专题04 曲线运动 讲义-2025届高考物理一轮全复习系列

2025年高考全复习讲义 专题04 曲线运动 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 曲线运动、运动的合成与分解 考点二 平抛运动 考点三 圆周运动 考点四 实验五：研究平抛物体的运动 04题型精研·考向洞悉 题型一 曲线运动、运动的合成与分解 ►考向01 曲线运动 ►考向02 运动的合成与分解 ►考向03 曲线运动的动力学分析 ►考向04 运动分解中的两类实例模型 题型二 平抛运动 ►考向01 平抛运动的基本应用 ►考向02 与斜面相关联的平抛运动 ►考向03 有其他约束条件的平抛运动 ►考向04 平抛运动中的临界、极值问题 题型三 圆周运动 ►考向01 水平面内圆盘模型的临界问题 ►考向02 竖直面内圆周运动的临界极值问题 ►考向03 斜面上圆周运动的临界问题 ►考向04 圆周运动的动力学问题 题型四 实验五：研究平抛物体的运动 ►考向01 基本要求 ►考向02 方法规律 05分层训练·巩固提升 ►基础巩固 ►真题专练 考点要求 命题规律 考查频次 备考策略 曲线运动、运动的合成与分解 1.试题贴近生活中的曲线运动，如汽车过弯道、拱桥、速滑、投弹、过山车等等. 2.几种特色运动的分析，小船过河、绳(杆)端速度分解、平抛、斜抛、斜面抛、类平抛、竖直平面内圆周运动及临界、平面圆周运动、圆锥摆运动及临界，等等。 · 5年1考 2023·全国乙卷·T15 1牢记基本概念，熟练基本方法，把握常见模型，积累特殊方法技巧的应用. 2.深刻体会应用运动的合成与分解解决问题的思想，形成解决平抛运动与圆周运动的思路，尽可能多地分析曲线运动在现实生活中的应用问题。 平抛运动 · 5年5考 2024·山东卷·T12、2024·江西卷·T8 2024·江苏卷·T4、2024·湖北卷·T3 2024·海南卷·T3、2024·北京卷·T19 2024·浙江1月卷·T8、2024·福建卷·T8 2023·辽宁卷·T1、2023·江苏卷·T10 2023·新课标卷·T24、2023·全国甲卷·T24 2023·全国甲卷·T14、2023·湖南卷·T2 2022·山东卷·T11、2022·广东卷·T3 2022·广东卷·T6、2021·山东卷·T11　 2021·山东卷·T16、2021·浙江1月卷·T9 2021·河北卷·T2、2020·Ⅱ卷·T16 2020·山东卷·T16、2020·浙江1月卷·T5 2020·江苏卷·T8 圆周运动 · 5年5考 2024·江西卷·T14、2024·甘肃卷·T8 2024·黑吉辽卷·T2、2023·福建卷·T15 2023·北京卷·T10、2023·江苏卷·T3 2022·甲卷·T14、2022·山东卷·T8 2021·广东卷·T4、2021·全国甲卷·T15 2021·湖北卷·T9、2021·浙江6月卷·T7 2020·卷Ⅰ·T16、2020·浙江7月卷·T2 实验五：研究平抛物体的运动 · 5年4考 2024·河北卷·T12、2023·北京卷·T17 2022·浙江1月卷·T17、2021·全国乙卷·T22 考点一 曲线运动、运动的合成与分解 考点一 曲线运动 1．速度方向：沿曲线上该点的切线方向。 2．性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动。 3．物体做曲线运动的条件 (1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。 (2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上。 4．合力与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的“凹”侧。 考点二 运动的合成与分解 1．基本概念 (1)运动的合成：已知分运动求合运动。 (2)运动的分解：已知合运动求分运动。 2．分解原则：可根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。 3．遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。 4．合运动和分运动的关系 等时性 各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等 独立性 一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响 等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果 5.运动的合成与分解的运算法则 运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则． 6．合运动性质的判断 7．两个直线运动的合运动性质的判断 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 8.解决运动的合成和分解的一般思路 (1)明确合运动或分运动的运动性质． (2)确定合运动是在哪两个方向上的合成或分解． (3)找出各个方向上已知的物理量(速度、位移、加速度等)． (4)运用力与速度的关系或矢量的运算法则进行分析求解． 考点三 曲线运动的动力学分析 1．合力方向与轨迹的关系 无力不弯曲，弯曲必有力．曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧． 2．合力方向与速率变化的关系 （1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。 （2）合力的效果：合力沿切线方向的分力改变速度的大小，沿径向的分力改变速度的方向。 ①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。 ②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。 ③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动） 考点四 运动分解中的两类实例模型 小船渡河问题 1．小船渡河问题的分析思路 2．小船渡河的两类问题、三种情景 渡河时间最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河位移最短 如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d 渡河位移最短 如果v船<v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于 绳(杆)端速度分解模型 (1)模型特点：绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型． (2)模型分析 ①合运动→绳拉物体的实际运动速度v ②分运动→ (3)解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见实例如下： 情景图示 (注：A沿斜 面下滑) 分解图示 定量结论 vB＝vAcos θ vAcos θ＝v0 vAcos α＝ vBcos β vBsin α＝ vAcos α 基本思路 确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解 (4)解题思路 考点二 平抛运动 考点一 平抛运动的基本应用 1．平抛(类平抛)运动所涉及物理量的特点 物理量 公式 决定因素 飞行时间 t＝ 取决于下落高度h和重力加速度g，与初速度v0无关 水平射程 x＝v0t＝v0 由初速度v0、下落高度h和重力加速度g共同决定 落地速度 vt＝＝ 与初速度v0、下落高度h和重力加速度g有关 速度改变量 Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下 由重力加速度g和时间间隔Δt共同决定 2.关于平抛(类平抛)运动的两个重要推论 (1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即xB＝. (2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ. 考点二 对斜抛运动的分析 1．斜抛运动可以分斜向上抛和斜向下抛两种情况： 斜向上抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。 2、斜上抛运动的公式: （1）速度公式： 水平速度： 竖直速度： （2）位移公式： 3、斜向下抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀加速运动（初速度不为0） （1）速度公式： 水平速度： 竖直速度： （2）位移公式： 考点三 与斜面相关联的平抛运动 斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角．常见的模型如下： 方法 内容 斜面 总结 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度：v＝ 分解速度，构建速度三角形 分解位移 水平：x＝v0t 竖直：y＝gt2 合位移：s＝ 分解位移，构建位移三角形 顺着斜面平抛 方法：分解位移． x＝v0t， y＝gt2， tan θ＝， 可求得t＝. 对着斜面平抛(垂直打到斜面) 方法：分解速度． vx＝v0，vy＝gt， tan θ＝＝， 可求得t＝. 考点四 有其他约束条件的平抛运动 对着竖直墙壁平抛 【模型】 如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝. 半圆内的平抛问题 【模型】如图所示， 半径和几何关系制约平抛运动时间t：h＝gt2， R±＝v0t. 联立两方程可求t. 考点五 平抛运动中的临界、极值问题 在平抛运动中，由于时间由高度决定，水平位移由高度和初速度决定，因而在越过障碍物时，有可能会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态，还会出现运动位移的极值等情况． 1．临界点的确定 (1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点． (2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点． (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点． 2．求解平抛运动临界问题的一般思路 (1)找出临界状态对应的临界条件． (2)分解速度或位移． (3)若有必要，画出临界轨迹． 3.平抛运动临界极值问题的分析方法 (1)确定研究对象的运动性质； (2)根据题意确定临界状态； (3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图； (4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解．　 考点三 圆周运动 考点一 水平面内圆盘模型的临界问题 1．与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力． (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心． (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心． 2．与弹力有关的临界极值问题 (1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零． (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力． 考点二 1．竖直面内圆周运动两类模型 一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“轻绳模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“轻杆模型”． 2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法 轻绳模型 轻杆模型 实例 如球与绳连接、沿内轨道运动的球等 如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等 图示 最高点无支撑 最高点有支撑 最 高 点 受力特征 重力、弹力，弹力方向向下或等于零 重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上 受力示意图 力学特征 mg＋FN＝m mg±FN＝m 临界特征 FN＝0，vmin＝ 竖直向上的FN＝mg，v＝0 过最高点条件 v≥ v≥0 速度和 弹力关 系讨论 分析 ①能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力为FN ②不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动 ①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 ②当0<v<时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小 ③当v＝时，FN＝0 ④当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大 考点三 在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、轻绳控制、轻杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同． 考点四 圆周运动的动力学问题 1．向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力． 2．运动模型 圆锥摆模型 1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。 2．受力特点：摆球质量为，只受两个力即竖直向下的重力和沿摆线方向的拉力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示（也可以理解为拉力的竖直分力与摆球的重力平衡，的水平分力提供向心力）。 3．运动特点：摆长为，摆线与竖直方向的夹角为的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是O，圆周运动的轨道半径是 向心力 摆线的拉力 讨论：（1）当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据可知，若角速度越大，则越大，摆线拉力也越大，向心加速度也越大，线速度=也越大。 结论是：同一圆锥摆，在同一地点，若越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，转动的越快，运动的也越快，。 （2）当为定值时（为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量相等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力，向心力，向心加速度，角速度，线速度。 结论是：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但角大的圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。 车辆转弯模型 1、 受力分析：如图所示火车受到的支持力和重力的合力水平指向圆心，成为使火车拐弯的向心力。 2、动力学方程：根据牛顿第二定律得 　 其中r是转弯处轨道的半径，是使内外轨均不受侧向力的最佳速度。 3、分析结论：解上述方程可知 　　可见，最佳情况是由、、共同决定的。 当火车实际速度为v时，可有三种可能， 当时，内外轨均不受侧向挤压的力； 当时，外轨受到侧向挤压的力（这时向心力增大，外轨提供一部分力）； 当时，内轨受到侧向挤压的力（这时向心力减少，内轨抵消一部分力）。 还有一些实例和这一模型相同，如自行车转弯，高速公路上汽车转弯等等 考点四 实验五：研究平抛物体的运动 知识点一 基本要求 一、实验思路 由于物体是沿着水平方向抛出的，在运动过程中只受到竖直向下的重力作用，因此我们可以尝试将平抛运动分解为水平方向的分运动和竖直方向的分运动． 二、实验器材 1．探究平抛运动竖直分运动特点的实验器材：小锤一个、两个相同的小铁球、平抛竖落仪一个． 2．探究平抛运动水平分运动特点的实验器材：斜槽、钢球、白纸、复写纸、铅垂线、铅笔、平抛铁架台(有背板及水平放置的可上下调节的挡板). 三、探究过程 1．探究平抛运动竖直分运动的特点 (1)实验： 如图甲所示，用小锤击打弹性金属片后，A球沿水平方向抛出，做平抛运动；同时B球被松开，自由下落．A、B两球同时开始运动，观察两球哪个先落地．分别改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，多次重复这个实验，记录实验现象． (2)分析：仔细观察可以得知，不管小钢球距地面的高度为多大，也不管小锤击打金属片的力度多大(小锤击打金属片的力度越大，小钢球A水平抛出的初速度越大)，两小钢球每次都是同时落地．说明两小钢球在空中运动的时间相等，也就说明了做平抛运动的物体在竖直方向上的分运动是自由落体运动． 2．探究平抛运动水平分运动的特点 (1)按照图乙所示安装实验装置． (2)将一张白纸和复写纸固定在装置的背板上． (3)调节斜槽M末端水平． (4)让钢球在斜槽中从某一高度滚下，从末端飞出后做平抛运动．钢球落到倾斜的挡板上后，就会挤压复写纸，在白纸上留下印迹． (5)上下调节挡板N，通过多次实验，在白纸上记录钢球所经过的多个位置． (6)用平滑曲线把这些印迹连接起来，就得到钢球做平抛运动的轨迹． (7)根据轨迹确定水平分运动的规律 ①根据实验1得出的平抛运动在竖直方向分运动的自由落体运动规律，取“相等的时间间隔”． ②根据自由落体运动的位移公式h＝gt2我们可以得出，在相邻相等的时间间隔内物体所发生的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n＋1)，那么我们就可以从坐标系的纵轴上选取长度分别为h，3h，5h的相邻线段，即选取纵坐标分别为h，4h，9h的三个点，如图所示． ③在平抛的轨迹上找出水平分运动在相邻相等的时间间隔里所到达的位置，例如O，A，B，C等点，就找出了水平分运动在相邻相等的时间间隔内所发生的位移． 若相等时间内水平方向的位移在实验误差允许的范围内相等，则水平分运动的规律是匀速直线运动． 知识点二 基本规律 1、数据处理 (1)判断平抛运动的轨迹是不是抛物线 如图所示，在x轴上作出等距离的几个点A1、A2、A3…，把线段OA1的长度记为l，则OA2＝2l，OA3＝3l，由A1、A2、A3…向下作垂线，与轨迹交点分别记为M1、M2、M3…，若轨迹是一条抛物线，则各点的y坐标和x坐标之间应该满足关系式y＝ax2(a是待定常量)，用刻度尺测量某点的x、y两个坐标值代入y＝ax2求出a，再测量其他几个点的x、y坐标值，代入y＝ax2，若在误差范围内都满足这个关系式，则这条曲线是一条抛物线． (2)计算平抛物体的初速度 情景1：若原点O为抛出点，利用公式x＝v0t和y＝gt2即可求出多个初速度v0＝x，最后求出初速度的平均值，这就是做平抛运动的物体的初速度． 情景2：若原点O不是抛出点 ①在轨迹曲线上取三点A、B、C，使xAB＝xBC＝x，如图所示．A到B与B到C的时间相等，设为T. ②用刻度尺分别测出yA、yB、yC，则有yAB＝yB－yA，yBC＝yC－yB. ③yBC－yAB＝gT2，且v0T＝x，由以上两式得v0＝x. 2、注意事项 (1)为了保证实验精度，必须保证背板处于竖直平面内，使平抛轨道的平面靠近板面． (2)安装斜槽时，其末端切线水平． (3)小球每次必须从斜槽上同位置由静止滚下． (4)坐标原点：坐标原点不是槽口的端点． 应是小球出槽口时球心在背板上的投影点． 3、误差分析 (1)安装斜槽时，其末端不水平． (2)钢球做平抛运动时受空气阻力影响． (3)钢球每次滚下的初位置不相同． (4)建立坐标系时，误将斜槽口在背板上的投影点作为坐标原点． 题型一 曲线运动、运动的合成与分解 ►考向01 曲线运动 ►例1、双人滑运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN.vM与vN正好成90°角，则此过程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的(　　) A．F1 B．F2 C．F3 D．F4 【变式训练】图示为质点做匀变速运动的轨迹示意图，质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好垂直。则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是（ ） A. 质点经过C点的速率比D点大 B. 质点经过A点时的动能小于经过D点时的动能 C. 质点经过D点时的加速度比B点的加速度大 D. 质点从B到E过程中加速度方向与速度方向的夹角一直减小 考向02 运动的合成与分解 例2、质量为2 kg的质点在xOy平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是(　　) A．质点的初速度为5 m/s B．质点所受的合外力为3 N，做匀加速曲线运动 C．2 s末质点速度大小为6 m/s D．2 s内质点的位移大小约为12 m 【变式训练】如图，图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v-t图象如图乙所示．人顶杆沿水平地面运动的s-t图象如图丙所示．若以地面为参考系，下列说法中正确的是（　　） A．猴子的运动轨迹为直线 B．猴子在2s内做匀变速曲线运动 C．t=0时猴子的速度大小为8m/s D．t=2s时猴子的加速度为4m/s2 ►考向03 运动分解中的两类实例模型 小船渡河问题 例3、小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4 m/s. (1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？ (2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？ (3)小船渡河的最短时间为多长？ (4)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？ 式训练】(多选)船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离河岸的距 离的变化关系如图乙所示，则 (　　) A．船渡河的最短时间60 s B．要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直 C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中的最大速度是5 m/s 绳(杆)端速度分解模型 例4、如图所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则(　　) A．vA＞vB B．vA＜vB C．绳的拉力等于B的重力 D．绳的拉力大于B的重力 【变式训练】如图所示，悬线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为(　　) A．vsin θ B．vcos θ C．vtan θ D. 题型二 平抛运动 ►考向01 平抛运动的基本应用 单个物体的平抛运动 例1、在某一高度匀速飞行的战机在离目标水平距离s时投弹，可以准确命中目标，现战机飞行高度减半，速度大小减为原来的，要仍能命中目标，则战机投弹时离目标的水平距离应为(不考虑空气阻力)(　　) A.s B.s C.s D.s 【变式训练】有一物体在离水平地面高h处以初速度v0水平抛出，落地时速度为vt，竖直分速度为vy，水平射程为l，不计空气阻力，则物体在空中飞行的时间为(　　) A. B. C. D. 多个物体的平抛运动 例2、如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b、c的运动轨迹，其中b和c从同一点抛出，不计空气阻力．则 (　　) A．a的飞行时间比b长　　　 B．b的飞行时间比c长 C．a的初速度最大 D．c的末速度比b大 【变式训练】如图所示，横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上．其落点分别是a、b、c.下列判断正确的是(　　) A．图中三小球比较，落在a点的小球飞行时间最长 B．图中三小球比较，落在c点的小球飞行时间最长 C．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最小 D．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最快 速度偏向角表达式的应用 例3、 (多选)如图所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出(　　) A．轰炸机的飞行高度　 B．轰炸机的飞行速度 C．炸弹的飞行时间 D．炸弹投出时的动能 【变式训练】如图所示，半径为R的竖直半球形碗固定于水平面上，碗口水平且AB为直径，O点为碗的球心．将一弹性小球(可视为质点)从AO连线上的某点C沿CO方向以某初速度水平抛出，经历时间t＝(重力加速度为g)小球与碗内壁第一次碰撞，之后可以恰好返回C点．假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的切向速度不变，法向速度等大反向．不计空气阻力，则C、O两点间的距离为(　　) A. B. C. D. 位移偏向角表达式的应用 例4、在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的(　　) A．2倍B． 4倍 C．6倍 D．8倍 【变式训练】如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg.不计空气阻力．(sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，g取10 m/s2)求： (1)A点与O点的距离L； (2)运动员离开O点时的速度大小． 对斜抛运动的分析 例5、如图所示，甲球从O点以水平速度v1飞出，落在水平地面上的A点．乙球从O点以水平速度v2飞出，落在水平地面上的B点反弹后恰好也落在A点．已知乙球在B点与地面碰撞反弹后瞬间水平方向的分速度不变、竖直方向的分速度方向相反大小不变，不计空气阻力．下列说法正确的是 (　　) A．由O点到A点，甲球运动时间与乙球运动时间相等 B．甲球由O点到A点的水平位移是乙球由O点到B点水平位移的3倍 C．v1∶v2 ＝3∶1 D．v1∶v2 ＝2∶1 【变式训练】如图所示，将一篮球从地面上方B点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上A点，不计空气阻力．若从抛射点B向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，则可行的是(　　) A．增大抛射速度v0，同时减小抛射角θ B．增大抛射角θ，同时减小抛出速度v0 C．减小抛射速度v0，同时减小抛射角θ D．增大抛射角θ，同时增大抛出速度v0 ►考向02 与斜面相关联的平抛运动 顺着斜面平抛 例6、如图所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度v0同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为37°和53°，小球均落在坡面上．若不计空气阻力，则A和B两小球的运动时间之比为(　　) A．16∶9 B．9∶16 C．3∶4 D．4∶3 【变式训练】如图所示，光滑斜面固定在水平面上，顶端O有一小球，小球从静止释放沿斜面运动到底端B的时间是t1.若给小球不同的水平初速度，使小球分别落到斜面上的A点，经过的时间是t2；落到斜面底端B点，经过的时间是t3；落到水平面上的C点，经过的时间是t4，不计空气阻力，则(　　) A．t1＜t2 B．t4＜t1 C．t3＜t4 D．t3＜t2 对着斜面平抛(垂直打到斜面) 例7、为践行新形势下的强军目标，在某次军事演习中，水平匀速飞行的无人机在斜坡底端A的正上方投弹，炸弹垂直击中倾角为θ＝37°、长为L＝300 m的斜坡的中点P，如图15，若sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则无人机距A点的高度h和飞行的速度v分别为(　　) A． h＝170 m　v＝30 m/s B．h＝135 m　v＝40 m/s C．h＝80 m　v＝30 m/s D．h＝45 m　v＝40 m/s 【变式训练】如图所示，小球从斜面底端A点正上方h高处，以某一速度正对倾角为θ的斜面水平抛出时，小球到达斜面的位移最小(重力加速度为g)，则(　　) A．小球平抛的初速度v0＝sin θ B．小球平抛的初速度v0＝sin θ C．飞行时间t＝cos θ D．飞行时间t＝ ►考向03 有其他约束条件的平抛运动 对着竖直墙壁平抛 例8、从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕，如图所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)(　　) A．初速度之比是∶∶ B．初速度之比是1∶∶ C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶ D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶ 【变式训练】如图是对着竖直墙壁沿水平方向抛出的小球a、b、c的运动轨迹，三个小球到墙壁的水平距离均相同，且a和b从同一点抛出．不计空气阻力，则(　　) A．a和b的飞行时间相同 B．b的飞行时间比c的短 C．a的水平初速度比b的小 D．c的水平初速度比a的大 ►考向04 平抛运动中的临界、极值问题 例9、2018年世界排球锦标赛上，中国女排姑娘们的顽强拼搏精神与完美配合给人留下了深刻的印象．某次比赛中，球员甲接队友的一个传球，在网前L＝3.60 m处起跳，在离地面高H＝3.20 m处将球以v0＝12 m/s的速度正对球网水平击出，对方球员乙刚好在进攻路线的网前，她可利用身体任何部位进行拦网阻击．假设球员乙的直立和起跳拦网高度分别为h1＝2.50 m和h2＝2.95 m，g取10 m/s2.下列情景中，球员乙可能拦网成功的是(　　) A．乙在网前直立不动 B．乙在甲击球时同时起跳离地 C．乙在甲击球后0.2 s起跳离地 D．乙在甲击球前0.3 s起跳离地 【变式训练】抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g) (1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台上的P1点(如图中实线所示)，求P1点距O点的距离x1. (2)若球从O点正上方某高度处以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的P2点(如图中虚线所示)，求v2的大小． (3)若球从O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3点，求发球点距O点的高度h3. 型三 圆周运动 ►考向01 水平面内圆盘模型的临界问题 例1、如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是(　　) A．此时绳子张力为3μmg B．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内 C．此时圆盘的角速度为 D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动 【变式训练】摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的完全相同的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距RA＝2RB.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是(　　) A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3 B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值为aA∶aB＝2∶9 C．转速增加后滑块B先发生滑动 D．转速增加后两滑块一起发生滑动 ►考向02 竖直面内圆周运动的临界极值问题 球—绳模型或单轨道模型 例2、如图所示，半径为R的光滑半圆轨道竖直放置，一小球以某一速度进入半圆轨道，通过最高点P时，对轨道的压力为其重力的一半，不计空气阻力，则小球落地点到P点的水平距离为(　　) A.R B.R C.R D.R 【变式训练】如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT－v2图象如图乙所示，则(　　) A．轻质绳长为 B．当地的重力加速度为 C．当v2＝c时，轻质绳最高点拉力大小为＋a D．若v2＝b，小球运动到最低点时绳的拉力为6a 球—杆模型或双轨道模型 例3、如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰．已知半圆形管道的半径为R＝1 m，小球可看做质点且其质量为m＝1 kg，g取10 m/s2.则(　　) A． 小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m C．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1 N D．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2 N 【变式训练】一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是(　　) A． 小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B．小球过最高点的最小速度是 C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 ►考向03 斜面上圆周运动的临界问题 例4、如图所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上，长为L的细线一端固定， 另一端连接质量为m的小球，小球在斜面上做圆周运动，A、B分别是圆弧的最高点和最低点，若小球在A、 B点做圆周运动的最小速度分别为vA、vB，重力加速度为g，则 (　　) A．vA＝0 B．vA＝ C．vB＝ D．vB＝ 【变式训练】图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则ω的最大值是(　　) A. rad/s B. rad/s C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s ►考向04 圆周运动的动力学问题 圆锥摆模型 例5、两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是(　　) 车辆转弯模型 例6、在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨．如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则(　　) A．该弯道的半径r＝ B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变 C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压 D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压 题型四 实验五：研究平抛物体的运动 ►考向01 基本要求 例1、在研究平抛物体运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中的、、、所示，则小球平抛的初速度的计算式为___________（用、表示）。小球在点的速率为___________。（取三位有效数字） 【变式训练】（1）用如图1所示装置进行“探究平抛运动的特点”实验中，已知A、B两球质量相等，下列说法中正确的是_________________。 A．A球比B球在空中运动的时间长 B．落地时A的速度大于B球的速度 C．落地前瞬时，A球重力的功率比B球的大 D．从开始运动到落地，重力对两球做功一样多 （2） 如图2，某实验小组用频闪照相的方法在坐标纸上记录了A球在不同时刻的四个位置，已知频闪周期一定，轴方向为水平方向，轴方向为竖直方向，坐标纸小方格的边长为，重力加速度为，则A球平抛的初速度大小为___________，抛出点的坐标为______________，___________。 （3）如果根据（2）中记录的数据来求当地的重力加速度，还需要知道______________，可以计算出重力加速度的大小为_______________（用上空物理量及已知量表示）。 ►考向02 基本规律 例2、在“研究平抛运动”实验中， （1）如图1所示，当小球飞出后，与横挡条相撞（图2为小球与挡条挤压复写纸的侧面图），通过挤压，复写纸会在白纸上留下一个痕迹，在描绘平抛运动轨迹时，坐标原点应选小球在斜槽末端点时的___________； A．球的底端 B．球心 C．球的上端 （2）在此实验中，下列说法错误的是___________； A．斜槽轨道必须光滑 B．记录的点应适当多一些 C．用平滑曲线把所有的点连接起来 D．y轴的方向根据重垂线来确定 （3）同学通过正确的实验步骤及操作，在坐标纸上描出了小球水平抛出后的运动轨迹。部分运动轨迹如图3所示。图中水平方向与竖直方向每小格的长度均为L，P1、P2和P3是轨迹图线上的3个点，P1和P2、P2和P3之间的水平距离相等。重力加速度为g。可求出小球从P1运动到P2所用的时间为___________，小球抛出时的水平速度为___________。 【变式训练】某同学在做“研究平抛物体的运动”的实验时得到了如图所示物体的部分运动轨迹，A、B、C三点的位置在运动轨迹上已标出，则：小球平抛的初速度___________m/s ，___________m/s（g取）； 基础巩固 一、单选题 1．（2024·广东深圳·一模）自行车脚踏板上有a、b、c三点，b在踏板转轴上，a、c分别位于踏板左右边缘，如图所示。现自行车曲柄绕着牙盘转轴匀速旋转，脚踏板始终保持水平。以自行车为参照物，关于a、b、c三点圆周运动的半径r、线速度大小v、角速度ω、向心加速度大小a，下列说法正确的是（　　） A．ra < rb < rc B．va < vb < vc C．ωa = ωb = ωc D．aa > ab > ac 2．（2024·辽宁鞍山·一模）如图1为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为1.8m，球网高1m。图2为对应的俯视图，其中，。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线，则发球机有效发球时发出网球的最小速率为（忽略一切阻力 重力加速度g=10m/s2）（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南·三模）我国有一传统民俗文化表演——“抡花”，如图甲所示，景象壮观，祈福大家新年新气象，风调雨顺，免于火灾，现已被列入国家级非物质文化遗产。现简化“抡花”原理如图乙，竖直转轴О1O2固定在水平地面O2点，O1点固定一带有相同“花筒”M、N的水平杆对称分布，快速转动手柄AB、“花筒”随之一同在水平面内转动，筒内烧红的铁屑沿轨迹切线飞出落到地面，图案绚丽。若水平杆长4m，离地高3.2m，手摇AB转动的角速度大小为15rad/s。重力加速度g取10m/s2，忽略空气阻力且“花筒”可看作质点，则（　　） A．“花筒”（含铁屑）质量为3kg时，受水平杆的作用力大小为1350N B．铁屑落地点距О2点的距离大小为m C．手柄转动越快，铁片飞出后在空中运动时间越长 D．铁屑落地时的速度方向由转动速度和铁片质量决定 4．（2024·安徽淮北·二模）无人机灯光表演给喜庆的节日氛围增添了几许惊艳。在一次无人机表演中，若分别以水平向右、竖直向上为轴、轴的正方向，某架参演的无人机在方向的图像分别如图甲、乙所示，则在时间内，该无人机的运动轨迹为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东广州·三模）在一次学农活动中，农忙之余师生利用自制的沙包进行放松活动，教师和学生分别在A、B两点分别以速度和水平抛出沙包，两沙包在空中的C点相遇，忽略空气阻力，重力加速度为g，则（    ） A．教师和学生同时抛出沙包 B．学生应先抛出沙包 C．若教师远离学生几步，则需要与学生同时扔出沙包，两沙包才能相遇 D．若知A和C、B和C的高度差和，可求出A、B两点的距离 6．（2024·北京大兴·三模）中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面片刚被削离时距开水锅的高度为L，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，若将削出的小面片的运动视为平抛运动，且小面片都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面片的描述正确的是（　　） A．空中相邻两个面片飞行过程中水平距离可能逐渐变大 B．掉落位置不相同的小面片，从抛出到落水前瞬间速度的变化量不同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为，则 7．（2024·四川绵阳·一模）如图所示，同学们在学校操场练习投掷实心球。假设两同学在同一高度(足够高)分别以大小为v01=2m/s、v02=8m/s的水平初速度沿相反方向同时抛出两小球，不考虑空气阻力的影响，取重力加速度g=10m/s2。则两球从抛出到速度方向垂直时所经历的时间为（　　） A．0.3 s B．0.4 s C．0.5 s D．0.6 s 8．（2024·湖北黄冈·二模）如图所示，小球A从地面向上斜抛，抛出时的速度大小为，方向与水平方向夹角为，在A抛出的同时有小球B从某高处自由下落，当A上升到最高点时恰能击中下落的B，不计空气阻力，，重力加速度g取。则A、B两球初始距离是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·广东深圳·二模）一只小船渡河，船头方向始终垂直于河岸，水流速度各处相同且恒定不变。现小船相对于静水以初速度v0分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，运动轨迹如图所示，可以判断（　　） A．小船沿三条不同轨迹渡河的时间相同 B．小船沿AC轨迹渡河的时间最小 C．小船沿三条不同轨迹到达河对岸时的速率相同 D．小船沿轨迹运动到达河对岸时的速率最小 10．（2024·广东深圳·二模）如图所示为内燃机中轻质活塞和轻质曲柄连杆结构的示意图和简图。汽缸内高压气体推动活塞使其往复运动，某时刻活塞的速度为，连杆AO与活塞轴线BO垂直，汽缸中高压气体及外部大气对活塞作用力的合力大小为F，已知，不计一切摩擦，则此刻（　　） A．A点线速度大小为 B．AB杆对活塞的作用力大小为 C．气缸壁对活塞作用力的大小为F D．AB杆对A点推力的功率为Fv0 11．（2024·广东广州·三模）如图所示是明代宋应星所著《天工开物》中记载的我国古代的一种农业机械——水碾，当水冲击下部水轮时，水轮会带动上部的碾来碾米。假设水流沿水平方向垂直冲击水轮中的叶片，每秒冲击叶片的水量为10kg，水速从6m/s减小为1m/s，水流动能的减少量全部用来对水轮做功，下列说法正确的是（    ） A．水碾每秒从水流中获得的能量为180J B．水流对叶片的平均作用为的大小为50N C．叶片对水流的作用力方向与水流速度方向相反 D．不同叶片上到转轴距离相同的点线速度相同 12．（2024·河南漯河·三模）如图所示，质量为、半径为、内壁光滑的圆形轨道竖直放置在水平地面上，轨道圆心为，、是轨道上与圆心等高的两点。一质量为的小球沿轨道做圆周运动且刚好能通过轨道最高点，运动过程中轨道始终保持静止状态。已知重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．小球经过轨道最低点时，速度为 B．小球经过点时，轨道对地面的压力为 C．小球经过轨道最高点时，轨道对地面的压力最小 D．小球经过点时，轨道对地面的摩擦力沿水平面向右 三、实验题 13．（2024·北京朝阳·二模）测量曲线运动物体的瞬时速度往往比较困难。假设小球受到的空气阻力与其速度大小成正比，为测量水平抛出的塑料球的落地速度，研究性学习小组进行了以下实验。 ①如图甲，在某一高度处释放塑料球，使之在空气中竖直下落。塑料球速度逐渐增加，最终达到最大速度，测量并记录。 ②如图乙，用重锤线悬挂在桌边确定竖直方向，将塑料球和一半径相同的钢球并排用一平板从桌边以相同的速度同时水平推出； ③用频闪仪记录塑料球和钢球在空中的一系列位置，同时测量塑料球下落时间t； ④如图丙，在得到的频闪照片中分别作出x轴和y轴，测量并记录两小球水平位移、，竖直位移。已知重力加速度g。 关于本实验，下列说法正确的是（　　） A．实验中还需要用天平测量出塑料球的质量 B．仅用g、t、、即可表示塑料球落地时的竖直速度 C．塑料球和钢球落地时的速度大小可能相等 D．塑料球和钢球在空中运动的时间可能相等 14．（2024·河北沧州·二模）某实验小组用如图甲所示的装置来探究圆锥摆运动的规律，小球的直径d用如图乙所示的游标卡尺测出，摆长的长度L（包含小球的半径在内），实验用秒表测量周期T以及拉力传感器测量细线的拉力F，已知重力加速度为g，回答下列问题： (1)对乙图游标卡尺的读数d= mm。 (2)实验发现：当A、B两个圆锥摆摆长长度不同，而球心与悬点O的竖直高度h相同时，两个圆周运动的周期T相同，这说明圆锥摆的周期与h有关，用力学理论写出圆锥摆周期T与h的关系式，T= 。 (3)保持小球的质量与角速度不变，实验采用 法来探究摆线的拉力F与半径r的关系，在改变摆长的长度L与圆周运动的半径r时，球心与悬点O的竖直高度h （填“不变”或“改变”），实验结果会发现摆线的拉力F与摆长的长度L成 .（填“正比”或“反比”） 四、解答题 15．（2024·河南信阳·一模）图甲是传统儿童玩具拨浪鼓，图乙是其结构示意图，在圆形鼓的直径两端系两根轻绳，轻绳下端连着两个相同的小球。鼓的半径为r，轻绳长度为r，小球的质量为m，重力加速度为g，当手柄竖直时，匀速转动手柄，轻绳与竖直方向的夹角为30°。不计空气阻力，求： (1)轻绳对球的拉力大小。 (2)波浪鼓转动的角速度大小。 16．（2024·福建·模拟预测）掷铅球是一个需要力量和灵活性的运动，今年的学校运动会，某同学要参加掷铅球比赛，傍晚来到运动场训练，热身后（不计空气阻力，重力加速度取10m/s2，，sin53°=0.8，cos53°=0.6） （1）她在第一次投掷中把铅球水平推出，高度为h=1.5m，速度为v0=10m/s，则铅球被推出的水平距离是多少米？ （2）第一次投掷后体育老师给了建议，让她投掷时出手点高一点，斜向上推出铅球。于是，第二次她从离地高为H=1.8m处推出铅球，出手点刚好在边界线上方，速度方向与水平方向成53°，如图所示，此次推出铅球时铅球的速度大小仍为10m/s，则这次投掷的成绩为多少米？ 17．（2024·江苏南通·模拟预测）某装置如图所示，两根轻杆与小球及一小滑块通过较链连接，杆的端与固定在竖直杆上的铰链相连。小球与小滑块的质量均为，轻杆OA、OB长均为，原长为的轻质弹簧与滑块都套在该竖直杆上，弹簧连接在点与小滑块之间。装置静止时，弹簧长为，重力加速度为，不计一切阻力。求： （1）轻杆OA对小球的作用力； （2）弹簧的劲度系数； （3）若整个装置以竖直杆为轴转动，当弹簧将恢复原长时，小球的角速度。 18．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，倾角θ=37°的光滑斜面AB固定在水平面上，现将一弹力球从斜面的顶端A点以初速度v0=10m/s水平向右抛出，弹力球恰好落在斜面的底端B点。已知重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。 （1）求斜面的长度； （2）若弹力球与斜面碰撞时，沿斜面方向的速度不变，垂直斜面方向的速度大小不变，方向反向，现仅调整弹力球从A点水平抛出时的速度大小为v1=5m/s，求弹力球与斜面第二次碰撞的位置离B点的距离。 真题专练 1.（2024·湖北卷·T3）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到（　　） A. 荷叶a B. 荷叶b C. 荷叶c D. 荷叶d 2．（2024·黑吉辽卷·T2）“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的（　　） A．半径相等 B．线速度大小相等 C．向心加速度大小相等 D．角速度大小相等 3.（2024·浙江1月卷·T8）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　） A. B. C. D. 4.（2024·福建卷·T8） 如图，某同学在水平地面上先后两次从点抛出沙包，分别落在正前方地面和处。沙包的两次运动轨迹处于同一竖直平面，且交于点，点正下方地面处设为点。已知两次运动轨迹的最高点离地高度均为，，，，沙包质量为，忽略空气阻力，重力加速度大小取，则沙包（　　） A. 第一次运动过程中上升与下降时间之比 B. 第一次经点时的机械能比第二次的小 C. 第一次和第二次落地前瞬间的动能之比为 D. 第一次抛出时速度方向与落地前瞬间速度方向的夹角比第二次的大 5.（2024·甘肃卷·T8）电动小车在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A. 小车的动能不变 B. 小车的动量守恒 C. 小车的加速度不变 D. 小车所受的合外力一定指向圆心 6. （2024·江苏卷·T4）喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的（　　） A. 加速度相同 B. 初速度相同 C. 最高点的速度相同 D. 在空中的时间相同 7.（2024·海南卷·T3）在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越长的河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取，则两平台的高度差h为（　　） A. 0.5m B. 5m C. 10m D. 20m 8. （2024·山东卷·T12）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A. 运动时间为 B. 落地速度与水平方向夹角为60° C. 重物离PQ连线的最远距离为10m D. 轨迹最高点与落点的高度差为45m 9.（2024·江西卷·T8）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处．如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为，末速度v沿x轴正方向．在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度和竖直方向分速度与时间t的关系，下列图像可能正确的是（ ） A. B. C. D. 10. （2024·河北卷·T12）图1为探究平抛运动特点的装置，其斜槽位置固定且末端水平，固定坐标纸的背板处于竖直面内，钢球在斜槽中从某一高度滚下，从末端飞出，落在倾斜的挡板上挤压复写纸，在坐标纸上留下印迹．某同学利用此装置通过多次释放钢球，得到了如图2所示的印迹，坐标纸的y轴对应竖直方向，坐标原点对应平抛起点． ①每次由静止释放钢球时，钢球在斜槽上的高度____________（填“相同”或“不同”）。 ②在坐标纸中描绘出钢球做平抛运动的轨迹。____________ ③根据轨迹，求得钢球做平抛运动的初速度大小为____________（当地重力加速度g为,保留2位有效数字）。 11. （2024·北京卷·T19）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 12. （2024·江西卷·T14）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图（a）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，不计空气阻力。 （1）在图（a）中，若圆盘在水平雪地上以角速度匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为的匀速圆周运动。求与之间夹角的正切值。 （2）将圆盘升高，如图（b）所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕点做半径为的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为，绳子在水平雪地上的投影与的夹角为。求此时圆盘的角速度。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 / 9 ( zxxk.com )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考全复习讲义 专题04 曲线运动 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 曲线运动、运动的合成与分解 考点二 平抛运动 考点三 圆周运动 考点四 实验五：研究平抛物体的运动 04题型精研·考向洞悉 题型一 曲线运动、运动的合成与分解 ►考向01 曲线运动 ►考向02 运动的合成与分解 ►考向03 曲线运动的动力学分析 ►考向04 运动分解中的两类实例模型 题型二 平抛运动 ►考向01 平抛运动的基本应用 ►考向02 与斜面相关联的平抛运动 ►考向03 有其他约束条件的平抛运动 ►考向04 平抛运动中的临界、极值问题 题型三 圆周运动 ►考向01 水平面内圆盘模型的临界问题 ►考向02 竖直面内圆周运动的临界极值问题 ►考向03 斜面上圆周运动的临界问题 ►考向04 圆周运动的动力学问题 题型四 实验五：研究平抛物体的运动 ►考向01 基本要求 ►考向02 方法规律 05分层训练·巩固提升 ►基础巩固 ►真题专练 考点要求 命题规律 考查频次 备考策略 曲线运动、运动的合成与分解 1.试题贴近生活中的曲线运动，如汽车过弯道、拱桥、速滑、投弹、过山车等等. 2.几种特色运动的分析，小船过河、绳(杆)端速度分解、平抛、斜抛、斜面抛、类平抛、竖直平面内圆周运动及临界、平面圆周运动、圆锥摆运动及临界，等等。 · 5年1考 2023·全国乙卷·T15 1牢记基本概念，熟练基本方法，把握常见模型，积累特殊方法技巧的应用. 2.深刻体会应用运动的合成与分解解决问题的思想，形成解决平抛运动与圆周运动的思路，尽可能多地分析曲线运动在现实生活中的应用问题。 平抛运动 · 5年5考 2024·山东卷·T12、2024·江西卷·T8 2024·江苏卷·T4、2024·湖北卷·T3 2024·海南卷·T3、2024·北京卷·T19 2024·浙江1月卷·T8、2024·福建卷·T8 2023·辽宁卷·T1、2023·江苏卷·T10 2023·新课标卷·T24、2023·全国甲卷·T24 2023·全国甲卷·T14、2023·湖南卷·T2 2022·山东卷·T11、2022·广东卷·T3 2022·广东卷·T6、2021·山东卷·T11　 2021·山东卷·T16、2021·浙江1月卷·T9 2021·河北卷·T2、2020·Ⅱ卷·T16 2020·山东卷·T16、2020·浙江1月卷·T5 2020·江苏卷·T8 圆周运动 · 5年5考 2024·江西卷·T14、2024·甘肃卷·T8 2024·黑吉辽卷·T2、2023·福建卷·T15 2023·北京卷·T10、2023·江苏卷·T3 2022·甲卷·T14、2022·山东卷·T8 2021·广东卷·T4、2021·全国甲卷·T15 2021·湖北卷·T9、2021·浙江6月卷·T7 2020·卷Ⅰ·T16、2020·浙江7月卷·T2 实验五：研究平抛物体的运动 · 5年4考 2024·河北卷·T12、2023·北京卷·T17 2022·浙江1月卷·T17、2021·全国乙卷·T22 考点一 曲线运动、运动的合成与分解 考点一 曲线运动 1．速度方向：沿曲线上该点的切线方向。 2．性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动。 3．物体做曲线运动的条件 (1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。 (2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上。 4．合力与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的“凹”侧。 考点二 运动的合成与分解 1．基本概念 (1)运动的合成：已知分运动求合运动。 (2)运动的分解：已知合运动求分运动。 2．分解原则：可根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。 3．遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。 4．合运动和分运动的关系 等时性 各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等 独立性 一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响 等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果 5.运动的合成与分解的运算法则 运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则． 6．合运动性质的判断 7．两个直线运动的合运动性质的判断 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 8.解决运动的合成和分解的一般思路 (1)明确合运动或分运动的运动性质． (2)确定合运动是在哪两个方向上的合成或分解． (3)找出各个方向上已知的物理量(速度、位移、加速度等)． (4)运用力与速度的关系或矢量的运算法则进行分析求解． 考点三 曲线运动的动力学分析 1．合力方向与轨迹的关系 无力不弯曲，弯曲必有力．曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧． 2．合力方向与速率变化的关系 （1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。 （2）合力的效果：合力沿切线方向的分力改变速度的大小，沿径向的分力改变速度的方向。 ①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。 ②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。 ③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动） 考点四 运动分解中的两类实例模型 小船渡河问题 1．小船渡河问题的分析思路 2．小船渡河的两类问题、三种情景 渡河时间最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河位移最短 如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d 渡河位移最短 如果v船<v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于 绳(杆)端速度分解模型 (1)模型特点：绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型． (2)模型分析 ①合运动→绳拉物体的实际运动速度v ②分运动→ (3)解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见实例如下： 情景图示 (注：A沿斜 面下滑) 分解图示 定量结论 vB＝vAcos θ vAcos θ＝v0 vAcos α＝ vBcos β vBsin α＝ vAcos α 基本思路 确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解 (4)解题思路 考点二 平抛运动 考点一 平抛运动的基本应用 1．平抛(类平抛)运动所涉及物理量的特点 物理量 公式 决定因素 飞行时间 t＝ 取决于下落高度h和重力加速度g，与初速度v0无关 水平射程 x＝v0t＝v0 由初速度v0、下落高度h和重力加速度g共同决定 落地速度 vt＝＝ 与初速度v0、下落高度h和重力加速度g有关 速度改变量 Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下 由重力加速度g和时间间隔Δt共同决定 2.关于平抛(类平抛)运动的两个重要推论 (1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即xB＝. (2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ. 考点二 对斜抛运动的分析 1．斜抛运动可以分斜向上抛和斜向下抛两种情况： 斜向上抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。 2、斜上抛运动的公式: （1）速度公式： 水平速度： 竖直速度： （2）位移公式： 3、斜向下抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀加速运动（初速度不为0） （1）速度公式： 水平速度： 竖直速度： （2）位移公式： 考点三 与斜面相关联的平抛运动 斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角．常见的模型如下： 方法 内容 斜面 总结 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度：v＝ 分解速度，构建速度三角形 分解位移 水平：x＝v0t 竖直：y＝gt2 合位移：s＝ 分解位移，构建位移三角形 顺着斜面平抛 方法：分解位移． x＝v0t， y＝gt2， tan θ＝， 可求得t＝. 对着斜面平抛(垂直打到斜面) 方法：分解速度． vx＝v0，vy＝gt， tan θ＝＝， 可求得t＝. 考点四 有其他约束条件的平抛运动 对着竖直墙壁平抛 【模型】 如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝. 半圆内的平抛问题 【模型】如图所示， 半径和几何关系制约平抛运动时间t：h＝gt2， R±＝v0t. 联立两方程可求t. 考点五 平抛运动中的临界、极值问题 在平抛运动中，由于时间由高度决定，水平位移由高度和初速度决定，因而在越过障碍物时，有可能会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态，还会出现运动位移的极值等情况． 1．临界点的确定 (1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点． (2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点． (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点． 2．求解平抛运动临界问题的一般思路 (1)找出临界状态对应的临界条件． (2)分解速度或位移． (3)若有必要，画出临界轨迹． 3.平抛运动临界极值问题的分析方法 (1)确定研究对象的运动性质； (2)根据题意确定临界状态； (3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图； (4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解．　 考点三 圆周运动 考点一 水平面内圆盘模型的临界问题 1．与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力． (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心． (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心． 2．与弹力有关的临界极值问题 (1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零． (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力． 考点二 1．竖直面内圆周运动两类模型 一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“轻绳模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“轻杆模型”． 2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法 轻绳模型 轻杆模型 实例 如球与绳连接、沿内轨道运动的球等 如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等 图示 最高点无支撑 最高点有支撑 最 高 点 受力特征 重力、弹力，弹力方向向下或等于零 重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上 受力示意图 力学特征 mg＋FN＝m mg±FN＝m 临界特征 FN＝0，vmin＝ 竖直向上的FN＝mg，v＝0 过最高点条件 v≥ v≥0 速度和 弹力关 系讨论 分析 ①能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力为FN ②不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动 ①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 ②当0<v<时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小 ③当v＝时，FN＝0 ④当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大 考点三 在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、轻绳控制、轻杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同． 考点四 圆周运动的动力学问题 1．向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力． 2．运动模型 圆锥摆模型 1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。 2．受力特点：摆球质量为，只受两个力即竖直向下的重力和沿摆线方向的拉力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示（也可以理解为拉力的竖直分力与摆球的重力平衡，的水平分力提供向心力）。 3．运动特点：摆长为，摆线与竖直方向的夹角为的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是O，圆周运动的轨道半径是 向心力 摆线的拉力 讨论：（1）当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据可知，若角速度越大，则越大，摆线拉力也越大，向心加速度也越大，线速度=也越大。 结论是：同一圆锥摆，在同一地点，若越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，转动的越快，运动的也越快，。 （2）当为定值时（为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量相等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力，向心力，向心加速度，角速度，线速度。 结论是：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但角大的圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。 车辆转弯模型 1、 受力分析：如图所示火车受到的支持力和重力的合力水平指向圆心，成为使火车拐弯的向心力。 2、动力学方程：根据牛顿第二定律得 　 其中r是转弯处轨道的半径，是使内外轨均不受侧向力的最佳速度。 3、分析结论：解上述方程可知 　　可见，最佳情况是由、、共同决定的。 当火车实际速度为v时，可有三种可能， 当时，内外轨均不受侧向挤压的力； 当时，外轨受到侧向挤压的力（这时向心力增大，外轨提供一部分力）； 当时，内轨受到侧向挤压的力（这时向心力减少，内轨抵消一部分力）。 还有一些实例和这一模型相同，如自行车转弯，高速公路上汽车转弯等等 考点四 实验五：研究平抛物体的运动 知识点一 基本要求 一、实验思路 由于物体是沿着水平方向抛出的，在运动过程中只受到竖直向下的重力作用，因此我们可以尝试将平抛运动分解为水平方向的分运动和竖直方向的分运动． 二、实验器材 1．探究平抛运动竖直分运动特点的实验器材：小锤一个、两个相同的小铁球、平抛竖落仪一个． 2．探究平抛运动水平分运动特点的实验器材：斜槽、钢球、白纸、复写纸、铅垂线、铅笔、平抛铁架台(有背板及水平放置的可上下调节的挡板). 三、探究过程 1．探究平抛运动竖直分运动的特点 (1)实验： 如图甲所示，用小锤击打弹性金属片后，A球沿水平方向抛出，做平抛运动；同时B球被松开，自由下落．A、B两球同时开始运动，观察两球哪个先落地．分别改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，多次重复这个实验，记录实验现象． (2)分析：仔细观察可以得知，不管小钢球距地面的高度为多大，也不管小锤击打金属片的力度多大(小锤击打金属片的力度越大，小钢球A水平抛出的初速度越大)，两小钢球每次都是同时落地．说明两小钢球在空中运动的时间相等，也就说明了做平抛运动的物体在竖直方向上的分运动是自由落体运动． 2．探究平抛运动水平分运动的特点 (1)按照图乙所示安装实验装置． (2)将一张白纸和复写纸固定在装置的背板上． (3)调节斜槽M末端水平． (4)让钢球在斜槽中从某一高度滚下，从末端飞出后做平抛运动．钢球落到倾斜的挡板上后，就会挤压复写纸，在白纸上留下印迹． (5)上下调节挡板N，通过多次实验，在白纸上记录钢球所经过的多个位置． (6)用平滑曲线把这些印迹连接起来，就得到钢球做平抛运动的轨迹． (7)根据轨迹确定水平分运动的规律 ①根据实验1得出的平抛运动在竖直方向分运动的自由落体运动规律，取“相等的时间间隔”． ②根据自由落体运动的位移公式h＝gt2我们可以得出，在相邻相等的时间间隔内物体所发生的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n＋1)，那么我们就可以从坐标系的纵轴上选取长度分别为h，3h，5h的相邻线段，即选取纵坐标分别为h，4h，9h的三个点，如图所示． ③在平抛的轨迹上找出水平分运动在相邻相等的时间间隔里所到达的位置，例如O，A，B，C等点，就找出了水平分运动在相邻相等的时间间隔内所发生的位移． 若相等时间内水平方向的位移在实验误差允许的范围内相等，则水平分运动的规律是匀速直线运动． 知识点二 基本规律 1、数据处理 (1)判断平抛运动的轨迹是不是抛物线 如图所示，在x轴上作出等距离的几个点A1、A2、A3…，把线段OA1的长度记为l，则OA2＝2l，OA3＝3l，由A1、A2、A3…向下作垂线，与轨迹交点分别记为M1、M2、M3…，若轨迹是一条抛物线，则各点的y坐标和x坐标之间应该满足关系式y＝ax2(a是待定常量)，用刻度尺测量某点的x、y两个坐标值代入y＝ax2求出a，再测量其他几个点的x、y坐标值，代入y＝ax2，若在误差范围内都满足这个关系式，则这条曲线是一条抛物线． (2)计算平抛物体的初速度 情景1：若原点O为抛出点，利用公式x＝v0t和y＝gt2即可求出多个初速度v0＝x，最后求出初速度的平均值，这就是做平抛运动的物体的初速度． 情景2：若原点O不是抛出点 ①在轨迹曲线上取三点A、B、C，使xAB＝xBC＝x，如图所示．A到B与B到C的时间相等，设为T. ②用刻度尺分别测出yA、yB、yC，则有yAB＝yB－yA，yBC＝yC－yB. ③yBC－yAB＝gT2，且v0T＝x，由以上两式得v0＝x. 2、注意事项 (1)为了保证实验精度，必须保证背板处于竖直平面内，使平抛轨道的平面靠近板面． (2)安装斜槽时，其末端切线水平． (3)小球每次必须从斜槽上同位置由静止滚下． (4)坐标原点：坐标原点不是槽口的端点． 应是小球出槽口时球心在背板上的投影点． 3、误差分析 (1)安装斜槽时，其末端不水平． (2)钢球做平抛运动时受空气阻力影响． (3)钢球每次滚下的初位置不相同． (4)建立坐标系时，误将斜槽口在背板上的投影点作为坐标原点． 题型一 曲线运动、运动的合成与分解 ►考向01 曲线运动 ►例1、双人滑运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN.vM与vN正好成90°角，则此过程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的(　　) A．F1 B．F2 C．F3 D．F4 【答案】　C 【解析】　根据图示物体由M向N做曲线运动，物体在vM方向的速度减小，同时在vN方向的速度增大，故合外力的方向指向F2方向下方，故F3的方向可能是正确的，C正确，A、B、D错误． 【变式训练】图示为质点做匀变速运动的轨迹示意图，质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好垂直。则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是（ ） A. 质点经过C点的速率比D点大 B. 质点经过A点时的动能小于经过D点时的动能 C. 质点经过D点时的加速度比B点的加速度大 D. 质点从B到E过程中加速度方向与速度方向的夹角一直减小 【答案】AD 【解析】质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，速度沿D点轨迹的切线方向，则知加速度斜向左上方，合外力也斜向左上方，质点做匀变速曲线运动，合外力恒定不变，质点由A到D过程中，合外力做负功，由动能定理可得，C点的速度比D点速度大，质点经过A点时的动能大于经过D点时的动能，故A正确，B错误；质点做匀变速曲线运动，则有加速度不变，所以质点经过D点时的加速度与B点相同，故C错误；质点从B到E过程中加速度方向与速度方向的夹角一直减小，故D正确。所以AD正确，BC错误。 考向02 运动的合成与分解 例2、质量为2 kg的质点在xOy平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是(　　) A．质点的初速度为5 m/s B．质点所受的合外力为3 N，做匀加速曲线运动 C．2 s末质点速度大小为6 m/s D．2 s内质点的位移大小约为12 m 【答案】ABD 【解析】.由x方向的速度图象可知，在x方向的加速度为1.5 m/s2，受力Fx＝3 N，由y方向的位移图象可知在y方向做匀速直线运动，速度为vy＝4 m/s，受力Fy＝0.因此质点的初速度为5 m/s，A选项正确；受到的合外力为3 N，显然，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，B选项正确；2 s末质点速度应该为v＝ m/s＝2 m/s，C选项错误；2 s内x方向上位移大小x＝vxt＋at2＝9 m，y方向上位移大小y＝8 m，合位移大小l＝＝ m≈12 m，D选项正确． 【变式训练】如图，图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v-t图象如图乙所示．人顶杆沿水平地面运动的s-t图象如图丙所示．若以地面为参考系，下列说法中正确的是（　　） A．猴子的运动轨迹为直线 B．猴子在2s内做匀变速曲线运动 C．t=0时猴子的速度大小为8m/s D．t=2s时猴子的加速度为4m/s2 【答案】BD 【解析】竖直方向为初速度、加速度的匀减速直线运动，水平方向为速度的匀速直线运动，初速度大小为，方向与合外力方向不在同一条直线上，故做匀变速曲线运动，故选项B正确，选项A错误；t=2s时，，则合加速度为，选项C错误，选项D正确。 ►考向03 运动分解中的两类实例模型 小船渡河问题 例3、小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4 m/s. (1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？ (2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？ (3)小船渡河的最短时间为多长？ (4)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？ 【答案】见解析 【解析】(1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动．因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间，即t＝＝ s＝50 s 小船沿水流方向的位移s水＝v水t＝2×50 m＝100 m 即船将在正对岸下游100 m处靠岸． (2)要使小船到达正对岸，合速度v应垂直于河岸，如图甲所示，则 cos θ＝＝＝，故θ＝60° 即船的航向与上游河岸成60°，渡河时间t＝＝ s＝ s. (3)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角θ，如图乙所示．船渡河的时间取决于垂直于河岸方向的分速度v⊥＝v船sin θ，故小船渡河的时间为t＝.当θ＝90°，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间为tmin＝50 s. (4)因为v船＝3 m/s<v水＝5 m/s，所以船不可能垂直河岸横渡，不论航向如何，总被水流冲向下游．如图丙所示，设船头(v船)与上游河岸成θ角，合速度v与下游河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂向下游的距离x′越短．以v水的矢尖为圆心，以v船的大小为半径画圆，当合速度v与圆相切时，α角最大． 则cos θ＝＝，故船头与上游河岸的夹角θ＝53° 又＝＝，代入数据解得x′≈267 m. 【变式训练】(多选)船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离河岸的距 离的变化关系如图乙所示，则 (　　) A．船渡河的最短时间60 s B．要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直 C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中的最大速度是5 m/s 【答案】BD 【解析】当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，由乙图可知河宽为d＝300 m，t＝＝100 s，故A错误，B正确．由于随水流方向的分速度不断变化，故合速度的大小和方向也不断变化，船做曲线运动，故C错误；当河水的流速取最大值4 m/s时，合速度最大，船在河水中的最大速度是v＝ m/s＝5 m/s，故D正确． 绳(杆)端速度分解模型 例4、如图所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则(　　) A．vA＞vB B．vA＜vB C．绳的拉力等于B的重力 D．绳的拉力大于B的重力 【答案】　AD 【解析】小车A向左运动的过程中，小车的速度是合速度，可分解为沿绳方向与垂直于绳方向的速度，如图所示，由图可知vB＝vAcos θ，则vB＜vA，小车向左运动的过程中θ角减小，vB增大，B向上做加速运动，故绳的拉力大于B的重力．故选项A、D正确． 【变式训练】如图所示，悬线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为(　　) A．vsin θ B．vcos θ C．vtan θ D. 【答案】A 【解析】由题意可知，悬线与光盘交点参与两个运动，一是沿着悬线方向的运动，二是垂直悬线方向的运动，则合运动的速度大小为v，由数学三角函数关系，则有v线＝vsin θ；而悬线速度的大小，即为小球上升的速度大小，故A正确． 题型二 平抛运动 ►考向01 平抛运动的基本应用 单个物体的平抛运动 例1、在某一高度匀速飞行的战机在离目标水平距离s时投弹，可以准确命中目标，现战机飞行高度减半，速度大小减为原来的，要仍能命中目标，则战机投弹时离目标的水平距离应为(不考虑空气阻力)(　　) A.s B.s C.s D.s 【答案】　C 【解析】　设原来的速度大小为v，高度为h，根据平抛运动的规律可知在竖直方向有：h＝gt2，解得：t＝，在水平方向：s＝vt＝v，现战斗机高度减半，速度大小减为原来的，要仍能命中目标，则有s′＝vt′，h＝gt′2，联立解得：s′＝s，故C正确，A、B、D错误． 【变式训练】有一物体在离水平地面高h处以初速度v0水平抛出，落地时速度为vt，竖直分速度为vy，水平射程为l，不计空气阻力，则物体在空中飞行的时间为(　　) A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】由h＝gt2得t＝，A正确；由h＝yt，y＝，得h＝t，故t＝，B正确；t＝，而v0≠vt，故C错误；因vy＝＝，而t＝，故t＝，D错误． 多个物体的平抛运动 例2、如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b、c的运动轨迹，其中b和c从同一点抛出，不计空气阻力．则 (　　) A．a的飞行时间比b长　　　 B．b的飞行时间比c长 C．a的初速度最大 D．c的末速度比b大 【解析】　由图知b、c的高度相同，大于a的高度，根据h＝gt2，得t＝，知b、c的运动时间相同，a的飞行时间小于b、c的时间，故A、B错误；b、c的高度相同，则运动的时间相同，b的水平位移大于c的水平位移，根据x＝v0t知，vb＞vc，对于a、b，a的高度小，则运动的时间短，而a的水平位移大，则va＞vb，可知初速度最大的是小球a，故C正确；由图知b、c的高度相同，落地时竖直方向的速度大小相等，而水平方向b的速度大于c的速度，则b的末速度大于c的末速度，故D错误． 【答案】　C 【变式训练】如图所示，横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上．其落点分别是a、b、c.下列判断正确的是(　　) A．图中三小球比较，落在a点的小球飞行时间最长 B．图中三小球比较，落在c点的小球飞行时间最长 C．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最小 D．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最快 【答案】AC 【解析】小球在平抛运动过程中，可分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动，由于竖直方向的位移落在c点处的最小，而落在a点处的最大，所以落在a点的小球飞行时间最长，落在c点的小球飞行时间最短，故A正确，B错误；速度的变化量Δv＝gΔt，则落在c点的小球速度变化最小，故C正确；因为a、b、c的加速度相同，所以飞行过程中速度变化快慢相同，故D错误． 速度偏向角表达式的应用 例3、 (多选)如图所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出(　　) A．轰炸机的飞行高度　 B．轰炸机的飞行速度 C．炸弹的飞行时间 D．炸弹投出时的动能 【答案】ABC 【解析】.设轰炸机投弹位置高度为H，炸弹水平位移为x，则H－h＝vy·t，x＝v0t，二式相除＝·，因为＝，x＝，所以H＝h＋，A正确；根据H－h＝gt2可求出炸弹的飞行时间，再由x＝v0t可求出轰炸机的飞行速度，故B、C正确；不知道炸弹质量，不能求出炸弹的动能，D错误． 【变式训练】如图所示，半径为R的竖直半球形碗固定于水平面上，碗口水平且AB为直径，O点为碗的球心．将一弹性小球(可视为质点)从AO连线上的某点C沿CO方向以某初速度水平抛出，经历时间t＝(重力加速度为g)小球与碗内壁第一次碰撞，之后可以恰好返回C点．假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的切向速度不变，法向速度等大反向．不计空气阻力，则C、O两点间的距离为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】小球在竖直方向的位移为h＝gt2＝R，设小球与半球形碗碰撞点为D，则DO与水平方向的夹角为30°，过D点作CO的垂线交OB于E点，则OE＝＝R，小球下落h时竖直方向的速度为vy＝gt＝，由题意可知小球垂直打在碗上，则水平方向的速度v0＝vytan 60°＝，所以水平方向的位移为x＝v0t＝R，由几何关系可知，CO＝R－R＝R，故C正确． 位移偏向角表达式的应用 例4、在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的(　　) A．2倍B． 4倍 C．6倍 D．8倍 【答案】A 【解析】.甲、乙两球都落在同一斜面上，则隐含做平抛运动的甲、乙的最终位移方向相同，根据位移方向与末速度方向的关系，即末速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角的正切值的2倍，可得它们的末速度方向也相同，在速度矢量三角形中，末速度比值等于初速度比值，故A正确． 【变式训练】如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg.不计空气阻力．(sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，g取10 m/s2)求： (1)A点与O点的距离L； (2)运动员离开O点时的速度大小． 【答案】(1)75 m　(2)20 m/s 【解析】(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有 y＝Lsin 37°＝gt2 得A点与O点的距离L＝＝75 m (2)设运动员离开O点时的速度大小为v0，运动员在水平方向做匀速直线运动，即 x＝Lcos 37°＝v0t 解得v0＝＝20 m/s 对斜抛运动的分析 例5、如图所示，甲球从O点以水平速度v1飞出，落在水平地面上的A点．乙球从O点以水平速度v2飞出，落在水平地面上的B点反弹后恰好也落在A点．已知乙球在B点与地面碰撞反弹后瞬间水平方向的分速度不变、竖直方向的分速度方向相反大小不变，不计空气阻力．下列说法正确的是 (　　) A．由O点到A点，甲球运动时间与乙球运动时间相等 B．甲球由O点到A点的水平位移是乙球由O点到B点水平位移的3倍 C．v1∶v2 ＝3∶1 D．v1∶v2 ＝2∶1 【答案】BC 【解析】根据题述情景和平抛运动规律，由O点到A点，甲球运动时间为乙球运动时间的，选项A错误；甲球从O点到A点，乙球O点到B点，运动时间相等，由x＝vt可知，甲、乙水平速度之比为v1∶v2 ＝3∶1，甲球由O点到A点的水平位移是乙球由O点到B 点水平位移的3倍，选项B、C正确，D错误． 【变式训练】如图所示，将一篮球从地面上方B点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上A点，不计空气阻力．若从抛射点B向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，则可行的是(　　) A．增大抛射速度v0，同时减小抛射角θ B．增大抛射角θ，同时减小抛出速度v0 C．减小抛射速度v0，同时减小抛射角θ D．增大抛射角θ，同时增大抛出速度v0 【解析】把篮球的运动逆向看作平抛运动，若从抛射点B向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，则需要增大抛射角θ，同时减小抛出速度v0，选项B正确． 【答案】B ►考向02 与斜面相关联的平抛运动 顺着斜面平抛 例6、如图所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度v0同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为37°和53°，小球均落在坡面上．若不计空气阻力，则A和B两小球的运动时间之比为(　　) A．16∶9 B．9∶16 C．3∶4 D．4∶3 【答案】B 【解析】对于A落到坡面上时，有＝tan 37°，即＝tan 37°，对于B落到坡面上时，有＝tan 53°，即＝tan 53°，所以＝＝，B正确． 【变式训练】如图所示，光滑斜面固定在水平面上，顶端O有一小球，小球从静止释放沿斜面运动到底端B的时间是t1.若给小球不同的水平初速度，使小球分别落到斜面上的A点，经过的时间是t2；落到斜面底端B点，经过的时间是t3；落到水平面上的C点，经过的时间是t4，不计空气阻力，则(　　) A．t1＜t2 B．t4＜t1 C．t3＜t4 D．t3＜t2 【答案】　B 【解析】　小球做平抛运动时：h＝gt2，因此下落高度大的时间长，所以有t4＝t3>t2，故C、D错误；小球沿斜面下滑时：l＝at2，由于a<g，l>h，所以沿斜面下滑时间是最长的，则t4<t1，故A错误，B正确． 对着斜面平抛(垂直打到斜面) 例7、为践行新形势下的强军目标，在某次军事演习中，水平匀速飞行的无人机在斜坡底端A的正上方投弹，炸弹垂直击中倾角为θ＝37°、长为L＝300 m的斜坡的中点P，如图15，若sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则无人机距A点的高度h和飞行的速度v分别为(　　) A． h＝170 m　v＝30 m/s B．h＝135 m　v＝40 m/s C．h＝80 m　v＝30 m/s D．h＝45 m　v＝40 m/s 【答案】　A 【解析】　根据速度的分解有：tan θ＝＝，x＝cos 37°＝vt，联立解得t＝4 s，v＝30 m/s；则炸弹竖直位移为y＝gt2＝80 m，故无人机距A点的高度h＝y＋sin θ＝170 m，故选A. 【变式训练】如图所示，小球从斜面底端A点正上方h高处，以某一速度正对倾角为θ的斜面水平抛出时，小球到达斜面的位移最小(重力加速度为g)，则(　　) A．小球平抛的初速度v0＝sin θ B．小球平抛的初速度v0＝sin θ C．飞行时间t＝cos θ D．飞行时间t＝ 【答案】AC 【解析】.过抛出点作斜面的垂线，如图所示， 当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则 水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t 竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ. ►考向03 有其他约束条件的平抛运动 对着竖直墙壁平抛 例8、从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕，如图所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)(　　) A．初速度之比是∶∶ B．初速度之比是1∶∶ C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶ D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶ 【答案】　AC 【解析】　水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动．又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶∶，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶∶＝∶∶，故选项A正确，B错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶，故选项C正确，D错误． 【变式训练】如图是对着竖直墙壁沿水平方向抛出的小球a、b、c的运动轨迹，三个小球到墙壁的水平距离均相同，且a和b从同一点抛出．不计空气阻力，则(　　) A．a和b的飞行时间相同 B．b的飞行时间比c的短 C．a的水平初速度比b的小 D．c的水平初速度比a的大 【答案】　D 【解析】　根据t＝可知，b下落的高度比a大，则b飞行的时间较长，根据v0＝，因水平位移相同，则a的水平初速度比b的大，选项A、C错误；b的竖直高度比c大，则b飞行的时间比c长，选项B错误；a的竖直高度比c大，则a飞行的时间比c长，根据v0＝，因水平位移相同，则a的水平初速度比c的小，选项D正确． ►考向04 平抛运动中的临界、极值问题 例9、2018年世界排球锦标赛上，中国女排姑娘们的顽强拼搏精神与完美配合给人留下了深刻的印象．某次比赛中，球员甲接队友的一个传球，在网前L＝3.60 m处起跳，在离地面高H＝3.20 m处将球以v0＝12 m/s的速度正对球网水平击出，对方球员乙刚好在进攻路线的网前，她可利用身体任何部位进行拦网阻击．假设球员乙的直立和起跳拦网高度分别为h1＝2.50 m和h2＝2.95 m，g取10 m/s2.下列情景中，球员乙可能拦网成功的是(　　) A．乙在网前直立不动 B．乙在甲击球时同时起跳离地 C．乙在甲击球后0.2 s起跳离地 D．乙在甲击球前0.3 s起跳离地 【答案】BC 【解析】.排球运动到乙位置的时间为t＝＝＝0.3 s；该段时间排球下降的距离为h＝gt2＝×10×0.32 m＝0.45 m；此时排球离地高度为h3＝H－h＝3.2 m－0.45 m＝2.75 m>h1，故乙在网前直立不动拦不到，故A错误；球员乙起跳拦网高度为h2＝2.95 m，跳起的高度为Δh＝(2.95－2.5) m＝0.45 m，竖直上抛运动的下降时间与上升时间相等，故有t′＝＝ s＝0.3 s，故乙在甲击球时同时起跳离地，在球到达乙位置时，运动员乙刚好到达最高点，可以拦住，故B正确；结合选项B的分析，乙在甲击球后0.2 s起跳离地，初速度为v0＝gt′＝10×0.3 m/s＝3 m/s，上升时间0.1 s时球到达乙位置，球员乙上升的高度为Δh′＝0.25 m，刚好可以拦到球，故C正确；乙在甲击球前0.3 s起跳离地，经过0.6 s刚好落地，拦不到球了，故D错误． 【变式训练】抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g) (1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台上的P1点(如图中实线所示)，求P1点距O点的距离x1. (2)若球从O点正上方某高度处以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的P2点(如图中虚线所示)，求v2的大小． (3)若球从O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3点，求发球点距O点的高度h3. 【答案】(1)v1　(2)　(3)h 【解析】(1)如图甲所示，根据平抛规律得 h1＝gt，x1＝v1t1，联立解得：x1＝v1. (2)根据平抛规律得：h2＝gt，x2＝v2t2 且h2＝h，2x2＝L，联立解得v2＝. (3)如图乙所示，得：h3＝gt，x3＝v3t3 且3x3＝2L 设球从恰好越过球网到达到最高点时所用的时间为t，水平距离为s，有h3－h＝gt2 s＝v3t 由几何关系得： x3＋s＝L， 解得：h3＝h. 题型三 圆周运动 ►考向01 水平面内圆盘模型的临界问题 例1、如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是(　　) A．此时绳子张力为3μmg B．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内 C．此时圆盘的角速度为 D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动 【答案】　AC 【解析】　两物体A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F＝mω2r，B的半径比A的半径大，所以B所需向心力大，细绳拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向指向圆心，A的最大静摩擦力方向指向圆外，有相对圆盘沿半径指向圆内的运动趋势，根据牛顿第二定律得：FT－μmg＝mω2r，FT＋μmg＝mω2·2r，解得：FT＝3μmg，ω＝ ，故A、C正确，B错误．烧断细绳瞬间A物体所需的向心力为2μmg，此时烧断细绳，A的最大静摩擦力不足以提供向心力，则A做离心运动，故D错误． 【变式训练】摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的完全相同的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距RA＝2RB.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是(　　) A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3 B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值为aA∶aB＝2∶9 C．转速增加后滑块B先发生滑动 D．转速增加后两滑块一起发生滑动 【答案】　ABC 【解析】　由题意可知两轮盘边缘的线速度v大小相等，由v＝ωr，r甲∶r乙＝3∶1，可得ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑块相对轮盘滑动前，A、B的角速度之比为1∶3，故A正确；滑块相对盘开始滑动前，根据加速度公式：a＝Rω2，又RA∶RB＝2∶1，ωA：ωB＝1∶3，所以A、B的向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9，故B正确；滑块的最大静摩擦力分别为 FfA＝μmAg，FfB＝μmBg，则最大静摩擦力之比为FfA∶FfB＝mA∶mB；转动中所受的静摩擦力之比为FfA′∶FfB′＝mAaA∶mBaB＝mA∶4.5mB，由上可得滑块B先达到最大静摩擦力而先开始滑动，故C正确，D错误． ►考向02 竖直面内圆周运动的临界极值问题 球—绳模型或单轨道模型 例2、如图所示，半径为R的光滑半圆轨道竖直放置，一小球以某一速度进入半圆轨道，通过最高点P时，对轨道的压力为其重力的一半，不计空气阻力，则小球落地点到P点的水平距离为(　　) A.R B.R C.R D.R 【答案】D 【解析】小球从P点飞出后，做平抛运动，设做平抛运动的时间为t，则2R＝gt2，解得t＝2，在最高点P时，有mg＋mg＝m，解得v＝，因此小球落地点到P点的水平距离为x＝vt＝R，选项D正确． 【变式训练】如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT－v2图象如图乙所示，则(　　) A．轻质绳长为 B．当地的重力加速度为 C．当v2＝c时，轻质绳最高点拉力大小为＋a D．若v2＝b，小球运动到最低点时绳的拉力为6a 【答案】　ABD 【解析】　在最高点，FT＋mg＝m，解得：FT＝m－mg，可知纵截距的绝对值为a＝mg，g＝，图线的斜率k＝＝，解得绳子的长度L＝，故A、B正确；当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为：FT＝m－mg＝－a，故C错误；当v2＝b时拉力为零，到最低点时根据动能定理得：2mgL＝mv22－mv2，根据牛顿第二定律：FT′－mg＝m，联立以上可得拉力为：FT′＝6mg＝6a，故D正确． 球—杆模型或双轨道模型 例3、如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰．已知半圆形管道的半径为R＝1 m，小球可看做质点且其质量为m＝1 kg，g取10 m/s2.则(　　) A． 小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m C．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1 N D．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2 N 【答案】AC. 【解析】根据平抛运动的规律，小球在C点的竖直分速度vy＝gt＝3 m/s，水平分速度vx＝vytan 45°＝3 m/s，则B点与C点的水平距离为x＝vxt＝0.9 m，选项A正确，B错误；在B点设管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律，有FNB＋mg＝m，vB＝vx＝3 m/s，解得FNB＝－1 N，负号表示管道对小球的作用力方向向上，选项C正确，D错误． 【变式训练】一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是(　　) A． 小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B．小球过最高点的最小速度是 C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 【答案】　A 【解析】　当小球到达最高点弹力为零时，有mg＝m，解得v＝，即当速度v＝时，轻杆所受的弹力为零，所以A正确．小球通过最高点的最小速度为零，所以B错误．小球在最高点，若v<，则有：mg－F＝m，轻杆的作用力随着速度的增大先减小后反向增大，若v>，则有：mg＋F＝m，轻杆的作用力随着速度增大而增大，所以C、D错误． ►考向03 斜面上圆周运动的临界问题 例4、如图所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上，长为L的细线一端固定， 另一端连接质量为m的小球，小球在斜面上做圆周运动，A、B分别是圆弧的最高点和最低点，若小球在A、 B点做圆周运动的最小速度分别为vA、vB，重力加速度为g，则 (　　) A．vA＝0 B．vA＝ C．vB＝ D．vB＝ 【答案】C 【解析】在A点，对小球，临界情况是绳子的拉力为零，小球靠重力沿斜面方向的分力提供向心力，根据牛顿第二定律得：mgsin θ＝m，解得A点的最小速度为：vA＝，对AB段过程研究，根据机械能守恒得：mv＋mg·2Lsin 30°＝mv，解得B点的最小速度为：vB＝＝，故C正确，A、B、D错误． 【变式训练】图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则ω的最大值是(　　) A. rad/s B. rad/s C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s 【答案】C 【解析】　当物体转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律得：μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2r ω＝＝ rad/s＝1.0 rad/s，故选项C正确． ►考向04 圆周运动的动力学问题 圆锥摆模型 例5、两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是(　　) 【答案】　B 【解析】　小球做匀速圆周运动，对其受力分析如图所示，则有mgtan θ＝mω2Lsin θ，整理得：Lcos θ＝，则两球处于同一高度，故B正确． 车辆转弯模型 例6、在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨．如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则(　　) A．该弯道的半径r＝ B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变 C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压 D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压 【答案】　ABD 【解析】　火车转弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：mgtan θ＝m，解得：r＝，故A正确；根据牛顿第二定律得：mgtan θ＝m，解得：v＝，可知火车规定的行驶速度与质量无关，故B正确；当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故C错误，D正确． 题型四 实验五：研究平抛物体的运动 ►考向01 基本要求 例1、在研究平抛物体运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中的、、、所示，则小球平抛的初速度的计算式为___________（用、表示）。小球在点的速率为___________。（取三位有效数字） 【答案】          【解析】 [1]由图可知小球经过ab、bc、cd发生的水平位移相等，故由平抛运动规律可知球经过ab、bc、cd所用时间相等，则竖直方向由匀变速直线运动规律可得 解得相等的时间间隔为 则小球水平方向满足 即 [2]小球在b点的速度为水平分速度与竖直分速度的矢量和，由匀变速直线运动规律可得b点的竖直分速度为 故小球在b点的速率为 联立，可得 【变式训练】（1）用如图1所示装置进行“探究平抛运动的特点”实验中，已知A、B两球质量相等，下列说法中正确的是_________________。 A．A球比B球在空中运动的时间长 B．落地时A的速度大于B球的速度 C．落地前瞬时，A球重力的功率比B球的大 D．从开始运动到落地，重力对两球做功一样多 （2） 如图2，某实验小组用频闪照相的方法在坐标纸上记录了A球在不同时刻的四个位置，已知频闪周期一定，轴方向为水平方向，轴方向为竖直方向，坐标纸小方格的边长为，重力加速度为，则A球平抛的初速度大小为___________，抛出点的坐标为______________，___________。 （3）如果根据（2）中记录的数据来求当地的重力加速度，还需要知道______________，可以计算出重力加速度的大小为_______________（用上空物理量及已知量表示）。 【答案】     BD#DB                    频闪周期     【解析】 （1）[1] A．A球做平抛运动，竖直方向的分运动是自由落体，B球做自由落体运动，所以两球在空中运动的时间一样，故A错误； B．A有水平初速度，B初速度为零，下落高度相同，落地时竖直方向的速度 相同，所以落地时A的速度 大于B球的速度，故B正确； C．两球竖直方向都做自由落体运动，落地时竖直方向的速度相同，所以落地前瞬时，A、B球重力的功率 故C错误； D．从开始运动到落地，重力对两球做功 一样多，故D正确。 故选BD； （2）[2]由 可得 由 可得 [3][4]球到b点的竖直方向的速度为 则坐标原点到b点的水平距离 则抛出点的水平坐标为 则坐标原点到b点的竖直距离 则抛出点的竖直坐标为 （3）[5]根据（2）中记录的数据来求当地的重力加速度，还需要知道相邻两点之间的时间间隔，既频闪周期； [6]由 可得 ►考向02 基本规律 例2、在“研究平抛运动”实验中， （1）如图1所示，当小球飞出后，与横挡条相撞（图2为小球与挡条挤压复写纸的侧面图），通过挤压，复写纸会在白纸上留下一个痕迹，在描绘平抛运动轨迹时，坐标原点应选小球在斜槽末端点时的___________； A．球的底端 B．球心 C．球的上端 （2）在此实验中，下列说法错误的是___________； A．斜槽轨道必须光滑 B．记录的点应适当多一些 C．用平滑曲线把所有的点连接起来 D．y轴的方向根据重垂线来确定 （3）同学通过正确的实验步骤及操作，在坐标纸上描出了小球水平抛出后的运动轨迹。部分运动轨迹如图3所示。图中水平方向与竖直方向每小格的长度均为L，P1、P2和P3是轨迹图线上的3个点，P1和P2、P2和P3之间的水平距离相等。重力加速度为g。可求出小球从P1运动到P2所用的时间为___________，小球抛出时的水平速度为___________。 【答案】     B     A          【解析】 （1）[1]由图2可知，小球通过挤压复写纸在白纸上留下的痕迹点是小球球心在白纸上的投影点，而坐标原点与其他痕迹点理论上都应在一条抛物线上，所以坐标原点应选小球在斜槽末端点时的球心。 （2）[2]A．实验要求小球每次从斜槽末端抛出时的速度相同，所以每次应从斜槽上同一位置由静止释放小球，但斜槽是否光滑对上述要求无影响，即斜槽不必须光滑，故A错误； BC．为了使描绘出的曲线能够尽可能接近小球真实的运动轨迹，记录的点应适当多一些，并且要用平滑曲线把所有的点连接起来，故BC正确； D．y轴的方向必须为竖直向下，所以需要根据重垂线来确定，故D正确。 本题选错误的，故选A。 （3）[3]由题意可知小球从P1运动到P2所用的时间和从P2运动到P3所用的时间相等，设为t，根据运动学规律有 解得 [4]小球抛出时的水平速度为 【变式训练】某同学在做“研究平抛物体的运动”的实验时得到了如图所示物体的部分运动轨迹，A、B、C三点的位置在运动轨迹上已标出，则：小球平抛的初速度___________m/s ，___________m/s（g取）； 【答案】     2     2.5 【解析】 [1][2]水平方向、过程位移相等，则时间相同，设为，竖直方向，根据 解得 水平方向 竖直方向根据中间时刻瞬时速度等于该过程平均速度可得 则B点的速度 基础巩固 一、单选题 1．（2024·广东深圳·一模）自行车脚踏板上有a、b、c三点，b在踏板转轴上，a、c分别位于踏板左右边缘，如图所示。现自行车曲柄绕着牙盘转轴匀速旋转，脚踏板始终保持水平。以自行车为参照物，关于a、b、c三点圆周运动的半径r、线速度大小v、角速度ω、向心加速度大小a，下列说法正确的是（　　） A．ra < rb < rc B．va < vb < vc C．ωa = ωb = ωc D．aa > ab > ac 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】周期、角速度、转速、频率与线速度之间的关系式、比较向心加速度的大小 【详解】自行车脚踏板一直保持水平，则脚踏板的运动轨迹是属于平动，即脚踏板上三点a、b、c相对静止，b点绕转轴做匀速圆周运动，a、c也是做匀速圆周运动，只是圆心不同，三者的半径大小相等、线速度大小相等、角速度大小相等、向心加速度大小相等。 故选C。 2．（2024·辽宁鞍山·一模）如图1为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为1.8m，球网高1m。图2为对应的俯视图，其中，。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线，则发球机有效发球时发出网球的最小速率为（忽略一切阻力 重力加速度g=10m/s2）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】平抛运动速度的计算 【详解】当发球机有效发球且发出网球的速率最小时，球应恰好到达有效区域的边缘，如图所示 网球从A点发出后落在C点。网球从A点发出后，在竖直方向做自由落体运动，有 解得 若网球恰不触网，则有 解得 网球在水平方向上做匀速直线运动，即 因与为相似三角形，则有 因、，可得 则发球机有效发球时发出网球的最小速率为 故选A。 3．（2024·湖南·三模）我国有一传统民俗文化表演——“抡花”，如图甲所示，景象壮观，祈福大家新年新气象，风调雨顺，免于火灾，现已被列入国家级非物质文化遗产。现简化“抡花”原理如图乙，竖直转轴О1O2固定在水平地面O2点，O1点固定一带有相同“花筒”M、N的水平杆对称分布，快速转动手柄AB、“花筒”随之一同在水平面内转动，筒内烧红的铁屑沿轨迹切线飞出落到地面，图案绚丽。若水平杆长4m，离地高3.2m，手摇AB转动的角速度大小为15rad/s。重力加速度g取10m/s2，忽略空气阻力且“花筒”可看作质点，则（　　） A．“花筒”（含铁屑）质量为3kg时，受水平杆的作用力大小为1350N B．铁屑落地点距О2点的距离大小为m C．手柄转动越快，铁片飞出后在空中运动时间越长 D．铁屑落地时的速度方向由转动速度和铁片质量决定 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断哪些力提供向心力、有关向心力的简单计算、平抛运动速度的计算、平抛运动位移的计算 【详解】A．“花筒”所需向心力大小为 但受杆的作用力并非这么大，为重力与它的合力大小，A错误； B．烧红的铁屑沿切线飞出后，做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，有 解得 水平方向做匀速直线运动，有 所以，落地点距O2的距离大小为 故B正确； CD．空中运动的时间由高度决定，落地时速度的方向与高度及转动速度共同决定，与质量无关，CD错误。 故选B。 4．（2024·安徽淮北·二模）无人机灯光表演给喜庆的节日氛围增添了几许惊艳。在一次无人机表演中，若分别以水平向右、竖直向上为轴、轴的正方向，某架参演的无人机在方向的图像分别如图甲、乙所示，则在时间内，该无人机的运动轨迹为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】两个变速直线运动的合成 【详解】由图可知，在时间内无人机竖直方向做匀速直线运动，水平方向向右做匀减速直线运动，可知在时间内无人机受到的合外力方向水平向左，根据合外力指向轨迹凹处，可知时间内无人机运动的轨迹向左弯曲；在时间内无人机竖直方向向上做匀减速直线运动，水平方向做匀速直线运动，可知在时间内无人机的合外力竖直向下，根据合外力指向轨迹凹处，可知在时间内无人机运动的轨迹向下弯曲。 故选A。 5．（2024·广东广州·三模）在一次学农活动中，农忙之余师生利用自制的沙包进行放松活动，教师和学生分别在A、B两点分别以速度和水平抛出沙包，两沙包在空中的C点相遇，忽略空气阻力，重力加速度为g，则（    ） A．教师和学生同时抛出沙包 B．学生应先抛出沙包 C．若教师远离学生几步，则需要与学生同时扔出沙包，两沙包才能相遇 D．若知A和C、B和C的高度差和，可求出A、B两点的距离 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】平抛运动中追及相遇问题 【详解】ABC．沙包做平抛运动，有 解得 由图可知，教师抛出的沙包下落的高度较大，则运动的时间较长，所以教师应先抛出沙包，两沙包才能相遇。故ABC错误； D．若知A和C、B和C的高度差和，则可计算出两沙包相遇前平抛的时间，根据 A、B两点的距离可表示为 故D正确。 故选D。 6．（2024·北京大兴·三模）中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面片刚被削离时距开水锅的高度为L，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，若将削出的小面片的运动视为平抛运动，且小面片都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面片的描述正确的是（　　） A．空中相邻两个面片飞行过程中水平距离可能逐渐变大 B．掉落位置不相同的小面片，从抛出到落水前瞬间速度的变化量不同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为，则 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】平抛运动位移的计算、平抛运动速度的计算 【详解】A．面片飞行过程中水平方向做匀速直线运动，若先飞出的面片初速度较大，则空中相邻两个面片飞行过程中水平距离逐渐变大，故A正确； B．掉落位置不相同的小面片，下落高度相同，由可知，下落的时间相等，由可知，从抛出到落水前瞬间速度的变化量相等，故B错误； CD．由可知，下落时间为 水平位移的范围为 则初速度的取值范围为 可得 落入锅中时的竖直分速度为 则落入锅中时，最大速度 最小速度为 可知，落入锅中时，最大速度不是最小速度的3倍，故CD错误。 故选A。 7．（2024·四川绵阳·一模）如图所示，同学们在学校操场练习投掷实心球。假设两同学在同一高度(足够高)分别以大小为v01=2m/s、v02=8m/s的水平初速度沿相反方向同时抛出两小球，不考虑空气阻力的影响，取重力加速度g=10m/s2。则两球从抛出到速度方向垂直时所经历的时间为（　　） A．0.3 s B．0.4 s C．0.5 s D．0.6 s 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】速度偏转角与位移偏转角 【详解】设经过时间两球速度与水平方向的夹角分别为、，由题意得 又 由以上三式可得 8．（2024·湖北黄冈·二模）如图所示，小球A从地面向上斜抛，抛出时的速度大小为，方向与水平方向夹角为，在A抛出的同时有小球B从某高处自由下落，当A上升到最高点时恰能击中下落的B，不计空气阻力，，重力加速度g取。则A、B两球初始距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】自由落体运动的三个基本公式、斜抛运动 【详解】小球A的运动可以看成平抛运动的逆过程；水平速度为 竖直速度为 相遇时A球竖直方向位移为 运动时间为 水平方向位移为 B球竖直方向位移 即初始时A、B两球竖直距离 根据勾股定理，A、B两球初始距离为 故选C。 二、多选题 9．（2024·广东深圳·二模）一只小船渡河，船头方向始终垂直于河岸，水流速度各处相同且恒定不变。现小船相对于静水以初速度v0分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，运动轨迹如图所示，可以判断（　　） A．小船沿三条不同轨迹渡河的时间相同 B．小船沿AC轨迹渡河的时间最小 C．小船沿三条不同轨迹到达河对岸时的速率相同 D．小船沿轨迹运动到达河对岸时的速率最小 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】过河时间最短问题 【详解】A．小船沿三条不同轨迹渡河时，垂直河岸方向的位移相同，当垂直河岸方向做匀加速运动时用时间最短，匀减速运动时用时间最长，选项A错误； B．当小船垂直河岸做匀加速运动时，加速度指向河对岸，因加速度方向指向轨迹的凹向，可知AC为匀加速运动时的轨迹，即小船沿AC轨迹渡河的时间最小，选项B正确； C．小船沿三条不同轨迹到达河对岸时垂直河岸方向的速度不同，沿平行河岸方向的速度相同，可知合速度大小不同，即速率不相同，选项C错误； D．小船沿AD轨迹运动到达河对岸时，小船垂直河岸做匀减速运动，到达对岸时垂直河岸方向的速度最小，可知合速率最小，选项D正确。 故选BD。 10．（2024·广东深圳·二模）如图所示为内燃机中轻质活塞和轻质曲柄连杆结构的示意图和简图。汽缸内高压气体推动活塞使其往复运动，某时刻活塞的速度为，连杆AO与活塞轴线BO垂直，汽缸中高压气体及外部大气对活塞作用力的合力大小为F，已知，不计一切摩擦，则此刻（　　） A．A点线速度大小为 B．AB杆对活塞的作用力大小为 C．气缸壁对活塞作用力的大小为F D．AB杆对A点推力的功率为Fv0 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】直接合成法解决三力平衡问题、杆连接物体运动的分析、平均功率与瞬时功率的计算 【详解】A．连杆与活塞轴线垂直时，由几何关系可知与之间的夹角为 将沿连杆方向和垂直于连杆方向分解，如图所示 沿连杆方向的速度为 连杆的端绕转动的线速度为 A正确； BC．由于是轻质活塞，所以活塞所受合外力为零，活塞受连杆对其的推力、气缸壁对其的弹力和高压气体及外部大气对活塞的作用力F，如图1所示 根据平衡条件可得 解得 故BC错误； D．由功率的公式得，AB杆对A点推力的功率为 故D正确。 故选AD。 11．（2024·广东广州·三模）如图所示是明代宋应星所著《天工开物》中记载的我国古代的一种农业机械——水碾，当水冲击下部水轮时，水轮会带动上部的碾来碾米。假设水流沿水平方向垂直冲击水轮中的叶片，每秒冲击叶片的水量为10kg，水速从6m/s减小为1m/s，水流动能的减少量全部用来对水轮做功，下列说法正确的是（    ） A．水碾每秒从水流中获得的能量为180J B．水流对叶片的平均作用为的大小为50N C．叶片对水流的作用力方向与水流速度方向相反 D．不同叶片上到转轴距离相同的点线速度相同 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】动量定理的内容、传动问题、利用能量守恒解决实际问题 【详解】A．水碾每秒从水流中获得的能量等于水流动能的变化量的大小，即 J 故A错误； B．由动量定理可得，叶片对水流的平均作用力的冲量等于水流动量的变化 得到 N 由牛顿第三定律得到水流对该叶片的平均作用力的大小为50N，故B正确； C．叶片对水流做负功，则叶片的作用力方向与水流速度方向相反，故C正确； D．线速度是矢量，不同叶片上到转轴距离相同的点线速度方向不同，故D错误； 故选BC。 12．（2024·河南漯河·三模）如图所示，质量为、半径为、内壁光滑的圆形轨道竖直放置在水平地面上，轨道圆心为，、是轨道上与圆心等高的两点。一质量为的小球沿轨道做圆周运动且刚好能通过轨道最高点，运动过程中轨道始终保持静止状态。已知重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．小球经过轨道最低点时，速度为 B．小球经过点时，轨道对地面的压力为 C．小球经过轨道最高点时，轨道对地面的压力最小 D．小球经过点时，轨道对地面的摩擦力沿水平面向右 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】机械能与曲线运动结合问题、绳球类模型及其临界条件 【详解】A．由题意可知，小球恰好能通过轨道最高点，则有小球的重力恰好提供向心力，设小球在最高点的速度为，则有 解得 小球从最高点运动到最低点，设小球在最低点的速度为，由机械能守恒定律可得 解得 A错误； B．小球经过点时，圆轨道的弹力提供向心力，小球处于完全失重状态，由平衡条件可知，地面对轨道的支持力大小等于轨道的重力，由牛顿第三定律可知，则轨道对地面的压力大小为，B正确； C．小球经过轨道最高点时，则有小球的重力恰好提供向心力，此时小球处于完全失重状态，则轨道对地面的压力大小为，小球在下半轨道运动时，小球对轨道的压力有竖直向下的分力，则轨道对地面的压力大于轨道重力，小球在上半轨道运动时，（除最高点外）小球对轨道的压力有竖直向上的分力，则轨道对地面的压力小于轨道重力，因此小球经过轨道最高点时，轨道对地面的压力不是最小，C错误； D．小球经过点时，轨道对小球向左的弹力提供向心力，由牛顿第三定律可知，小球对轨道有向右的弹力，即轨道有向右的运动趋势，则地面对轨道有向左的静摩擦力，则轨道对地面的摩擦力沿水平面向右，D正确。 故选BD。 三、实验题 13．（2024·北京朝阳·二模）测量曲线运动物体的瞬时速度往往比较困难。假设小球受到的空气阻力与其速度大小成正比，为测量水平抛出的塑料球的落地速度，研究性学习小组进行了以下实验。 ①如图甲，在某一高度处释放塑料球，使之在空气中竖直下落。塑料球速度逐渐增加，最终达到最大速度，测量并记录。 ②如图乙，用重锤线悬挂在桌边确定竖直方向，将塑料球和一半径相同的钢球并排用一平板从桌边以相同的速度同时水平推出； ③用频闪仪记录塑料球和钢球在空中的一系列位置，同时测量塑料球下落时间t； ④如图丙，在得到的频闪照片中分别作出x轴和y轴，测量并记录两小球水平位移、，竖直位移。已知重力加速度g。 关于本实验，下列说法正确的是（　　） A．实验中还需要用天平测量出塑料球的质量 B．仅用g、t、、即可表示塑料球落地时的竖直速度 C．塑料球和钢球落地时的速度大小可能相等 D．塑料球和钢球在空中运动的时间可能相等 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】平抛运动速度的计算 【详解】B．塑料球在空气中竖直下落，最终达到最大速度，有 根据动量定理 联立以上各式得 故B正确； A．对钢球 联立解得 对塑料球根据动量定理 联立得 落地时速度 落地时水平方向速度和竖直方向速度均与质量无关，所以实验中不需要用天平测量出塑料球的质量，故A错误； C．空气阻力对塑料球影响较大，塑料球落地时的速度比钢球小，故C错误； D．空气阻力对塑料球影响较大，塑料球在空中运动的时间较长，故D错误。 故选B。 14．（2024·河北沧州·二模）某实验小组用如图甲所示的装置来探究圆锥摆运动的规律，小球的直径d用如图乙所示的游标卡尺测出，摆长的长度L（包含小球的半径在内），实验用秒表测量周期T以及拉力传感器测量细线的拉力F，已知重力加速度为g，回答下列问题： (1)对乙图游标卡尺的读数d= mm。 (2)实验发现：当A、B两个圆锥摆摆长长度不同，而球心与悬点O的竖直高度h相同时，两个圆周运动的周期T相同，这说明圆锥摆的周期与h有关，用力学理论写出圆锥摆周期T与h的关系式，T= 。 (3)保持小球的质量与角速度不变，实验采用 法来探究摆线的拉力F与半径r的关系，在改变摆长的长度L与圆周运动的半径r时，球心与悬点O的竖直高度h （填“不变”或“改变”），实验结果会发现摆线的拉力F与摆长的长度L成 .（填“正比”或“反比”） 【答案】(1)15.15(2)(3) 控制变量 不变 正比 【难度】0.65 【知识点】圆锥摆问题 【详解】（1）游标卡尺的读数为 （2）设摆长为L，摆线与竖直方向的夹角为θ，则根据几何关系有 ， 绳子拉力与小球重力的合力提供向心力，有 可得 （3）[1]实验探究摆线的拉力F与半径r的关系，需保持小球的质量与角速度不变，采用了控制变量法。 [2]实验需控制角速度不变，则周期保持不变，根据 故球心与悬点O的竖直高度h不变。 [3]根据 根据几何关系有 可得 则摆线的拉力F与摆线的长度L成正比。 四、解答题 15．（2024·河南信阳·一模）图甲是传统儿童玩具拨浪鼓，图乙是其结构示意图，在圆形鼓的直径两端系两根轻绳，轻绳下端连着两个相同的小球。鼓的半径为r，轻绳长度为r，小球的质量为m，重力加速度为g，当手柄竖直时，匀速转动手柄，轻绳与竖直方向的夹角为30°。不计空气阻力，求： (1)轻绳对球的拉力大小。 (2)波浪鼓转动的角速度大小。 【答案】(1)(2) 【难度】0.65 【知识点】圆锥摆问题 【详解】（1）对球进行受力分析，在竖直方向上 解得绳子的拉力 （2）在水平方向上，根据牛顿第二定律 可得波浪鼓转动的角速度 16．（2024·福建·模拟预测）掷铅球是一个需要力量和灵活性的运动，今年的学校运动会，某同学要参加掷铅球比赛，傍晚来到运动场训练，热身后（不计空气阻力，重力加速度取10m/s2，，sin53°=0.8，cos53°=0.6） （1）她在第一次投掷中把铅球水平推出，高度为h=1.5m，速度为v0=10m/s，则铅球被推出的水平距离是多少米？ （2）第一次投掷后体育老师给了建议，让她投掷时出手点高一点，斜向上推出铅球。于是，第二次她从离地高为H=1.8m处推出铅球，出手点刚好在边界线上方，速度方向与水平方向成53°，如图所示，此次推出铅球时铅球的速度大小仍为10m/s，则这次投掷的成绩为多少米？ 【答案】（1）5.5m；（2） 【难度】0.65 【知识点】斜抛运动、平抛运动位移的计算 【详解】（1）由平抛运动知识 铅球被推出的水平距离为 解得 （2）被推出的铅球在竖直方向做竖直上抛运动，则有 解得 ，（舍去） 铅球在水平方向做匀速直线运动      这次投掷的成绩为 17．（2024·江苏南通·模拟预测）某装置如图所示，两根轻杆与小球及一小滑块通过较链连接，杆的端与固定在竖直杆上的铰链相连。小球与小滑块的质量均为，轻杆OA、OB长均为，原长为的轻质弹簧与滑块都套在该竖直杆上，弹簧连接在点与小滑块之间。装置静止时，弹簧长为，重力加速度为，不计一切阻力。求： （1）轻杆OA对小球的作用力； （2）弹簧的劲度系数； （3）若整个装置以竖直杆为轴转动，当弹簧将恢复原长时，小球的角速度。 【答案】（1），与竖直轴的夹角为；（2）；（3） 【难度】0.65 【知识点】正交分解法解共点力平衡、圆锥摆问题 【详解】（1）装置静止时，由几何关系可知 解得 则轻杆OA对小球的作用力方向与竖直轴的夹角为，对小球受力分析，如图甲所示，由对称性可知 根据力的平衡条件可知 解得 （2）由轻杆受力特点可知，轻杆OB对小滑块的作用力方向沿OB杆向下，大小为，对小滑块受力分析如图乙所示，在竖直方向上由力的平衡条件可知 根据胡克定律 解得 （3）当弹簧将恢复原长时，由几何关系可知 可得 对小滑块，竖直方向有 对小球，竖直方向有 水平方向有 联立解得小球的角速度 18．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，倾角θ=37°的光滑斜面AB固定在水平面上，现将一弹力球从斜面的顶端A点以初速度v0=10m/s水平向右抛出，弹力球恰好落在斜面的底端B点。已知重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。 （1）求斜面的长度； （2）若弹力球与斜面碰撞时，沿斜面方向的速度不变，垂直斜面方向的速度大小不变，方向反向，现仅调整弹力球从A点水平抛出时的速度大小为v1=5m/s，求弹力球与斜面第二次碰撞的位置离B点的距离。 【答案】（1）18.75m；（2）6m 【难度】0.65 【知识点】斜面上的平抛运动 【详解】（1）弹力球做平抛运动，竖直方向有 水平方向有 联立解得斜面的长度为 （2）将平抛运动分解为沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的类竖直上抛运动，设调整后弹力球水平抛出时的速度大小沿垂直斜面方向的分速度大小为 沿斜面方向的分速度大小为 垂直斜面方向的加速度大小为 沿斜面方向的加速度大小为 弹力球每次从斜面离开到再次落回斜面过程中用时为 沿斜面方向有 解得距B端 真题专练 1.（2024·湖北卷·T3）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到（　　） A. 荷叶a B. 荷叶b C. 荷叶c D. 荷叶d 【答案】C 【解析】 青蛙做平抛运动，水平方向匀速直线，竖直方向自由落体则有 可得 因此水平位移越小，竖直高度越大初速度越小，因此跳到荷叶c上面。 故选C。 2．（2024·黑吉辽卷·T2）“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的（　　） A．半径相等 B．线速度大小相等 C．向心加速度大小相等 D．角速度大小相等 【答案】D 【解析】D．由题意可知，球面上P、Q两点转动时属于同轴转动，故角速度大小相等，故D正确； A．由图可知，球面上P、Q两点做圆周运动的半径的关系为 故A错误； B．根据可知，球面上P、Q两点做圆周运动的线速度的关系为 故B错误； C．根据可知，球面上P、Q两点做圆周运动的向心加速度的关系为 故C错误。 故选D。 3.（2024·浙江1月卷·T8）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设出水孔到水桶中心距离为x，则 落到桶底A点时 解得 故选C。 4.（2024·福建卷·T8） 如图，某同学在水平地面上先后两次从点抛出沙包，分别落在正前方地面和处。沙包的两次运动轨迹处于同一竖直平面，且交于点，点正下方地面处设为点。已知两次运动轨迹的最高点离地高度均为，，，，沙包质量为，忽略空气阻力，重力加速度大小取，则沙包（　　） A. 第一次运动过程中上升与下降时间之比 B. 第一次经点时的机械能比第二次的小 C. 第一次和第二次落地前瞬间的动能之比为 D. 第一次抛出时速度方向与落地前瞬间速度方向的夹角比第二次的大 【答案】BD 【解析】 【详解】A．沙包从抛出到最高点的运动可视为平抛运动的“逆运动”，则可得第一次抛出上升的高度为 上升时间为 最高点距水平地面高为，故下降的时间为 故一次抛出上升时间，下降时间比值为，故A错误； BC．两条轨迹最高点等高、沙包抛出的位置相同，故可知两次从抛出到落地的时间相等为 故可得第一次，第二次抛出时水平方向的分速度分别为 由于两条轨迹最高点等高，故抛出时竖直方向的分速度也相等，为 由于沙包在空中运动过程中只受重力，机械能守恒，故第一次过P点比第二次机械能少 从抛出到落地瞬间根据动能定理可得 则故落地瞬间，第一次，第二次动能之比为，故B正确，C错误； D．根据前面分析可知两次抛出时竖直方向的分速度相同，两次落地时物体在竖直方向的分速度也相同，由于第一次的水平分速度较小，物体在水平方向速度不变，如图所示，故可知第一次抛出时速度与水平方向的夹角较大，第一次落地时速度与水平方向的夹角也较大，故可知第一次抛出时速度方向与落地瞬间速度方向夹角比第二次大，故D正确。 故选BD。 5.（2024·甘肃卷·T8）电动小车在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A. 小车的动能不变 B. 小车的动量守恒 C. 小车的加速度不变 D. 小车所受的合外力一定指向圆心 【答案】AD 【解析】 A．做匀速圆周运动的物体速度大小不变，故动能不变，故A正确； B．做匀速圆周运动的物体速度方向时刻在改变，故动量不守恒，故B错误； C．做匀速圆周运动的物体加速度大小不变，方向时刻在改变，故C错误； D．做匀速圆周运动的物体所受的合外力一定指向圆心，故D正确。 故选AD。 6. （2024·江苏卷·T4）喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的（　　） A. 加速度相同 B. 初速度相同 C. 最高点的速度相同 D. 在空中的时间相同 【答案】A 【解析】 A．不计空气阻力，在喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故A正确； D．设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为，水平方向速度为，竖直方向，根据对称性可知在空中运动的时间 可知 D错误； BC．最高点的速度等于水平方向的分速度 由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速度的大小，BC错误； 故选A。 7.（2024·海南卷·T3）在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越长的河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取，则两平台的高度差h为（　　） A. 0.5m B. 5m C. 10m D. 20m 【答案】B 【解析】 【详解】车做平抛运动，设运动时间，竖直方向 水平方向 其中 、 解得 故选B。 8. （2024·山东卷·T12）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A. 运动时间为 B. 落地速度与水平方向夹角为60° C. 重物离PQ连线的最远距离为10m D. 轨迹最高点与落点的高度差为45m 【答案】BD 【解析】 AC．将初速度分解为沿方向分速度和垂直分速度，则有 ， 将重力加速度分解为沿方向分速度和垂直分速度，则有 ， 垂直方向根据对称性可得重物运动时间为 重物离PQ连线的最远距离为 故AC错误； B．重物落地时竖直分速度大小 则落地速度与水平方向夹角正切值 可得 故B正确； D．从抛出到最高点所用时间为 则从最高点到落地所用时间为 轨迹最高点与落点的高度差为 故D正确。 故选BD。 9.（2024·江西卷·T8）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处．如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为，末速度v沿x轴正方向．在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度和竖直方向分速度与时间t的关系，下列图像可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 AC．小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即为定值，则有水平位移 故A正确，C错误； BD．小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则 ， 且最高点时竖直方向的速度为0，故B错误，D正确。 故选AD。 10. （2024·河北卷·T12）图1为探究平抛运动特点的装置，其斜槽位置固定且末端水平，固定坐标纸的背板处于竖直面内，钢球在斜槽中从某一高度滚下，从末端飞出，落在倾斜的挡板上挤压复写纸，在坐标纸上留下印迹．某同学利用此装置通过多次释放钢球，得到了如图2所示的印迹，坐标纸的y轴对应竖直方向，坐标原点对应平抛起点． ①每次由静止释放钢球时，钢球在斜槽上的高度____________（填“相同”或“不同”）。 ②在坐标纸中描绘出钢球做平抛运动的轨迹。____________ ③根据轨迹，求得钢球做平抛运动的初速度大小为____________（当地重力加速度g为,保留2位有效数字）。 【答案】 ①. 相同 ②. ③. 0.71 【解析】 [1]为保证钢球每次平抛运动的初速度相同，必须让钢球在斜槽上同一位置静止释放，故高度相同； [2]描点连线用平滑曲线连接，钢球做平抛运动的轨迹如图所示 [3]因为抛出点在坐标原点，为方便计算，在图线上找到较远的点，在图线上找到坐标为19.6cm的点为研究位置，该点坐标为，根据平抛运动规律 ， 解得 11. （2024·北京卷·T19）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1）水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向 解得水从管口到水面的运动时间 （2）由平抛运动规律得，水平方向 解得水从管口排出时的速度大小 （3）管口单位时间内流出水的体积 12. （2024·江西卷·T14）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图（a）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，不计空气阻力。 （1）在图（a）中，若圆盘在水平雪地上以角速度匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为的匀速圆周运动。求与之间夹角的正切值。 （2）将圆盘升高，如图（b）所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕点做半径为的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为，绳子在水平雪地上的投影与的夹角为。求此时圆盘的角速度。 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）转椅做匀速圆周运动，设此时轻绳拉力为T，转椅质量为m，受力分析可知轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供圆周运动的向心力，故可得 联立解得 （2）设此时轻绳拉力为，沿和垂直竖直向上的分力分别为 ， 对转椅根据牛顿第二定律得 沿切线方向 竖直方向 联立解得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 / 9 ( zxxk.com )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$