在x轴的正半轴上时，绕P逆时针旋转到点Q，同理可得结论． 【详解】解：（1）如图1， ∵MC⊥y轴于点C，且CM=1， ∴M的横坐标为1，当x=1时，y=k1+5， ∴M（1，k1+5）， ∵M在反比例函数的图象上， ∴1×（k1+5）=k2， ∴k2﹣k1=5； （2）如图1，过N作ND⊥y轴于D， ∴CM∥DN， ∴△ACM∽△ADN， ∴， ∵CM=1， ∴DN=4，当x=4时，y=4k1+5， ∴N（4，4k1+5）， ∴4（4k1+5）=k2①， 由（1）得：k2﹣k1=5， ∴k1=k2﹣5②， 把②代入①得：4（4k2﹣20+5）=k2，k2=4， ∴反比例函数的解析式：； （3）当点P滑动时，点Q能在反比例函数的图象上； 如图2，CP=PQ，∠CPQ=90°，过Q作QH⊥x轴于H， 易得：△COP≌△PHQ， ∴CO=PH，OP=QH， 由（2）知：反比例函数的解析式：； 当x=1时，y=4， ∴M（1，4）， ∴OC=PH=4， 设P（x，0）， ∴Q（x+4，x）， 当点Q落在反比例函数图象上时，x（x+4）=4，x2+4x+4=8，x=﹣2±， 当x=﹣2+时，x+4=2+， 如图2，Q（2+，﹣2+）； 当x=﹣2﹣时，x+4=2﹣，如图3，Q（2﹣，﹣2﹣）； 如图4，CP=PQ，∠CPQ=90°， 设P（x，0），过P作GH∥y轴，过C作CG⊥GH，过Q作QH⊥GH，易得：△CPG≌△PQH， ∴PG=QH=4，CG=PH=x， ∴Q（x﹣4，﹣x）， 同理得：﹣x（x﹣4）=4，解得：x1=x2=2， ∴Q（﹣2，﹣2）， 综上所述，点Q的坐标为（2+，﹣2+）或（2﹣，﹣2﹣）或（﹣2，﹣2）． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了含字母系数的两函数关系式的有关问题，与三角形全等和相似相结合，列比例式或点的坐标在函数图象上列等式可解决问题，第三问有难度，画出图形是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$